2) Si al
construir x²+bx+c = 0 , la suma y/o el producto de los números, es
o son fracciones, toda la ecuación se debe dividir entre el m.c.m.
de los denominadores, con lo que la ecuación cambiará a la forma
ax²+bx+c = 0.
3) Para ambos
casos, es recomendable usar la fórmula general o por medio de
factorización.
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Ejemplos:
a) La suma
de dos números es 4 y su producto es -396, hallar los números:
>
Construyendo la ecuación:
x² -4x -396
= 0
> Aplicando
la fórmula:
x =
[-(b)±√(b)²-4ac]/2(a)
x =
[-(-4)±√(-4)²-4(1)(-396)]/2(1)
x =
[4±√16+1584]/2
x =
[4±√1600]/2
x = (4±40)/2
–>
x₁ =
(4+40)/2 = 44/2 = 22
x₂ =
(4-40)/2 = -36/2 = -18
b) La suma
de dos números es -35/4 y su producto 6. Hallar los números.
>
Construyendo la ecuación:
x²+35/4x+6
= 0
>
Convirtiendo la ecuación a la forma ax+bx+c = 0:
x²+35/4x+6 =
0 ÷ 4
4x²+35x+24 =
0
>
Resolviendo por la fórmula:
x =
[-(35)±√(35)²-4(4)(24)]/2(4)
x =
[-35±√1225-384]/8
x =
[-35±√841]/8
x = [-35±29]/8
–>
x₁ =
(-35+29)/8 = -6/8 = – ¾
x₂ =
(-35-29)/8 = -64/8 = -8
_______________________________________
Ejercicio
279.
(Aquí
utilizaré la fórmula en algunos casos y en otros la fórmula y la
factorización, para que veas cual es más fácil y menos laboriosa)
Encontrar
dos números sabiendo que
1) La suma
es 11 y el producto es 30.
>
Construyendo la ecuación:
x²-11x+30
= 0
>
Resolviendo por fórmula:
x =
[-(-11)±√(11)²-4(1)(30)]/2(1)
x =
[11±√121-120]/2
x = [11±√1]/2
x = [11±1]/2
–>
x₁
= (11+1)/2 = 12/2 = 6
x₂
= (11-1)/2 = 10/2 = 5
>
Resolviendo por factorización:
x²-11x+30
= 0
(x-6)(x-5) = 0
> Igualando
los factores a cero:
x-6 = 0
–> x₁ = 6
x-5 = 0
–> x₂ = 5
__________________________________________________
2) La suma
es -33 y el producto 260.
>
Construyendo la ecuación:
x²+33x+260
= 0
>
Resolviendo por la fórmula:
x =
[-(33)±√(33)²-4(1)(260)]/2(1)
x =
[-33±√1089-1040]/2
x =
[-33±√49]/2
x = [-33±7]/2
–>
x₁ =
(-33+7)/2 = -26/2 = -13
x₂ =
(-33-7)/2 = -40/2 = -20
>
Resolviendo por factorización:
x²+33x+260 =
0
(x+13)(x+20) =
0
> Igualando
los factores a cero:
x+13 = 0
–> x₁ = -13
x+20 = 0
–> x₂ = -20
__________________________________________________
6) La suma
es 3/2 y su producto -1
>
Construyendo la ecuación:
x² -3/2x -1
= 0
Convirtiendo a
la forma ax²+bx+c = 0
x² -3/2x -1 = 0
÷ 2
2x ²-3x -2 =
0
>
Resolviendo por la fórmula:
x =
[-(-3)±√(-3)²-4(2)(-2)]/2(2)
x =
[3±√9+16]/4
x = [3±√25]/4
x = [3±5]/4
–>
x₁ =
(3+5)/4 = 8/4 = 2
x₂ =
(3-5)/4 = -2/4 = – ½
>
Resolviendo por factorización:
2x²-3x-2 =
0
(2x)²-3(2x)-4
= 0
(2x-4)(2x+1)
= 0
.
2 1
(x-2)(2x+1) =
0
> Igualando
los factores a cero:
x-2 = 0 –> x₁
= 2
2x+1 = 0
–> x₂ = – ½
__________________________________________________
8) La suma
es ¼ y su producto -3/8
>
Construyendo la ecuación:
x² -1/4x -3/8 =
0
>
Convirtiendo la ecuación a la forma ax²+bx+c = 0
x² -1/4x -3/8
÷ 8
8x² -2x -3 =
0
>
Resolviendo por la fórmula:
x =
[-(-2)±√(-2)²-4(8)(-3)]2(8)
x =
[2±√4+96]/16
x =
[2±√100]/16
x = [2±10]/16
–>
x₁ =
(2+10)/16 = 12/16 = ¾
x₂ =
(2-10)/16 = -8/16 = – ½
>
Resolviendo por factorización:
8x² -2x -3 =
0
(8x)² -2(8x)-24
= 0
(8x-6)(8x+4)
= 0
.
2 4
(4x-3)(2x+1) =
0
> Igualando
los factores a cero:
4x-3 = 0
–> x₁ = ¾
2x+1 = 0
–> x₂ = – ½
