Simplificación de fracciones cuyos términos sean polinomios.

.              

Regla:

Se descomponen en factores todos los polinomios, utilizando el Caso correspondiente de factorización o de Productos Notables.   Luego se suprimen los factores comunes del numerador y del denominador, dividiendo tanto el numerador como el denominador por un mismo factor común; de manera de dejarlos en su mínima expresión.

________________________________________

Ejemplo A)  simplificar   2a² /4a²-4ab

--> Factorizando el denominador del Polinomio:

(Se utiliza el Caso I de Factorización en el denominador)

2a² / 4a²-4ab  = 2a² / 4a(a -b)  = 1∗a /2∗1∗(a -b)  =  a / 2(a -b)   <--  Solución.

Se dividió   2/4  entre 2/2  =  1/2

Se dividió   a² /a  entre  a /a  =  a/1

El factor (a-b), que no tiene común, solo se copia.

________________________________________

Ejemplo B)  Simplificar   4x²y³ / 24x³y³-36x³y⁴

--> Factorizando el denominador del Polinomio:

(Se utiliza el Caso I de factorización)

4x²y³ / 24x³y³-36x³y⁴  = 4x²y³/12x³y³(2 -3y) = 1∗1∗1 / 3∗ x∗1∗ (2 -3y) = 1 /3x(2 -3y) <-- Solución.

Se dividió   4/12  entre 4/4  =  1/3

Se dividió   x²/x³   entre   x²/x²  =  1 /x

Se dividió   y³/y³   entre  y³/y³  =  1/1  = 1

El factor (2 -3y), que no tiene común solo se copia.

________________________________________

Ejemplo C)  Simplificar   x² -5x +6 / 2ax -6a

-->  Factorizando el Polinomio

(El numerador (Caso VI) y el denominador (Caso I)  De Factorización.

x²-5x+6 / 2ax -6a  =  (x -3)(x -2) / 2a(x -3)  =  1∗x-2 / 1∗2a = x-2/2a  <-- Solución.

Se dividió  x -3 /x -3  entre   x -3 /x-3  =  1/1  = 1

Los factores no comunes  ( x -2)  y  "2a" , solo se copian.

_________________________________________

Ejemplo D)  Simplificar    8a^3+27 / 4a^2+12a+9

-->  Factorizando el Polinomio.

El numerador (Producto Notable: Cubo de un Binomio)

y el denominador (Producto Notable: Cuadrado de la Suma de dos Cantidades)

8a³+27 / 4a²+12a+9  =  (2a +3)(4a² -6a +9) / (2a +3)²  =  (2a +3)(4a²-6a+9) / (2a +3)(2a +3) =

4a²-6a+9 / 2a +3  <--  Solución.

Se dividió  2a +3 / 2a +3  entre  2a+3 / 2a+3  =  1/1  =  1

Los factores no comunes (4a²-6a+9)  y  (2a+3), solo se copian.

________________________________________

Ejercicio 119.

1) Simplificar  3ab / 2a²x +2a³

--> Factorizando el polinomio en el denominador: (Caso I de Factorización)

3ab / 2a²x+2a³  =  3ab / 2a²(x+a) = 3(1)(b) / 2(a)(x+a) = 3b / 2a(x+a) <--  Solución.

Se dividió   a/a² entre a/a  =  1/a

Los factores no comunes [ 3 , b ,  2 , (x+a) ], solo se copian.

________________________________________

2) Simplificar   xy / 3x²y -3xy²

--> Factorizando el polinomio:  (en el denominador  Caso I de Factorización)

xy /3x²y -3xy² = xy/3xy(x -y) = (x)(y)/3(x)(y)(x -y) = (1)(1) / (3)(x -y) = 1 / 3(x -y) <--  Solución.

Se dividió   x/x  entre  x/x  =  1/1

Se dividió   y/y  entre  y/y  =  1/1

Los factores no comunes [ 3 , (x -y) ], solo se copian.

(En este ejercicio como en el numerador el único factor es el "1"  entonces si escribe; en cambio en el denominador como existen otros factores diferentes de "1", no es necesario escribir dicho factor,  porque este no altera el producto)

________________________________________

3) Simplificar   2ax+4bx /3ay+6by

--> Factorizado el polinomio  (Caso I de Factorización )

2ax+4bx /3ay+6by = 2x(a+2b) /3y(a+2b) = (2)(x)(1) / (3)(y)(1) = 2x / 3y <-- Solución.

Se dividió a +2b / a +2b   entre  a +2b /a +2b  =  1 /1

Los factores no comunes ( 2,  x,  3,  y), solo se copian.

________________________________________


4)  Simplificar   x² -2x -3 / x-3

--> Factorizando el numerador  (Caso VI de Factorización)

x² -2x -3 / x -3  =  (x-3)(x +1) / x -3  = 1(x +1) / 1 = x +1  <--  Solución.

Se dividió  x -3 /x -3  entre  x -3/x -3  =  1/1

Los factores no comunes "(x +1)",  solo se copian.

________________________________________

5)  Simplificar   10a²b³c /80(a³ -a²b)

Factorizando  el denominador  (Caso I de Factorización)

10a²b³c / 80(a³ -a²b)  =  10a²b³c / 80a²(a -b)  = (1)(1)(b³)(c) / (8)(1)(a -b)

= b³c / 8(a -b)  <--  Solución.

Se dividió  10/80  entre  10/10  =   1/8

Se dividió  a² /a²  entre  a²/a²  =  1/1

Los factores comunes [ b³,  c,  (a -b)], solo se copian.

________________________________________

6) Simplificar   x² -4 / 5ax +10a

Factorizando el numerador (Caso IV) y el denominador (Caso I), ambos de Factorización.

x² -4 / 5ax +10a  =  (x -2)(x +2) / 5a(x +2) = (1)(x -2) / (1)(5)(a) =  x -2 / 5a  <--  Solución.

Se dividió  x +2/x +2  entre  x +2 / x +2  =  1/1

Los factores no comunes [ (x -2),  5,  a ]

________________________________________

10) Simplificar 3x²y+15xy/x²-25

Factorizando el numerador (Caso I) y el denominador (Caso IV) de factorización.

3x²y+15xy/x²-25 = 

= 3xy(x+5)/(x-5)(x+5)

Dividiendo x+5/x+5 = 1/1 

Los factores no comunes 3xy ,  x-5 , solo se copian.

=3xy/x-5   Solución.

________________________________________

11) Simplificar a²-4ab+4b²/a³-8b³

Factorizando el numerador (Caso VI) y el denominador (Caso IX)

a²-4ab+4b²/a³-8b³ = (a-2b)(a-2b)/(a-2b)(a²+2ab+4b²)

es = a-2b/a²+2ab+4b²<-- Solución.

Nota: Al simplificar la fracción se eliminó (a-2b) del numerador y (a-2b) del denominador.

________________________________________

12)  Simplificar  x³+4x²-21x/x³-9x

Factorizando numerador y denominador como Caso I. 

= x(x²+4x-21)/x(x² - 9)

Factorizando el numerador como Caso I , y el denominador como Caso IV.

= x(x+7)(x-3)/x(x+3)(x-3)

= x+7/x+3   Solución.

________________________________________

13) Simplificar  6x²+5x-6/15x²-7x-2

Factorizando el numerador y el denominador como Caso VII.

= [  6(6x²+5x-6)] ÷  6  = [(6x)²+5x(6x)-36]÷  6

   [15(15x²-7x-2)]÷15     [(15x)²-7(15x)-30]÷15

= [(6x+9) / 3][(6x-4)  / 2]     = (2x+3)(3x-2)   =  2x+3     Solución.

    [(15x-10)/5][(15x+3)/3]      (3x-2)(5x+1)       5x+1

________________________________________

14) Simplificar   a³+1 /a⁴-a³+a-1

Factorizando el denominador como Caso II.

= a³+1 /(a⁴-a³)+(a-1)

= a³+1/a³(a-1)+1(a-1)

= a³+1/(a-1)(a³+1)

Simplificando la fracción para eliminar a³+1 del numerador y del denominador.

= 1/a-1     Solución.

________________________________________