Divisibilidad de aⁿ + bⁿ y aⁿ - bⁿ entre a + b y a - b.

Determinando la Divisibilidad de aⁿ+bⁿ y aⁿ-bⁿ entre a+b y a-b; aplicando el "Teorema del Residuo" y basado en las reglas de "Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades".

Reglas:

1)  , siempre es divisible, ya sea "n" par o impar.

y será divisible, si se anula al sustituir "a" por "+b", en aⁿ-bⁿ.

2)  , es divisible, si "n" es impar. 

y será divisible, si se anula al sustituir a por -b.

3)  , no es divisible, si "n" es par

y porque no se anula al sustituir a por +b.

4)   , es divisible, si "n" es par.

y será divisible, si se anula al sustituir a por -b. 

5)  , nunca es divisible, ya sea "n" par o impar.

Porque no se anula al sustituir a por +b.

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Ejercicio 77.

Diga, por simple inspección, si son exactas las divisiones siguientes y en caso negativo, diga cuál es el residuo.

1) 

Es inexacta. 

No es divisible, porque al sustituir x⁵ por 1:

x⁵+1 ⇒ 1+1 = 2 es el residuo.

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2)  

Inexacta.  

No es divisible porque "n" es par.

Sustituyendo a⁴ por -b⁴

 a⁴+b⁴ ⇒ (-b)⁴+b⁴ ⇒ b⁴+b⁴= 2b⁴  es el residuo

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3) 

Exacta.  

Es divisible porque "n" es par.

Sustituyendo x⁸ por -(-1)

x⁸-1 ⇒ -(-1) -1 = 1-1 = 0 
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4) 

Inexacta.  

Nunca es divisible. 

Porque al sustituir a¹¹ por +1:

a¹¹+1 ⇒ 1 +1 = 2 Residuo.

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5) 

Inexacta.

No es divisible porque "n" es par.

Porque al sustituir a⁶ por +b⁶:

a⁶+b⁶ ⇒ (-b)⁶+b⁶ ⇒ b⁶+b⁶= 2b⁶ Residuo.

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6) 

Exacta.

Siempre es divisible; par o impar.

Sustituyendo x⁷ por +1

a⁷-1 ⇒ (1) -1 = 0
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7) 

Inexacta.

No es divisible porque "n" no es par.

Sustituyendo x³ por -8
x³-8 ⇒ -8 -8 = -16 Residuo.
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8) 

Exacta.

Es divisible porque "n" es par.

Sustituyendo x⁴ por -(-16)

x⁴-16 ⇒ -(-16)-16= 16-16 = 0
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9) 

Inexacta.

Nunca es divisible, ya sea "n" par o impar.

Sustituyendo a5 por +32

a5+32 ⇒ 32+32 = 64 Residuo.

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10) 

Inexacta.

No es divisible, porque "n" no es par.

Sustituyendo x⁷ por -(-128)

x⁷-128 ⇒ -128-128 = -256  Residuo.

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11) 

Exacta.

Es divisible porque "n" es par.

Sustituyendo 16a⁴ por -81b⁴

16a⁴ -81b⁴ ⇒ -(-81b⁴ ) -81b⁴ = 81b⁴  -81b⁴ = 0

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12) 

Exacta.

Es divisible porque "n" ( ³ ) es impar. 
Sustituyendo a³x⁶ por -b⁹

a³x⁶ +b⁹ ⇒ -b⁹+b⁹ = 0.

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