Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.

Procedimiento sugerido:

1. Analizar el planteamiento del problema.

2. Escribir los datos del problema.

3. Escribir y realizar la o las operaciones.

4. Escribir la respuesta de acuerdo a lo que se te pide.

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Ejemplo a)  La suma de las edades de A y B es 84 años. y B tiene 8 años menos que A.  Hallar ambas edades.

Datos:
edad de A :  x  ; 

 edad de B:  x - 8  ;  

Suma de edades  = 84

Entonces:

x + x - 8 = 84
2x = 84 +8
x = 92/2
x = 46  años.

Por tanto  x - 8 = 46 -8 = 38 años.

Respuesta: 38 y 46 años.
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Ejemplo b)  Pagué $87 por un libro, un traje y un sobrero.  El sombrero costo $5 más que el libro y $20 menos que el traje.  ¿Cuánto pagué por cada cosa?

Datos:

x =  precio del libro

x + 5 = precio del sombrero

Si el sombrero costó 20 menos que el traje, entonces el traje costó 20 más que el sombrero, entonces

x + 5 + 20 = x + 25 precio del traje.

Suma = $87

Luego la suma del costo de los tres artículos debe ser igual a $87

x + x+5 + x +25 = 87

3x +30 = 87

x = 87 -30 / 3

x = 57/3

x = 19  

Respuesta:

x = $19  precio del libro

x +5 = 19 +5 = $24 precio del sombrero

x +25 = 19 + 25 = $44 precio del traje.

 Comprobación: (19 + 24 + 44)$ =  $87.

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Ejemplo c)  La suma de tres números enteros consecutivos es 156.  Hallar los números.

Datos:

x = número menor

x +1 = número intermedio

x +2 = número mayor

Suma = 156

Luego se tiene que x + x +1 x +2 = 156

3x +3 = 156

x = 156 -3 / 3

x = 153/3

x = 51.

x + 1 = 51 + 1 = 52 

x + 2 = 51 + 2 = 53

Respuesta:51, 52 y 53.

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Ejercicio 82.

1) La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8.  Hallar los números.

Datos:

x = número mayor

x - 8 = número menor.

Suma = 106

⇒

x + x -8 = 106

2x -8 = 106

x = 106 +8 / 2

x = 114/2

x = 57

x - 8 = 57 -8 = 49

Respuesta: 57 y 49

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2) La suma de dos números es 540 y su diferencia 32. Hallar los números.

Datos:

x ;   x-540

Diferencia = x - (x-540) = 32

⇒ 

x + (x-540) = x - (x-32)

x +x -540 = x -x +32

x +x + = 32+540

2x = 572

x = 572/2

x = 286

x -540 = 286 -540 = 254

Respuesta: 286 y 254.

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3) Entre A y B tienen 1154 bolívares y B tiene 506 menos que A.  ¿Cuánto tiene cada uno?

Datos:

A = x

B = x -506

Suma = x +x -506

⇒

x +x -506 = 1154

2x = 1154+506

x = 1660/2

x = 830

x -506 = 830-506 = 324

Respuesta:  A = 830 y B = 324

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4) Dividir el número 106 en dos partes tales que la mayor exceda a la menor en 24.

Datos:

x = mayor

x-24 = menor

x + x -24 = 106

2x = 106 +24

x = 130/2

x = 65

x-24 = 65 -24 = 41

Respuesta:  65 y 41

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5) A tiene 14 años menos que B y ambas edades suman 56 años.  ¿Qué edad tiene cada uno?

Datos:

A = x

B = x + 14

Suma edades:  56 años.  

x +x+14 = 56

2x = 56 -14

x = 42/2

x = 21

x +14 = 21 +14 = 35  

Respuesta:  A = 21 años,  B = 35 años.

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6) Repartir 1080 soles entre A y B de modo que A reciba 1014 más que B.

Datos:

A = x

B = x - 1014

Suma: x + x -1014

x +x - 1014 = 1080

2x = 1080 +1014

x = 2094/2

x = 1047 

x - 1014 = 1047 -1014 = 33

Respuesta :  A = 1047 Soles,  B = 33 Soles.

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7) Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.

Datos:

Menor = x

Mayor = x+1

Suma = x + x+1

x +x +1 = 103

2x = 103 -1

x = 102/2

x = 51

x +1 = 51 +1 = 52

Respuesta:  51 y 52.

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8) Tres números enteros consecutivos suman 204.  Hallar los números.

Datos:

Menor = x

Intermedio = x+1

Mayor = x+2

Suma: 204

x + x + 1 + x + 2 = 204

3x = 204 -3

x = 201/3 

x = 67

x + 1 = 67 +1 = 68

x + 2 = 67 +2 = 69

Respuesta:  67, 68 y 69

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9) Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 74.

Datos:

1° número = x

2° número = x +1

3° número = x +2

4° número = x +3

Suma = 74

x + x +1 + x +2 + x +3 = 74

4x = 74 -6

x = 68/4

x = 17

x +1 = 17 +1 = 18

x +2 = 17 +2 = 19

x +3 = 17 +3 = 20

Respuesta:  17, 18, 19  y 20.

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10) Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.

Datos:

x  ,  x+2

Suma = 194

x + x +2 = 194

2x = 194 -2

x = 192/2

x = 96

x + 2 = 96 +2 = 98

Respuesta:  96 y 98.

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11) Hallar tres números enteros consecutivos cuya suma sea 186.

Datos:

x ,  x+1  ,  x+2

Suma: 186.

x + x +1 + x + 2 = 186

3x = 186-3

x = 183/3

x =  61

x + 1 = 61 + 1 = 62

x + 2 = 61 + 2 = 63

Respuesta:  61, 62 y 63.

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12) Pagué $325 por un caballo, un coche y sus arreos. El caballo costó $80 más que el coche y los arreos $25 menos que el coche.  Hallar los precios respectivos.

Datos:

Coche = x

Caballo = x +80

arreos = x -25

Suma = 325

x + x + 80 + x - 25 = 325

3x +55 = 325

3x = 325 -55

x = 270/3

x = 90

x + 80 = 90 +80 = 170

x - 25 = 90 -25 = 65

Respuesta:  Coche $90, Caballo $170 y  arreos $65.

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13)  La suma de 3 números es 200.  El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65.  Hallar los números.

Datos:

Mayor = x

medio = x -32

menor = x -65

Suma = 200.

x + x -32 + x -65 = 200

3x = 200 +32 +65

x = 297/3

x = 99

x -32 = 99 - 32 = 67

x -65 = 99 - 65 = 34 

Respuesta:  99, 67 y 34.

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14) Tres cestos contienen 575 manzanas.  El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero.  ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto?

Datos:

1° Cesto = x

2° cesto = x - 10

3° cesto = x - 15

Suma = 575

x +x -10 +x -15 = 575

3x -25 = 575

3x = 575 +25

x = 600/3

x = 200

x -10 = 200 -10 = 190

x -15 = 200 -15 = 185

Respuesta:  En el 1° 200, en el 2° 190 y en el 3° 185. (manzanas)

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15) Dividir 454 en tres partes sabiendo que la menor es 15 unidades menos que la del medio y 70 unidades menos que la mayor.

Datos:

Mayor = x + 70

Medio = x +15

Menor = x

Suma = 454

x + x +15 + x + 70 = 454

3x +85 = 454

x = 454 -85 / 3

x = 369/3

x = 123

x +15 = 123 +15 = 138

x +70 = 123 +70 = 193

Respuesta: 193, 138 y 123

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16) Repartir 310 sucres entre tres personas de modo que la segunda reciba 20 menos que la primera y 40 más que la tercera.

Datos:

1a. = x + 20

2a. = x

3a. = x - 40

Suma = 310.

x + x + 20 + x -40 = 310

3x -20 = 310

3x = 310 +20

x = 330/3

x = 110

x +20 = 110 +20 = 130

x -40 = 110 -40 = 70

Respuesta:  1a. 130,   2a. 110  y   3a. 70.

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17) La suma de las edades de tres personas es 88 años.  La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor.  Hallar las edades respectivas.

Datos:

Mayor = x

Medio = x -18

Menor = x -20

Suma = 88

x + x -18 + x -20 = 88

3x -38 = 88

3x = 88 +38

x = 126/3

x = 42

x - 18 = 42 -18 = 24

x -20 = 42 -20 = 22

Respuesta: mayor 42 años, mediana 24 años y menor 22 años,

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18) Dividir 642 en dos partes tales que una exceda a la otra en 36.

Datos:

x   y   x -36

Suma = 642.

x + x -36 = 642

2x = 642 +36

x = 678/2

x = 339

x -36 = 339 -36 = 303

Respuesta:  339 y 303.

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Representación gráfica de la función lineal de primer grado (2)

Ejercicio 169b.

Representar las funciones siguientes siendo "y" la variable independiente.

Trasponer términos de manera de llegar a la forma: y = f(x), y luego proceder a encontrar los puntos de las coordenadas cartesianas (x, y) y por último representar gráficamente la función.

19) x +y = 0

x +y = 0 ⇒ y = -x

En este caso todo valor que se le asigne a "x" le corresponderá un valor igual a "y" pero con signo distinto.

Si x = 2  ⇒ y = -2  Punto (2, -2)

Si x = 1  ⇒ y = -1  Punto (1, -1)

Si x = 0 ⇒ y = 0   Punto (0, 0)  Este es el punto de origen.

Si x = -1 ⇒ y = 1   Punto (-1, 1)

Si x = -2 ⇒ y = 2   Punto (-2, 2)

⇒ la gráfica sería

20) 2x = 3y

2x = 3y ⇒ y = 2x/3

Si x = -2 ⇒ y = 2(-2) /3 ⇒ y = -4/3  Punto (-2, -4/3)

Si x = -1 ⇒ y = 2(-1) /3 ⇒ y = -2/3  Punto (-1, -2/3)

Si x = 0 ⇒ y = 2(-0) /3 ⇒ y = 0  Punto (0, 0)

Si x = 1 ⇒ y = 2(1) /3 ⇒ y = 2/3  Punto (1, 2/3)

Si x = 2 ⇒ y = 2(2) /3 ⇒ y = 4/3  Punto (1, 4/3)

La gráfica sería:

21) 2x +y = 10

2x +y = 10 ⇒ y = -2x +10

Si x = -1 ⇒ y = -2(-1) +10 ⇒ y =  12,  Punto (-1, 12)

Si x = 0 ⇒ y = -2(0) +10 ⇒ y =  10,  Punto (0, 10)

Si x = 1 ⇒ y = -2(1) +10 ⇒ y =  8,  Punto (1, 8)

Si x = 5 ⇒ y = -2(5) +10 ⇒ y =  0,  Punto (5, 0)

Si x = 6 ⇒ y = -2(6) +10 ⇒ y =  2,  Punto (6, -2)

La gráfica sería:

22) 3y = 4x +5

3y = 4x +5  ⇒ y = 4x+5 / 3

Si x = -2 ⇒  y = 4(-2) +5 / 3 ⇒ y = -1  Punto (-2, -1)

Si x = -1.25  ⇒  y = 4(-1.25) +5 / 3 ⇒ y = 0  Punto (-1.25, 0)

Si x = -1 ⇒  y = 4(-1) +5 / 3 ⇒ y = 1/3  Punto (-1, 1/3)

Si x = 0 ⇒  y = 4(0) +5 / 3 ⇒ y = 5/3  Punto (0, 5/3)

Si x = 1 ⇒  y = 4(1) +5 / 3 ⇒ y = 3  Punto (1, 3)

23) 4x +y = 8

4x +y = 8 ⇒ y = -4x +8

Si x = -1 ⇒ y = -4(-1) +8 ⇒y = 12  Punto (-1, 12)

Si x = 0  ⇒ y = -4(0) +8   ⇒ y = 8   Punto (0, 8)

Si x = 1  ⇒  y = -4(1) +8  ⇒ y = 4   Punto (1, 4)

Si x = 2  ⇒ y = -4(2) +8   ⇒ y = 0   Punto (2, 0)

Si x = 3  ⇒ y = -4(3) +8   ⇒y = -4   Punto (3, -4)

24) y +5 = x

y +5 = x  ⇒ y = x -5

Si x = -1  ⇒ y = (-1) -5 ⇒ y = -6   Punto (-1, -6)

Si x = 0   ⇒ y = (0) -5   ⇒ y = -5   Punto (0, -5)

Si x = 1   ⇒ y = (1) -5   ⇒ y = -4   Punto (1, -4)

Si x = 5   ⇒ y = (5) -5   ⇒  y = 0   Punto (5, 0)

Si x = 6   ⇒ y = (6) -5   ⇒  y = 1   Punto (6, 1)

25) 5x -y = 2

5x -y = 2 ⇒ y = 5x -2

Si x = -1,      ⇒  y = 5(-1) -2  ⇒ y = -7   Punto (-1, -7)

Si x = 0,       ⇒  y = 5(0) -2    ⇒ y = -2   Punto (0, -2)

Si x = 0.40,  ⇒  y = 5(0.40) -2 ⇒ y = 0   Punto (0.4, 0)

Si x = 1,       ⇒  y = 5(1) -2    ⇒ y = 3    Punto (1, 3)

26) 2x -y =1

2x -y = 1 ⇒ -y = -2x +1 ⇒ y = 2x-1

Si x = -1 ⇒ y = 2(-1) -1 ⇒ y = -3   Punto (-1, -3)

Si x = 0 ⇒ y = 2(0) -1 ⇒ y = -1   Punto (0, -1)

Si x = 0.5 ⇒ y = 2(0.5) -1 ⇒ y = 0   Punto (0.5, 0)

Si x = 1 ⇒ y = 2(1) -1 ⇒ y = 1   Punto (1, 1)

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