Condiciones
que debe cumplir la expresión para ser un Cubo Perfecto de Binomios:
Sea la
expresión: a³ +3a²b +3ab² +b³ =
(a+b)³
a) Debe tener 4
términos
b) Que el 1° y
4° término sean cubos perfectos.
c) Que el 2°
término sea el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer
término multiplicado por la raíz cúbica del 4° término (
3a²b)
d) Que el 3°
término sea el triplo de la raíz cúbica del primer término
multiplicado por el cuadrado de la raíz cúbica del 4° término
(3ab²)
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Procedimiento
para factorar una expresión que sea un Cubo Perfecto de Binomio:
Sea el ejemplo:
8x³ +12x² +6x +1
>> Se
extrae la raíz cúbica del 1° y 4° términos:
raíz cúbica de
8x³ = 2x y
raíz cúbica de 1 = 1
>> Se
comprueba el 2° y 3° término de la expresión:
2° término:
3(2x)²(1) = 3(4x²)(1) = 12x²
3° término:
3(2x)(1)² = 3(2x)(1) = 6x
>> Como
todos los términos de la expresión dada 8x³ +12x² +6x +1, son positivos, el binomio
resultante de la expresión es (2x+1)³.
Por lo tanto; 8x³ +12x² +6x
+1 = (2x+1)³ , Es la Solución.
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Otro
ejemplo: 8x⁶ +54x²y⁶ -27y⁹ -36x⁴y³
>> En este
caso se ordena la expresión en relación a la letra “x” y
quedaría así:
8x⁶ -36x⁴y³ +54x²y⁶ -27y⁹ –>
>> Se
extrae la raíz cúbica del 1° y 4° término:
raíz cúbica de
8x⁶ = 2x² ;
raíz cúbica de 27y⁹ = 3y³
>> Se
comprueba el 2° y 3° término de la expresión:
2° término:
3(2x²)²(3y³) = 3(4x⁴)(3y³) = 36x⁴y³
3° término:
3(2x²)(3y³)² = 3(2x²)(9y⁶) = 54x²y⁶
>> Como los
términos de la expresión son alternativamente positivos y negativos
( +, -, +, –) el binomio resultante de la expresión
es: 8x⁶ -36x⁴y³ +54x²y⁶ -27y⁹ = (2x² -3y³)³ que es la
Solución
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NOTA:
Para extraer la raíz cúbica de un monomio, se le extrae raíz
cúbica al coeficiente y se divide el exponente de la letra entre 3 :
8x⁶ –> raíz cúbica de 8 es 2
y 6/3 = 2 –> = 2x²
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Ejercicio 102 del Libro.
1)
Factorar a³ +3a² +3a +1
Raíz cúbica de
a³ = a ; raíz cúbica de 1 = 1
2° término:
3(a)²(1) = 3(a²)(1) = 3a²
3° término:
3(a)(1)² = 3(a)(1) = 3a
Signos positivos
–> (a+1)³
Por lo tanto:
a³ +3a² +3a +1 =
(a+1)³ Solución.
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2) Factorar
27 -27x +9x² -x³ (Está ordenado
de menor a mayor grado)
Raíz cúbica de
27 = 3
; raíz cúbica de x³ = x
2° término:
3(3)²(x) =3(9)(x) = 27x
3° término :
3(3)(x)² = 3(3)(x²) = 9x²
Signos alternos
(x, -, +, -) –> (3-x)³
Por lo tanto:
27 -27x +9x² -x³ = (3-x)³ Solución
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3) Factorar
m³ +3m²n +3mn² +n³
Raíz cúbica de
m³ = m ;
n³ = n
2° término:
3(m)²(n) = 3(m²)(n) = 3m²n
3° término:
3(m)(n)² = 3(m)(n²) = 3mn²
Signos positivos
–> (m+n)³
Por lo tanto:
m³ +3m²n +3mn² +n³ = (m+n)³ Solución
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4) Factorar
1 -3a +3a² -a³
Raíz cúbica de
1 = 1 ;
raíz cúbica de a³ = a
2° término:
3(1)²(a) = 3(1)(a) = 3a
3° término:
3(1)(a)² = 3(1)(a²) = 3a²
Signos alternos
(+, -, +, -) –> (1-a)³
Por lo tanto: 1
-3a +3a² -a³ = (1-a)³ Solución.
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