Transformación de expresiones de la forma √(a±√b) en suma de radicales simples.

  

 Es convertir expresiones con radicales dobles
en una suma o diferencia de radicales simples 

Si en la expresión con radicales dobles, el signo que separa sus términos es positivo; la transformación será una suma de radicales simples.

Si en la expresión con radicales dobles, el signo que separa sus términos es negativo; la transformación será una diferencia de radicales simples. 

La fórmula para encontrar la suma o diferencia de una expresión con radicales dobles es:

Cuando:

  

Donde :

a: es el primer término de la expresión original.

b: es la cantidad subradical del segundo término de la expresión original.

y   
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Ejemplos:

a) Transformar  en una suma de radicales simples:

Siendo a = 6,  b= 20  y  

m =√ (6² -20) = √(36 -20) = √16 --> m = 4

> Aplicando la fórmula para la transformación:

Solución.

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b) Transformar en suma algebraica de radicales simples 

> Introduciendo el factor 2 dentro de √10

--> a = 7,  b = 10 y 

m = √(7²-40) = √(49-40) = √9 --> m = 3

> Aplicando la transformación de

Solución.

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Ejercicio 285.

Transformar en suma algebraica de radicales simples:

a = 5,  b = 24,  y 

m = √(5²-24) = √(25-24) = √1 --> m = 1

Solución.

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a = 8,  b = 60,   y 

m = √(8²-60) = √(64-60) = √4 --> m = 2

²

Solución.

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--> a = 11,  b = 120,  y  

m = √(11²-120) = √(121-120) = √1 --> m = 1

  Solución.

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--> a = 84,   b = 972

y m = √(84²-972) = √(7056-972) = √6084 --> m = 78

Solución.

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--> a = 5/6,   b = 2/3  y

m = √[(5/6)² - (2/3)] = √(25/36 - 2/3) = √1/36 --> m = 1/6

Solución.

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--> a = 3/4,   b = 1/2 

y m = √[(3/4)²-1/2] = √(9/16 -1/2) = √1/16 --> m = 1/4

 Solución.

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Ecuaciones con radicales que se reducen a 2º grado. Soluciones extrañas.

Las ecuaciones con radicales se resuelven eliminando los radicales al elevar los dos miembros a la potencia que contiene el índice del radical.

Cuando el resultado de efectuar la operación anterior da una ecuación de 2º grado, esta se despeja para obtener dos raíces.  

Para comprobar que las raíces son verdaderas se debe verificar ambas en la ecuación original, tomando en cuenta las raíces en su valor positivo.  En este caso las soluciones pueden no satisfacer la ecuación. Cuando esto se da se dice que las soluciones son extrañas o inadmisibles.

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Ejemplo.

Resolver la ecuación

> Elevando al cuadrado ambos miembros:

    

> Resolviendo el 1er. miembro como Cuadrado de la diferencia de un binomio; y el 2º eliminando el índice y el exponente.

> Dividiendo entre -2 ambos miembros:

> Eliminando la raíz cuadrada de un miembro y elevando al cuadrado el otro:

> Factorizando: multiplicando el trinomio por 3:

> Dividiendo entre 3 el primer factor y entre 1 el 2º:

> Igualando a cero los factores:

> Verificando las raíces encontradas:

Siendo 

y   x = 3 

Solución verdadera.

y   x = 2/3

No tiene resultado real, es una solución extraña.

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Ejercicio 273.

Resolver las ecuaciones y efectuar la verificación de las raíces.

1)  

> Verificando las raíces:

Si x =12

    Solución extraña o inadmisible.

Si x = 2

 Solución verdadera.

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2)   

SI x-10 = 0  --> x = 10

SI x - 5 = 0  --> x = 5

> Verificando las raíces:

Solución extraña.

Solución verdadera.

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7)

> Verificando las raíces:

Cuando x = 1/3

Solución extraña o inadmisible.

Cuando x = 2

Solución verdadera.

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8)  

SI   

SI   

Verificando las raíces:

Cuando x = 0

Solución verdadera.

Cuando x = 5

Solución verdadera.

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10)  

SI 

SI 

Verificando las raíces.

Cuando x=6

Solución verdadera.

Cuando x=1:

Solución verdadera.

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