Ecuaciones de grado superior al 2°, resueltas por fórmula general y/o factorización.

Son las ecuaciones que constan de tres términos: en donde el primer término es el doble en su exponente que el segundo, y el tercer término es independiente.   

, en donde a y b son los coeficientes del primer y tercer término respectivamente; c es el término independiente; n es el exponente al que está elevado la variable x, y 2n indica el doble del primer término con el siguiente. 

Las ecuaciones trinomias en las que el primer término es x⁴, y el segundo x² se llaman ecuaciones bicuadráticas.

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Ejemplo a)  Resuelve x⁶-19x³ -216 = 0

Utilizando la fórmula de la ecuación de 2° grado:

Descomponiendo el término cuadrático  x⁶ en (x³)², entonces:

Por lo tanto ( ∴ ),

Extraemos la raíz cúbica, para encontrar el valor de x:

x³ = 27  ∴ x = ∛27 ⇒  x = 3

x³ = -8  ∴ x = ∛-8 ⇒  x = -2

Igualando a cero los resultados de:

x³ = 27 ⇒  x³ -27 = 0

x³ = -8 ⇒  x³ +8 = 0

La expresión queda así:

(x³ -27)(x³ +8) = 0

Descomponiendo los factores x³ -27:

x³ -27 = (x-3)(x²+3x+9)

Igualando a cero los nuevos factores:

Si x-3 = 0 ⇒ x = 3

Si x² +3x +9= 0

 

 

∴ 

 

raíces imaginarias. 

Descomponiendo los factores x³ +8:

x³ +8 = (x+2)(x²-2x+4)

Igualando a cero los nuevos factores:

Si x+2 = 0 ⇒ x = -2

∴

  raíces imaginarias.

Entonces las raíces de x⁶-19x³ -216 = 0 son

x=3 , x=-2 ,  x= -3/2+3√3i /2  ,  x= -3/2-3√3i /2  ,  x=  1+√3i  ,  1-√3i 

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Ejemplo b)  Resolver  

Factorizando el trinomio:

Igualando a cero el primer factor:

Raíces imaginarias.

Igualando a cero el segundo factor:

Raíces reales.

Las raíces de   son:

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Ejercicio 184  

Resolver las ecuaciones:  

Utilizando la fórmula general:

Por lo tanto:

Igualando a cero:

 

Factorizando 

1°.  

    raíz

 

Por lo tanto:

  raíces

2°.  

   raíz.

Por lo tanto:

    raíces.

Las raíces de    son:

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Por fórmula general:

    Por lo tanto:

Igualando a cero y factorizando los resultados de x⁴:

1°.  Si  x⁴ = 25 ⇒ x⁴ -25 = 0 ⇒ (x²-5) (x²+5) = 0 

Entonces:

Si  x²-5 = 0 ⇒ x² = 5 ⇒ x =  ±√5   Raíces.

Si  x²+5 = 0 ⇒ x² = -5 ⇒ x =  ±√-5 ⇒  x =  ±√5i   Raíces.

2°.  Si x⁴ = 16 ⇒ x⁴ -16 = 0 ⇒ (x² -4) (x² +4) = 0

Entonces:

Si x² -4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±√4 ⇒ x = ±2   Raíces. 

Si x² +4 = 0 ⇒ x² = -4 ⇒ x = ±√-4 ⇒ x = ±√4i  ⇒ x = ±2i   Raíces.

Las raíces de   son:

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Despejando por la fórmula de 2° grado

Factorizando:

Si x⁵ =32 ⇒ x = √32 ⇒ x = 2  Raíz

Si x⁵ = 1 ⇒ x = √1 ⇒ x = 1  Raíz

Solución:  Las raíces de la ecuación original son:  x = 2  y x = 1.

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Por lo tanto:

Factorizando el trinomio:

Por lo tanto;

Descomponiendo los factores:

   raíces.

   raíces.

Solución: Las raíces de la ecuación original son:

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Factorizando

Igualando a cero los factores:

     Raíz.

    Raíz.

Solución:  Las raíces de la ecuación son:  x = 1/3  y  x = -1.

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Factorizando:

(x-9)(x-4) = 0 

⇒

x -9 = 0  ⇒  x = 9 

x -4 = 0  ⇒ x = 4

Solución:  {x = 9  ,  x = 4}

Nota: 9 es una solución falsa  y 4 es verdadera.

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Factorizando por Fórmula de 2° grado:

Por lo tanto

⇒

Solución:  {x = 16  ,  x = 1/16}

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