Problemas de Progresiones Aritméticas.

Fórmulas:

u = a+(n-1)r    Enésimo término
a = u-(n-1)r     Primer término
r = u-1 /n-1      Razón
n = u-a+r /r     Número de términos
S = (a+u)n /2   Suma de los términos
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Procedimiento:
1) Determinar el elemento principal del problema; regularmente es lo que se pide encontrar.
2) Plantear las variables del problema.
3) Aplicar la o las fórmulas que corresponda.
4) Sustituir las variables que corresponda en la determinada fórmula.
5) Operar y simplificar para llegar a la solución.
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Ejercicio 290.

Realizar lo que se pide:

1) Hallar la suma de los 20 primeros múltiplos de 7.

Elemento principal del problema: Suma de los primeros 20 múltiplos de 7.

En este problema el primer término de la progresión es 7, y el siguiente término es 14, que es el segundo múltiplo de 7, y así sucesivamente; por lo que la razón sería  r = 14-7 = 7.

Variables para aplicar a las fórmulas:
a = 7  ,  n = 20  ,  r = 7 ,   u = ?  ,  S = ?

Se pide la Suma, pero en la fórmula de ésta se necesita el enésimo término, por lo que primero se encuentra este término.

Aplicando la fórmula del enésimo término:

u = a+(n-1)r
u = 7+(20-1)7
u = 7+(19)7
u = 7+133
u = 140

Aplicando la fórmula para la Suma de términos:

S = (a+u)n /2
S = (7+140)20 /2
S = (147)20 /2
S = 2940/2
S = 1470   Solución.
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3) Hallar la suma de los 43 primeros números terminados en 9.

Elemento principal del problema:  suma de los 43 números que terminen en 9.

Si el primer término es 9, el segundo será 19, por lo tanto la razón es  r =19-9 = 10

Variables para aplicar a las fórmulas:
a = 9  ,  n = 43  ,  r = 10  ,  u = ?  ,  S = ?

Aplicando la fórmula del enésimo término:
u = 9+(43-1)10
u = 9+(42)10
u = 9 + 420
u = 429

Aplicando la fórmula de la Suma:
S = (9+429)43 /2
S = 438(43) / 2
S = 18834/2
S = 9417   Solución.
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6) Compré 50 libros.  Por el primero pagué 8 cts. y por cada uno de los demás 3 cts. más que por el anterior.  Hallar el importe de la compra.

Elemento principal: Importe de la compra.

Variables para aplicar a las fórmulas:
a = 8  ,  n = 50  ,  r = 3  ,  u = ?  ,  S = ?

Aplicando la fórmula del enésimo término:
u = 8+(50-1)3
u = 8+(49)3
u = 8 +147
u = 155

Aplicando la fórmula de la Suma:
S = (8+155)50 /2
S = (163)50 /2
S = 8150/2
S = 4075 cts.
S = $40.75    Solución.
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13) Una deuda puede ser pagada en 32 semanas pagando $5. la 1ª semana, $8. la 2ª semana, $11. la 3ª semana y así sucesivamente.  Hallar el importe de la deuda.

Elemento principal del problema:  Importe de la deuda.

Variables para aplicar a las fórmulas:
a = 5  ,  n = 32  ,  r = 8-5 = 3  ,  u = ?  ,  S = ?

Aplicando la fórmula del enésimo término:
u = 5+(32-1)3
u = 5+(31) 3
u = 5 +93
u = 98

Aplicando la fórmula de la Suma:
S = (5+98)32 /2
S = (103)32 /2
S = 3296/2
S = $1648.   Solución.
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16) ¿Cuál es el 6º término de una progresión aritmética de 11 términos si su 1er. término es -2 y el último es -52?

Elemento principal del problema; Encontrar el enésimo término (6º).

Variables para aplicar a las fórmulas:
a = -2  ,  u = -52  ,  n = 11  ,  r = ?  ,  6º término = ?

Aplicando la fórmula de la Razón:
r = u-a /n-1
r = -52 -(-2) /11-1
r = -52+2 / 10
r = -50/10
r = -5

Aplicando la fórmula del Enésimo término (6º):
u = -2+(6-1)-5
u = -2 +(5)-5
u = -2 +(-25)
u = -27   Solución.
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17) En el primer año de negocios un hombre ganó $500 y en el último ganó $1900.  Si en cada año ganó $200 más que en el año anterior, ¿cuántos años tuvo el negocio?

Elemento principal del problema: cuántos años duró el negocio.

Variables para aplicar a las fórmulas:
a = 500  ,  u = 1900  ,  r = 200  ,  n = ?

Aplicando la fórmula para el Número de años:
n = 1900 - 500 +200 /200
n = 1600/200
n = 8 años.   Solución.
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19) Las pérdidas de 5 años de una casa de comercio están en progresión aritmética.  El último año perdió 3000 Soles, y la pérdida de cada año fue de 300 Soles menos que en el año anterior. ¿Cuánto perdió el primer año?

Elemento principal del problema: cuánto perdió el primer año.

Variables para aplicar a las fórmulas:
u = 3000  ,  n = 5  ,  r = -300  ,  a = ?

a = u-(n-1)r
a = 3000 -(5-1)-300
a = 3000 -(4)-300
a = 3000 - (-1200)
a = 3000 +1200
a = 4200   Solución.
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