M.C.D. de dos polinomios por divisiones sucesivas.

Este es el método que se utiliza para hallar el m.c.d. de dos polinomios, que no pueden factorizarse fácilmente.

Regla para encontrar el m.c.d. de dos polinomios por divisiones sucesivas:

Se ordenan ambos polinomios con relación a una misma letra y se divide el de mayor grado entre el de grado menor. 

 

Cuando ambos son del mismo grado, cualquiera se toma como dividendo. 

Si la división no es exacta se divide el divisor entre el primer residuo, y así sucesivamente hasta llegar a un residuo cero.  El ultimo divisor será el m.c.d. buscado.

Cada división termina hasta que el grado del primer término del residuo sea menor que el grado del primer término del divisor. 

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Ejemplo a)
Hallar por divisiones sucesivas el m.c.d. de 16x³+36x²-12x-18 y 8x²-2x-3

Dividiendo el polinomio de mayor grado entre el de menor:

.                2x+5                         .

8x²-2x-3  | 16x³+36x² -12x -18

.                -16x³+  4x² + 6x

.                           40x² -  6x -18

.                          -40x²+10x+15

.                                       4x -  3  Residuo

Dividiendo el divisor entre el residuo, de la primera división.

.          2x+1          .

4x -3  | 8x²- 2x -3 

.          -8x²+6x   

.                   4x -3

.                  -4x+3

.                       0

La división es exacta por lo tanto el m.c.d. es 4x -3

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Ejemplo b).

Hallar, por sucesiones sucesivas, el m.c.d. de

12x³-26x²+20x-12  y  2x³-x²-3x

Dividiendo el primer polinomio entre 6 y el segundo entre x:

= 6x³-13x²+10x-6 ÷  2x²-x-3

.             3x-5                              .

2x²-x-3 | 6x³-13x²+10x - 6

.             -6x³+ 3x²+  9x

.                    -10x²+19x- 6

.                     10x² -  5x-15

.                               14x-21

Dividiendo el residuo 14x-21 entre 7 = 2x-3                        

--> 2x²-x-3 ÷  2x-3

..        x+1           .

2x-3 | 2x² -  x-3

.        -2x²+3x

.                 2x -3

.                -2x+3

.                     0

La división es exacta por lo tanto el m.c.d. es 2x-3

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Ejemplo c)

Hallar, por divisiones sucesivas, el m.c.d. de 3x³-13x²+5x-4  y  2x²-7x-4

El 3x³ no es divisible entre 2x², entonces se multiplica el primer polinomio por 2 para que sea divisible:

=> la división sería:

6x³-26x²+10x-8 ÷  2x²-7x-4

.               3x                       .

2x²-7x-4 | 6x³-26x²+10x -8

.              -6x³+21x²+12x

.                      - 5x²+22x -8

Como -5x² no es divisible entre 2x², entonces le cambiamos el signo, y sería 5x²-22x +8 y lo multiplicamos por 2 para que sea divisible entre 2x², quedaría 10x²-44x +16

--> 10x²-44x +16 ÷  2x²-7x-4

.               5                      .

2x²-7x-4 | 10x²-44x +16

.              -10x²+35x+20

.                         - 9x+36

.Se cambia el signo al residuo y sería 9x-36 y lo dividimos entre 9 y quedaría x-4

--> 2x²-7x-4 ÷  x-4

.       2x+1              .

x -4 | 2x² -7x -4

.       -2x²+8x

.                  x -4

.                 -x+4

.                    0

La división es exacta, por lo tanto el m.c.d. es x -4. 

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Ejercicio 113.

Hallar por divisiones sucesivas el m.c.d. de:

1) 12x²+8x+1  y  2x²-5x-3

.                6                  .

 2x²-5x-3 | 12x²+  8x+ 1

.               -12x²+30x+18

.                          38x+19  --> (38x+19) ÷19 = 2x+1

.         x-3         .

2x+1 | 2x²-5x-3

.         -2x² - x

.                -6x -3

.                 6x +3

.                     0

--> m.c.d. es  2x+1

______________________________

2) 6a²-2a-20  y  2a³-a²-6a

Se divide 2a³-a²+6a entre "a" y es 2a²-a-6

.             3             .

2a²-a-6 | 6a² -2a -20

.            -6a²+3a+18

.                        a- 2

.       2a+3      .

a -2 | 2a² - a -6

.      -2a²+4a

.               3a -6

.              -3a+6

.                  0

--> el m.c.d. es a-2.

______________________________

3) 5a³-6a²x+ax²  y  3a³-4a²+ax²

Sacando el factor común de ambos polinomios:

5a³-6a²x+ax² = a(5a²-6ax+x²)

3a³-4a²+ax²   = a(3a²-4ax+x²)

--> El primer factor común del m.c.d. de ambos polinomios es "a".

Por consiguiente los polinomios a determinar el m.c.d. son:

5a²-6ax+x²  y  3a²-4ax+x²

Antes multiplicamos 5a²-6ax+x² por 3, para poder dividirlos entre 3a²-4ax+x²:y es = 15a²-18ax+3x²:

.                  5                      .

3a²-4ax+x² | 15a²-18ax+3x²

.                  -15a²+20ax-5x²

.                               2ax-2x²   (Dividimos entre 2x para simplificarlo = (a-x)

.        3a -x         .

a -x | 3a² -4ax+x²

.       -3a²+3ax

.               - ax+x²

.                 ax -x²

.                     0

--> El segundo factor común de ambos polinomios es a -x

Por lo tanto el m.c.d. de los polinomios es a(a-x).

____________________________________

4) 2x³+4x²-4x+6  y  x³+x²-x+2

.                 2                     .

x³+x²-x+2 | 2x³+4x²-4x+6

.                 -2x³-2x²+2x -4

.                         2x² -2x+2  (Dividimos entre 2 para simplificarlo = x²-x+1

.            x +2         .

x²-x+1 | x³+x² - x+2

.           -x³+x² - x

.                2x²-2x+2

.               -2x²+2x-2

.                      0

--> El m.c.d. de los polinomios es x²-x+1.

____________________________________

5) 8a⁴-6a³x+7a²x²-3ax³  y  2a³+3a²x-2ax²

Sacando el factor común de ambos polinomios:

8a⁴-6a³x+7a²x²-3ax³ = a(8a³-6a²x+7ax²-3x³)

2a³+3a²x-2ax² =  a(2a²+3ax-2x²)

--> El primer factor común del m.c.d. de los polinomios es "a".

.                    4a-9x                      .

2a²+3ax-2x² | 8a³-  6a²x+  7ax²- 3x³ 

.                    -8a³-12a²x+  8ax²

.                          -18a²x+15ax²- 3x³

.                           18a²x+27ax²-18x³

.                                      42ax²-21x³  (Dividiendo entre 21x² para simplificarlo=2a-x

.         a+2x             .

2a -x | 2a²+3ax -2x²

.         -2a²+  ax

.                 4ax -2x²

.                -4ax+2x²

.                        0

El 2º factor común de los polinomios es 2a-x.

Por lo tanto, el m.c.d. de los polinomios es = a(2a-x)

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9) 2m⁴-4m³-m²+6m-3  y  3m⁵-6m⁴+8m³-10m²+5m

(3m5-6m⁴+8m³-10m²+5m)(2) = 6m⁵-12m⁴+16m³-20m²+10m

--> 

.                                3m                                        .

2m⁴-4m³-m²+6m-3 | 6m⁵ -12m⁴+16m³-20m²+10m

.                               -6m⁵+12m⁴+  3m³-18m²+  9m

.                                                    19m³-38m²+19m  ÷19 = m³-2m²+m

.                  2m                          .

m³-2m²+m | 2m⁴ -4m³-  m²+6m-3

.                  -2m⁴+4m³-2m²

.                                  -3m²+6m-3  ÷ -3 = m²-2m+1

.                m               .

m²-2m+1 | m³-2m²+m

.                -m³+2m²-m

.                        0

El m.c.d. de los polinomios es m²-2m+1

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Factorización de un polinomio por el método de evaluación.

Este caso consiste en descomponer en factores un polinomio aplicando el método de evaluación, consistente en la divisibilidad por x-a y luego se simplifica el resultado aplicando la factorización que corresponda.

Primero se encontrará los factores del término independiente del polinomio; para tomar éstos y probar si al aplicarlos por el método de evaluación se anula el término independiente y con ello formar un nuevo polinomio de grado menor al polinomio dado. Para luego factorizar la expresión y mostrar el resultado.

Ejemplos:

a) Descomponer por evaluación  x³+2x²-x-2

Factores de 2:  ±(1, 2)

Formando la regla práctica para la "División Sintética", tomando en cuenta los coeficientes del polinomio.

> Probando con el divisor (x+1)

1            2            -1            -2 |  x=-1 de (x+1)

.  1(-1)  -1  1(-1)  -1  -2(-1)  2

1             1            -2             0    (Si es divisible entre (x+1), porque se anuló el término independiente.

Entonces descomponemos el polinomio, con el divisor (x+1) y el cociente, que será de 2º grado (uno menos que el polinomio original)

(x+1)(x²+x-2)

Factorizándolo

 = (x+1)(x+2 )(x-1 )  Solución.

> Probando con el divisor (x-1)

1              2              -1              -2 | x=1  de (x-1)

.     1(1)    1   3(1)     3   2(1)      2

1               3               2               0  (Si es divisible entre (x-1)

Descomponiendo el polinomio:

(x-1)(x²+3x+2)

Factorizándolo:

= (x-1)(x+2)(x+1)  Solución.

Se debe probar también con los otros factores (2 y -2); aquí no los voy a desarrollar porque ya los probé y el polinomio no es divisible entre ellos.

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b) Descomponer por evaluación  x³-3x²-4x+12

Factores de 12:  ±(1, 2, 3, 4, 6, 12)

Prueba con (x-1)

1             -3            -4            12 |  x=1 si (x-1)

.   1(1)      1  -2(1)   -2  -6(1)  -6

1              -2            -6              6   (No es divisible entre (x-1)

Prueba con (x+1)

1              -3            -4            12 | x=-1 si (x+1)

.    1(-1)   -1  -4(-1)  4  0(-1)    0

1              -4              0            12   (No es divisible entre (x+1)

Prueba con (x-2)

1              -3            -4             12 |  x=2  si (x-2)

.     1(2)     2  -1(2)  -2  -6(2)  -12

1               -1           -6               0   (Si es divisible entre (x-2)

Descomponiendo el polinomio y factorizando:

(x-2)(x²-x-6) = .(x-2)(x-3)(x+2) Solución.

Prueba con (x+2)

1              -3              -4               12 | x=-2  si (x+2)

.    1(.2)   -2  -5(-2)   10   6(-2)  -12

 1             -5                6                0  (Si es divisible entre (x+2)

Descomponiendo el polinomio y factorizándolo:

(x+2)(x²-5x+6) = (x+2)(x-3)(x-2)  Solución.

Nota: En este ejercicio desarrollé 4 pruebas; pero en los incisos del Ejercicio 110, haré las pruebas pero solo mostraré una donde el binomio (x-a) sea divisible entre el polinomio dado. 

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c) Descomponer por evaluación x⁴-11x²-18x-8

En este caso debemos escribir el término que falta, que es 0x³ para poder procesar el método.

Como observarás, en el desarrollo, el primer cociente que resulta tendrá un primer término de tercer orden, x³; por lo que al resultado ya descompuesto, se debe aplicar nuevamente el método para tener un nuevo cociente con un primer término de 2º grado, x².

= x⁴+0x³-11x²-18x-8

Factores de 8:  ±(1, 2, 4, 8)

Probar con  x+1

1              0              -11              -18              -8 | x=-1 si (x+1)

.   1(-1)        -1(-1)      1  -10(-1)  10  -8(-1)    8

1             -1              -10                -8               0  (Si es divisible entre (x+1)

Descomponiendo el polinomio original:

(x+1)(x³-x²-10x-8)  (1) Primera descomposición.

Prueba con x+1 en el factor x³-x²-10x-8 

1               -1               -10              -8 |  x=-1  si (x+1)

.    1(-1)    -1   -2(-1)     2   -8(-1)    8

1               -2                -8                0   (Si es divisible entre (x+1)

Descomponiendo el nuevo polinomio

(x+1)(x²-2x-8)

Factorizado = (x+1)(x-4)(x+2)

Agregando el factor (x+1) de la primera descomposición 

= (x+1)(x+1)(x-4)(x+2)

= (x+1)²(x-4)(x+2)  Solución. 

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Ejercicio 110.

Descomponer por evaluación:

1)  x³+x²-x-1

Factores de 1:  ±(1, -1)

Prueba con (x-1)

1               1               -1               -1 | x=1  si  (x-1)

.    1(1)     1     2(1)     2    1(1)      1

1               2                 1                0  (si es divisible entre (x-1)

-> (x-1)(x²+2x+1) = (x-1)(x+1)(x+1) = (x-1)(x+1)²  Solución.

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2)  x³-4x²+x+6

Factores de 6: ±(1, 2, 3, 6)

Prueba con (x+1)

1               -4               1               6 | x=-1 si  (x+1)

.    1(-1)    -1   -5(-1)  5   6(-1)    -6

1               -5               6                0   (si es divisible entre (x+1)

-->  (x+1)(x²-5x+6) = (x+1)(x-3)(x-2)   Solución.

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3)  a³-3a²-4a+12

Factores de 12: ±(1, 2, 3, 6) 

Prueba con (a-2)

1               -3               -4               12 | a=2  si (a-2)

.    1(2)      2    -1(2)    -2   -6(2)   -12

1               -1                -6                0   (si es divisible entre (a-2)

--> (a-2)(a²-x-6) = (a-2)(a-3)(a+2)   Solución.

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4)  m³-12m+16

= m³ +0m²-12m+16

Factores de 16: ±(1, 2. 4. 8. 16)

Prueba con (m-2)

1               0               -12               16 | m=2 si (m-2)

.    1(2)     2    2(2)        4   -8(2)   -16

1               2                 -8                 0    (si es divisible entre (m-2)

--> (m-2)(m²+2m-8) = (m-2)(m+4)(m-2)  Solución.

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6)  a³+a²-13a-28

Factores de 28 ±(1, 2, 4, 7, 14, 28)

Prueba con (a-4)

1               1               -13               -28 |  a=4  si (a-4)

.     1(4)    4    5(4)      20    7(4)      28

1               5                  7                   0  (si es divisible entre (a-4)

-->  (a-4)(a²+5a+7) =  Solución.

NOTA: ( a²+5a+7) no tiene descomposición en factores, porque el término independiente es número primo)

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8) n³-7n+6

= n³+0n²-7n+6

Factores del 6: ±(1, 2, 3, 6)

Prueba con (n-1)

1               0               -7               6 |  n=1  si  (n-1)

.    1(1)      1    1(1)     1   -6(1)   -6  

1                1               -6              0   (Si es divisible entre (n-1)

--> (n-1)(n²+n-6) = (n-1)(n+3)(n-2)  Solución.

______________________________________

11)  x⁴-4x³+3x²+4x-4

Factores de 4:  ±(1, 2, 4)

Prueba con (x-1)

1               -4               3               4               -4 |  x=1  si (x-1)

.    1(1)       1   -3(1)   -3   0(1)     0    4(1)      4

1               -3                0               4                0   (si es divisible entre (x-1)

-->  (x-1)(x³-3x²+0x+4)     (1)  Primera descomposición.

Como el factor x³-3x²+0x+4 es de grado 3, es necesario aplicar el método de evaluación, para dejarlo en grado 2 y poder realizar la factorización final.

Factores de 4: ±(1, 2, 4)

Prueba con (x+1)  y con coeficientes (1, -3, 0, 4)

1               -3                0                4 | x=-1  si (x+1)

.    1(-1)    -1   -4(-1)   4    4(-1)    -4

1               -4               4                  0  (Si es divisible entre (x+1)

->  (x+1)(x²-4x+4) 

= (x+1)(x-2)(x-2) = (x+1)(x-2)² Solución parcial

A esta solución debe agregársele el factor (x-1) de la primera descomposición (1):

= (x-1)(x+1)(x-2)²  Solución final.

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13)  a⁴-15a²-10a+24

= a⁴+0a³-15a²-10a+24

Factores de 24: ±(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)

 Prueba con (a-1)

1               0               -15               -10               24 |  a=1  si (a-1)

.     1(1)    1      1(1)      1   -14(1)  -14  -24(1)  -24

1               1              -14                -24                 0  ( Si es divisible entre (a-1)

-> (a-1)(a³+a²-14a-24)  Primera descomposición (1)

Aplicado descomposición de factores a: a³+a²-14a-24

Factores de 24: ±(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)

Prueba con (a+2)

1                1               -14               -24 | a=-2  si (a+2)

.    1(-2)   - 2   -1(-2)      2  -12(-2)   24                

1               -1               -12                  0  (Si es divisible entre (a+2)

->  (a+2)(a²-a-12) = (a+2)(a+3)(a-4) Solución parcial

Agregando el primer factor de la primera descomposición (1):

= (a-1)(a+2)(a+3)(a-4)  Solución final.

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19)  x⁵-21x³+16x²+108x-144

= x⁵+0x⁴-21x³+16x²+108x-144

Factores de 144:  ±(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144)

Prueba con (x+3)

1               0               -21               16                108                -144 | x=-3  si (x+3)

.    1(-3)   -3    -3(-3)     9  -12(-3)  36  52(-3)  -156   -48(-3)   144 

1              -3               -12               52               - 48                     0  (Si es divisible)

--> (x+3)(x⁴-3x³-12x²+52x-48)   (Primera descomposición (1)

Descomponiendo x⁴-3x³-12x²+52x-48

Factores de 48: ± (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48)

Prueba con (x-3)

1               -3               -12               52               -48 | x=3  si (x-3)

.     1(3)      3     0(3)      0  -12(3)  -36    16(3)    48

1                 0               -12               16                  0  (Si es divisible entre (x-3)

--> (x-3)(x³+0x²-12x+16)   (Segunda descomposición (2)

Descomponiendo x³+0x²-12x+16

Factores de 16: ±(1, 2, 4, 8, 16)

Prueba con (x-2)

1               0               -12               16 | x=2  si (x-2)

.     1(2)     2    2(2)       4   -8(2)   -16

1               2                 -8                 0  (Si es divisible entre (x-2)

--> (x-2)(x²+2x-8) = (x-2)(x+4)(x-2)= (x-2)²(x+4)

A esta última solución debe agregársele los primeros factores de las descomposiciones anteriores (1): (x+3) y (2): (x-3)

=  (x-2)²(x+4)(x+3)(x-3)

ó = (x-2)²(x-3)(x+3)(x+4)  Solución final.

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27) x⁶+6x⁵+4x⁴-42x³-113x²-108x-36

Factores de 36 ±(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36) 

Prueba con (x+1)

1              6              4              -42              -113              -108              -36 | x=-1

.    1(-1)  -1  5(-1)   -5  -1(-1)     1  -41(-1)     41 -72(-1)     72  -36(-1)  36

1              5             -1               -41                -72               -36                  0

--> (x+1)(x⁵+5x⁴-x³-41x²-72x-36)  (1ª descomposición) (1ª)

Factores de 36 ±(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36)

Prueba con (x+1)

1               5               -1               -41               -72               -36 | x=-1

.    1(-1)   -1   4(-1)   -4   -5(-1)       5  -36(-1)   36  -36(-1)   36

1               4               -5                -36               -36                  0

--> (x+1)(x⁴+4x³-5x²-36x-36)  (2ª descomposición) (2ª)

Factores de 36 ±(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36)

Prueba con (x+2)

1               4               -5               -36               -36 | x=-2

.    1(-2)   -2    2(-2)   -4    -9(-2)   18  -18(-2)   36

1               2               -9                -18                 0

--> (x+2)(x³+2x²-9x-18)  3ª descomposición) (3ª)

Factores de 18 ±(1, 2, 3, 6, 9, 18)

Prueba con (x+2)

1               2               -9               -18 | x=-2

.    1(-2)   -2   0(-2)     0   -9(-2)     18

1               0               -9                   0

--> (x+2)(x²-9) = (x+2)(x+3)(x-3)  Solución parcial.

Agregándole a la solución parcial los primeros factores de las descomposiciones anteriores: (1):(x+1); (2): (x+1); (3): (x+2)

= (x+1)(x+1)(x+2)(x+2)(x+3)(x-3)

= (x+1)²(x+2)²(x+3)(x-3)  Solución final.

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