Determinación de puntos por sus coordenadas.

Función es la relación entre dos magnitudes de manera que al valor de la primera (dominio) le corresponde un único valor de la segunda (imagen).  Su notación es y= f(x).

Las cantidades que intervienen en un problema matemático son: 

Constantes, cuando tienen un valor fijo y determinado.

Variables, cuando se les da diversos valores.

Funciones expresables por fórmula.

Las funciones son expresables por fórmula o ecuaciones cuando se conoce la relación matemática que liga a la variable dependiente o función con las variables independientes; o sea cuando se conoce la ley de dependencia.

Por ejemplo y = 2x+1, y = 2x², y = x³+2x-1, son funciones expresadas por ecuaciones o fórmulas.

Tomando la función y = 2x+1, y como a cada valor de "x" le corresponde un valor determinado de la función "y"; se desarrolla de la siguiente manera:

Para x = + ⋯

Para x = 2, ⇒ y = 2x+1 ⇒y = 2(2)+1 ⇒ y = 5  ⇒      Punto (2, 5)

Para x = 1, ⇒ y = 2x+1 ⇒y = 2(1)+1 ⇒ y = 3  ⇒      Punto (1, 3)

Para x = 0, ⇒ y = 2x+1 ⇒y = 2(0)+1 ⇒ y = 1  ⇒       Punto (0, 1)

Para x = -1, ⇒ y = 2x+1 ⇒y = 2(-1)+1 ⇒ y = -1  ⇒   Punto (-1, -1)

Para x = -2, ⇒ y = 2x+1 ⇒y = 2(-2)+1 ⇒ y = -3  ⇒   Punto (-2, -3)

Para x = - ⋯

Determinación de un punto por sus coordenadas (x,y)

1) Determinar el punto 2 y 3 o (2, 3) = (x,y)

2) Determinar el punto (-3, 4)

3) Determinar el punto (-2, -4)

4) Determinar el punto (4, -2)

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Ejercicio 168.

Determinar gráficamente los puntos:

1) (1, 2),  2) (-2, 1),  3) (-2, -1),  4) (2,-3),  

5) (3, -4),  6) (-5, 2),  7) (-3, -4),  8) (0, 3).

9) (-3, 0),   10) (5, -4),   11) (-4, -3),   12) (0, -6),

13) (4, 0),  14) (-7, 10),  15) (3. -1).

Trazar la línea que pasa por los puntos:

16) (1, 2) y (3, 4),   17) (-2, 1) y (-4, 4),   18) (-3, -2) y (-1, -7)

19) (2, -4) y (5, -2),   20) (3, 0) y (0, 4)

21) (-4, 0) y (0, -2),   22) (-4, 5) y (2, 0),   

23) (-3, -6) y (0, 1),   24) (-3, -2) y (3, 2).

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Representación gráfica de una ecuación de 1° grado con tres variables.

Toda ecuación de primer grado con tres variables representa un plano tridimensional.

Su expresión es Ax +By +Cz = D.

Los segmentos (---) 0A, 0B, 0C son las trazas (líneas trazadas) del plano sobre los ejes.

Los puntos A, B, y C, donde el plano intersecta a los ejes X, Y y Z, tienen dos coordenadas nulas o con valor cero.

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Ejemplos.

a) Representa la ecuación 4x +3y +2z = 12

Hallando las trazas del plano sobre los ejes:

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 4x +3(0) +2(0) = 12 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3

El punto es (3, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 4(0) +3y +2(0) = 12 ⇒ 3y = 12 ⇒ y = 4

El punto es (0, 4, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 4(0) +3(0) +2z = 12 ⇒ 2z = 12 ⇒ z = 6

El punto es (0, 0, 6)

Graficando los puntos y uniéndolos para encontrar el plano que representa a la ecuación:

La gráfica sería:

b)  Representar gráficamente 4x +5y +8z = 20

Hallando las trazas del plano sobre los ejes:

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 4x +3(0) +2(0) = 20 ⇒ 4x = 20 ⇒ x = 5

El punto es (5, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 4(0) +5y +2(0) = 20 ⇒ 5y = 20 ⇒ y = 4

El punto es (0, 4, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 4(0) +3(0) +8z = 20 ⇒ 8z = 20 ⇒ z = 2.5 

El punto es (0, 0, 2.5) 

y su gráfica:

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Ejercicio 190.

Representar gráficamente las ecuaciones:

1) 3x +6y +2z = 6

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 3x +6(0) +2(0) = 6 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2

El punto es (2, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 3(0) +6y +2(0) = 6 ⇒ 6y = 6 ⇒ y = 1

El punto es (0, 1, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 3(0) +6(0) +2z = 6 ⇒ 2z = 6 ⇒ z = 3 

El punto es (0, 0, 3)

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2) 2x +y +4z = 4

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 2x +1(0) +4(0) = 4 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2

El punto es (2, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 2(0) +y +4(0) = 4 ⇒  y = 4

El punto es (0, 4, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 2(0) +1(0) +4z = 4 ⇒ 4z = 4 ⇒ z = 1 

El punto es (0, 0, 1)

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3) 4z +6y +3z = 12

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 4x +6(0) +3(0) = 12 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3

El punto es (3, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 4(0) +6y +3(0) = 12 ⇒ 6y = 12 ⇒ y = 2

El punto es (0, 2, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 4(0) +6(0) +3z = 12 ⇒ 3z = 12 ⇒ z = 4 

El punto es (0, 0, 4)

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4) 15x +6y +5z = 30

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 15x +6(0) +5(0) = 30 ⇒ 15x = 30 ⇒ x = 2

El punto es (2, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 15(0) +6y +5(0) = 30 ⇒ 6y = 30 ⇒ y = 5

El punto es (0, 5, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 15(0) +6(0) +5z = 30 ⇒ 5z = 30 ⇒ z = 6 

El punto es (0, 0, 6)

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5) 2x +y +3z = 6

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 2x +1(0) +3(0) = 6 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3

El punto es (3, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 2(0) +y +3(0) = 6 ⇒ y = 6 ⇒ y = 6

El punto es (0, 6, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 2(0) +1(0) +3z = 6 ⇒ 3z = 6 ⇒ z = 2 

El punto es (0, 0, 2)

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6) 15x +10y +6z = 30

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 15x +10(0) +6(0) = 30 ⇒ 15x = 30 ⇒ x = 2

El punto es (2, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 15(0) +10y +6(0) = 30 ⇒ 10y = 30 ⇒ y = 3

El punto es (0, 3, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 15(0) +10(0) +6z = 30 ⇒ 6z = 30 ⇒ z = 5 

El punto es (0, 0, 5)

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7) 14x +10y +5z = 35

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 14x +10(0) +5(0) = 35 ⇒ 14x = 35  ⇒ x = 2.5

El punto es (2.5, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 14(0) +10y +5(0) = 35 ⇒ 10y = 35 ⇒ y = 3.5

El punto es (0, 3.5, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 14(0) +10(0) +5z = 35 ⇒ 5z = 35 ⇒ z = 7 

El punto es (0, 0, 7)

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8) 3x +y +2z = 10

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 3x +1(0) +2(0) = 10 ⇒ 3x = 10 ⇒ x = 3.3

El punto es (3.3, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 3(0) +y +2(0) = 10 ⇒ y = 10

El punto es (0, 10, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 3(0) +1(0) +2z = 10 ⇒ 2z = 10 ⇒ z = 5 

El punto es (0, 0, 5)

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9) 4x +2y +3z = 18

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 4x +2(0) +3(0) = 18 ⇒ 4x = 18 ⇒ x = 4.5

El punto es (4.5, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 4(0) +2y +3(0) = 18 ⇒ 2y = 18 ⇒ y = 9

El punto es (0, 9, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 4(0) +2(0) +3z = 18 ⇒ 3z = 18 ⇒ z = 6 

El punto es (0, 0, 6

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10) 15x+20y +24z = 120

Plano 0X:

y = 0, z = 0 ⇒ 15x +20(0) +24(0) = 120 ⇒ 15x = 120 ⇒ x = 8

El punto es (8, 0, 0)

Plano 0Y:

x = 0, z = 0 ⇒ 15(0) +20y +24(0) = 120 ⇒ 20y = 120 ⇒ y = 6

El punto es (0, 6, 0)

Plano 0Z:

x = 0, y = 0 ⇒ 15(0) +20(0) +24z = 120 ⇒ 24z = 120 ⇒ z = 15 

El punto es (0, 0, 5)

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