Ejercicio 106.
Descomponer en factores:
1) 5a²+a
Caso I. Factor común polinomio.
= a(5a+1) Solución.
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2) m²+2mx+x²
Caso III. Trinomio cuadrado perfecto.
Raíz² de m² = m, y x² = x
-> = (m+x)² Solución.
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3) a²+a-ab-b
Caso II. Factor común por agrupación de términos.
= (a²+a)-(ab+b) = a(a+1)-b(a+1)
-> = (a+1)(a-b) Solución.
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4) x²-36
Caso IV. Diferencia de cuadrados perfectos.
Raíz² de x² = x, y de 36 = 6
-> = (x+6)(x-6) Solución.
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5) 9x²-6x+y²
Caso VII. Trinomio de la forma ax²±bx±c
= 9(9x²-6x+y²) = 81x²-9(6x)+9y² = (9x)²-6(9x)+9y²
= [(9x-3y)(9x-3y)]/9 = [(9x-3y)/3][ (9x-3y)/3]
= (3x-y)(3x-y) = (3x-y)² Solución.
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6) x²-3x-4
Caso VI. Trinomio de la forma x²±bx±c
= Raíz² de x² = x
-> = (x-4)(x+1) Solución.
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7) 6x²-x-2
Caso VII. Trinomio de la forma ax²±bx±c
= 6(6x²-x-2) = 36x²-6(x)-12 = (6x)²-1(6x)-12
= [(6x+3)(6x-4)]/6 = [(6x+3)/3(6x-4)/2]
= (2x+1)(3x-2) Solución.
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8) 1+x³
Caso IX. Suma o diferencia de cubos perfectos.
Raíz³ de 1 = 1, y de x³ = x
-> = (1+x)(1²-1x+x²) = (1+x)(1-x+x²) Solución.
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9) 27a³-1
Caso IX. Suma o diferencia de cubos perfectos.
Raíz³ de 27a³ = 3a, y de 1 = 1
= (3a-1)[(3a)²+(3a)(1)+1²] = (3a-1)(9a²+3a+1) Solución.
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10) x⁵+m⁵
Caso X. Suma o diferencia de potencias iguales.
Raíz⁵ de x⁵ = x, y de m⁵= m
-> x⁵+m⁵ / x+m = (x+m)(x⁴-mx³+m²x²-m³x+m⁴) Solución.
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11) a³-3a²b+5ab²
Caso I. Factor común polinomio.
= a(a²-3ab+5b²) Solución.
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12) 2xy-6y+xz-3z
Caso II. Factor común por agrupamiento de términos.
= (2xy-6y)+(xz-3z) = 2y(x-3)+z(x-3)
= (x-3)(2y+z) Solución.
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13) 1-4b+4b²
Caso III. Trinomio cuadrado perfecto.
Raíz² de 1 = 1, y de 4b² = 2b
-> = (1-2b)² Solución.
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14) 4x⁴+3x²y²+y⁴
Casos:
V. Trinomio cuadrado perfecto por adicion y sustracción,
VII. Trinomio de la forma ax²±bx±c,
y IV. Diferencia de cuadrados perfectos.
->
Raíz² de 4x⁴ = 2x², y de y⁴ = y²
Determinando el 2º término = 2(2x²)(y²) = 4x²y²
-> 4x²y² -3x²y² = x²y²
= 4x⁴+3x²y²+x²y²+y⁴-x²y² = 4x⁴+4x²y²+y⁴-x²y²
= (4x⁴+4x²y²+y⁴) - x²y² = [4(4x⁴+4x²y²+y⁴)]- (xy)²
= [(4x²)²+4x²y²+4y⁴]- (xy)² = [(4x²+2y²)/2 (4x²+2y²)/2] - (xy)²
= [(2x²+y²)(2x²+y²)] - (xy)² = (2x²+y²)² - (xy)²
= (2x²+y²+xy)(2x²+y²-xy)
= (2x²+xy+y²)(2x²-xy+y²) Solución.
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15) x⁸-6x⁴y⁴+y⁸
Casos:
V. Trinomio cuadrado perfecto por adicion y sustracción,
VI. Trinomio de la forma x²±bx±c,
y IV. Diferencia de cuadrados perfectos.
->
Raíz² de x⁸ = x⁴ , y de y⁸ = y⁴
Determinando el 2º término del trinomio:
-2(x⁴)(x⁴) = -2x⁴x⁴,
-> -2x⁴x⁴ -(-6x⁴y⁴) = 4x⁴y⁴
=
x⁸-6x⁴y⁴+y⁸ = x⁸-6x⁴y⁴+4x⁴y⁴+y⁸-4x⁴y⁴
= x⁸-2x⁴y⁴+y⁸-4x⁴y⁴
= (x⁸-2x⁴y⁴+y⁸) - (4x⁴y⁴) = (x⁴-y⁴)(x⁴-y⁴) - (-4x⁴y⁴)
= (x⁴-y⁴)² - (-2x²y²)²
= (x⁴-y⁴+2x²y²)(x⁴-y⁴-2x²y²)
= (x⁴+2x²y²-y⁴)(x⁴-2x²y²-y⁴) Solución.
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16) a²-a-30
Caso VI. Trinomio de la forma x²±bx±c
Raíz² de a² = a ->
= (a-6)(a+5) Solución.
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17) 15m²+11m-14
Caso VII. Trinomio de la forma ax²±bx±c
= 15(15m²+11m-14) = 225m²+15(11m)-210
= (15m)²+11(15m)-210
= [(15m+21)(15m-10)]/15 = [(15m+21)/3][(15m-10)/5]
= (5m+7)(3m-2) Solución.
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18) a⁶+1
Caso IX. Suma o diferencia de cubos perfectos.
Raíz³ de a⁶ = a² , y de 1 = 1
= (a²+1)[(a²)²-(a²)(1)+1²]
= (a²+1)(a⁴-a²+1) Solución.
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19) 8m³-27y⁶
Caso IX. Suma o diferencia de cubos perfectos.
Raíz³ de 8m³ = 2m y de 27y⁶ = 3y²
= (2m-3y²)[(2m)²+(2m)(3y²)+(3y²)²]
= (2m-3y²)(4m²+6my²+9y⁴) Solución.
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20) 16a²-24ab+9b²
Caso III. Trinomio cuadrado perfecto.
Raíz² de 16a² = 4a , y de 9b² = 3b
= (4a-3b)² Solución.
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21) 1+a⁷
Caso X. Suma o diferencia de potencias iguales.
= (1+a)(1)⁶-(1)⁵a+(1)⁴a²-(1)³a³+(1)²a⁴-(1)a⁵+a⁶)
= (1+a)(1-a+a²-a³+a⁴-a⁵+a⁶) Solución.
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22) 8a³-12a²+6a-1
Caso XIII Cubo perfecto de binomios.
Raíz³ de 8a³ = 2a ; raíz³ de -1 = -1
->
2o. término sería: 3(2a)²(-1) = -12a²
3o. término sería: 3(2a)(-1)² = 6a
Por lo tanto:
Solución es (2a-1)³
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