Inecuaciones simultáneas.

.                        

Inecuaciones Simultáneas son las que tienen soluciones comunes.

Procedimiento:

1) Se hallan los valores de "x" que satisfagan cada una de las inecuaciones.

2) Se determina la solución general que satisfaga a ambas inecuaciones.

3) Se indica cual es el límite de "x" de las soluciones comunes.

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Ejemplo A)  Hallar el límite de las soluciones comunes de las inecuaciones

2x -4 > 6    y   3x +5 > 14

1°) Resolviendo    2x -4 > 6

--  Transponiendo términos semejantes :

x > 6+4/2

x > 5  Solución

2°) Resolviendo  3x +5 >14

-- Transponiendo términos:

x > 14-5/3

x > 3  Solución.

Entonces x > 5  es la Solución General de ambas inecuaciones.

Porque cualquier valor "x" mayor que 5 será mayor que 3.

Y  5 es el límite inferior de las soluciones comunes.

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Ejemplo B)  Hallar el límite de la soluciones comunes de

3x +4 < 16   y   -6 -x > -8

1°) Resolviendo  3x +4 < 16

--Transponiendo términos:

x < 16-4/3

x < 4  Solución.

2°) Resolviendo   -6 -x > -8

-x > -8+6

-x > -2

x < 2  Solución.

Entonces  x > 2  es la Solución General de ambas inecuaciones

Porque todos los valores de "x" menores de 2 son también menores de 4

Por tanto "2" es el límite superior de las soluciones comunes.

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Ejemplo C)  Hallar los límites de las soluciones comunes de:

5x -10 > 3x-2     y      3x +1 < 2x +6

1°) Resolviendo  5x-10 > 3x-2

-- Transponiendo términos:

5x-3x > -2+10

2x > 8

x > 8/2

x > 4 Solución

2°) Resolviendo 3x+1 < 2x+6

-- Transponiendo términos:

3x-2x < 6-1

x < 5  Solución.

Entonces 4 < x < 5  es la solución General para ambas inecuaciones.

(Esto se lee:  x mayor que 4 y menor que 5)

(Cuando se lee hacia la izquierda si es > se lee como < )

Porque todos los valores mayores que 4 y menores que 5 satisfacen ambas inecuaciones.

Y "4" es el límite inferior   y   "5" es el límite superior de ambas inecuaciones.

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Ejercicio 165 del libro.

1) Hallar el límite de las soluciones comunes de:

x-3 > 5   y   2x+5 > 17

1°)  Resolviendo   x-3 > 5

-- Transponiendo términos:

x > 5+3

x > 8  Solución.

2°)  Resolviendo   2x+5 > 17

--Transponiendo términos:

x > 17-5/2

x > 4 Solución

Entonces x > 8  es la solución General o Común.

Y  "8" es el límite inferior para ambas soluciones.

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2) Hallar el límite de las soluciones comunes de

5-x > -6     y      2x+9 > 3x

1°) Resolviendo  5-x > -6

-- Transponiendo términos:

-x > -6-5

-x > -11 (Se le cambia signo a los dos miembros,

por lo tanto el símbolo de la inecuación también cambia)

x < 11  Solución.

2°) Resolviendo   2x+9 > 3x

-- Transponiendo términos:

2x-3x > -9

-x > -9

x < 9  Solución.

Entonces  x<9  es la Solución General o común.

Y  "9"  es el límite superior de ambas soluciones comunes.

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3) Hallar el límite de las soluciones comunes de

6x+5 > 4x+11   y    4-2x > 10-5x

1°)  Resolviendo  6x+5 > 4x+11

-- Transponiendo términos:

6x-4x > 11-5

2x > 6

x > 6/2

x > 3  Solución.

2°) Resolviendo  4-2x > 10-5x

-- Transponiendo términos:

-2x+5x > 10-4

3x > 6

x > 6/3

x > 2  Solución

Entonces  x >3  es la solución General o Común.

Y  "3"  es el límite inferior de ambas soluciones comunes.

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5) Hallar el límite de las soluciones comunes de

x/2 -3 > x/4 +2    y    2x +3/5 < 6x -23.2/5

1°)  Resolviendo  x/2 -3 > x/4 +2

-- Suprimiendo denominadores:

2x-12 > x+8

-- Transponiendo términos:

2x-x > 8+12

x > 20  Solución.

2°)  Resolviendo  2x +3/5 < 6x -23.2/5 = 2x +3/5 < 6x -117/5

-- Suprimiendo denominadores:

10x+3 < 30x-117

-- Transponiendo términos:

10x-30x < -117-3

-20x < -120

-x < -120/20

-x < -6

x > 6  Solución.

Entonces  x > 20  es la Solución General o Común.

y  "20"  es el límite inferior de las soluciones comunes.

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6)  Hallar el límite superior e inferior de las soluciones comunes de

2x-3 < x+10    y   6x -4 > 5x+6

1°)  Resolviendo  2x-3 < x+10

-- Transponiendo términos:

2x-x < 10+3

x < 13  Solución.

2°) Resolviendo 6x-4 > 5x+6

-- Transponiendo términos:

6x-5x > 6+4

x > 10  Solución

Entonces   10< x < 13  Es la Solución General o Común.

y  "13" es el límite superior y  "10" es el límite inferior.

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8) Hallar el límite superior e inferior de las soluciones comunes de

(x-1)(x+2) < (x+2)(x-3)    y    (x+3)(x+5) > (x+4)(x+3)

1°)  Resolviendo  (x-1)(x+2)< (x+2)(x-3)

-- Factorando los miembros:

x² +x -2 < x² -x -6

-- Transponiendo términos:

x²-x²+x+x < -6+2

2x < -4

x < - 4/2

x < -2  Solución.

2°) Resolviendo  (x+3)(x+5) > (x+4)(x+3)

-- Factorando los miembros:

x²+8x+15 > x²+7x+12

-- Transponiendo términos:

x²-x²+8x-7x > 12-15

x > -3  Solución.

Entonces  -3 > x > -2  es la solución General o común.

Y  "-3" es el límite inferior  y  "-2"  es el límite superior de las soluciones comunes.

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Resolución de Inecuaciones.

.                       

Las Inecuaciones son también llamadas desigualdades de condición.

Para resolver las inecuaciones se deben tomar en cuenta las propiedades de las desigualdades y las consecuencias que las mismas derivan. ( En el desarrollo de los ejercicios iré explicando lo anterior).

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Ejemplo A)  Resolver la inecuación   2x -3 > x +5

-- Transponiendo términos semejantes:

2x -x > 5 +3

-- Reduciendo términos:

x > 8  ←  Solución

Donde 8 es el límite inferior de "x" ,

porque la desigualdad dada sólo se verifica con valores de "x" mayores que 8.

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Ejemplo B)  Resolver   7 -x/2 > 5x/3 -6

-- Suprimiendo denominadores:

El m.c.m. de   1, 2, 3 y 1 es = 6

Entonces se divide el m.c.m. entre cada uno de los denominadores

y el cociente se multiplica por el denominador respectivo.

-- La inecuación quedaría así:  42 -3x > 10x -36

-- Transponiendo términos :  -3x-10x > -36-42

-- Reduciendo términos :  -13x > -78

-- Cambiando signo a los dos miembros de la inecuación;

(multiplicando ambos miembros por -1)

13x < 78    (el signo ">" se cambió por "<" )

x < 78/13

x < 6    ← Solución.

6 es el límite superior de "x" ,

porque la desigualdad dada sólo se verifica con valores menores que 6.

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Ejemplo C)   Resolver    (x+3)(x-1) < (x-1)² + 3x

-- Efectuando operaciones indicadas:

x²+2x-3 <  x²-2x+1+3x

-- Transponiendo términos:  x²-x²+2x+2x-3x < 1+3

-- Reduciendo términos:

x < 4  ←  Solución.

4 es el límite superior de "x".

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Ejercicio 164 del libro.

1)  Hallar el límite de "x" en    x-5 < 2x-6

-- Transponiendo términos :

x-2x < -6+5

-- Reduciendo términos:

-x < -1

-- Cambiándole signo a los dos miembros:

x > 1   ←  Solución.

1 es el límite inferior de "x".

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2)  Hallar el límite de "x" en   5x-12 > 3x-4

-- Transponiendo términos:

5x-3x > -4+12

-- Reduciendo términos:

2x > 8

x > 8/2

x > 4   ← Solución

4 es el límite inferior de "x"

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3) Hallar el límite de "x"  en    x-6> 21-8x

-- Transponiendo términos:

x+8x > 21+6

-- Reduciendo términos:

9x > 27

x > 27/9

x > 3  ← Solución.

3 es el límite inferior de "x"

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4) Hallar el límite de "x" en   3x-14 < 7x-2

-- Transponiendo términos:

3x-7x < -2+14

-- Reduciendo términos:

-4x < 12

4x > -12

x > -12/4

x > -3  ← Solución

-3 es el límite inferior de "x"

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5) Hallar el límite de "x" en   2x -5/3 > x/3 +10

-- Suprimiendo denominadores :

El m.c.m. de 1, 3, 3, 1 es =  3

→ Dividiendo 3 entre los denominadores y multiplicando el cociente

entre los numeradores; la inecuación quedaría así:

6x -5 > x+30

-- Transponiendo términos:

6x-x > 30+5

-- Reduciendo términos:

5x > 35

x > 35/5

x > 7  ← Solución

7 es el límite inferior de "x"

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6) Hallar el límite de "x" en   3x -4 +x/4 < 5x/2 +2

-- Suprimiendo denominadores:

El m.c.m. de 1, 1, 4, 2 y 1 es =  4

-- La inecuación quedaría así:

12x-16+x < 10x+8

-- Transponiendo términos:

12x+x-10x < 8+16

-- Reduciendo términos:

3x < 24

x < 24/3

x < 8  ← Solución

8 es el límite superior de "x"

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7) Hallar el límite de "x" en    (x-1)² -7 > (x-2)²

-- Factorando las operaciones:

x² -2x+1 -7 > x² -4x+4

-- Transponiendo términos:

x² -x² -2x+4x > 4+6

-- Reduciendo términos:

2x > 10

x > 10/2

x > 5  ← Solución

5 es el límite inferior de "x"

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8) Hallar el límite de "x" en   (x+2)(x-1)+26 < (x+4)(x+5)

-- Factorando las operaciones:

x² +x -2 +26 < x² +9x+20

-- Transponiendo términos:

x² +x² +x-9x < 20-24

-- Reduciendo términos:

-8x < -4

-- Cambiando signo a los miembros:

8x > 4

x > 4/8

x > 1/2  ← Solución

1/2 es el límite inferior de"x"

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Ecuaciones literales fraccionarias.

.                                

Procedimiento:

> Se efectúan operaciones indicadas, si las hubiera.

> Se suprimen los denominadores, encontrando el m.c.m de ellos.

> Se transponen términos semejantes.

> Se factoran los términos cuando sea necesario.

> Se reducen términos semejantes y se simplifica.

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Ejemplo A)  Resolver   x/2m - 3-3mx/m² -2x/m = 0

>> Suprimiendo denominadores:

El m.c.m. de  2m , m² , m es :  2m²  -->

2m² ÷ 2m = m  --> m(x) = mx

2m² ÷ m² = 2   --> - 2(3-3mx) = -6+6mx

2m² ÷ m  =2m  --> - 2m(2x) = -4mx

> La ecuación quedaría así:  mx-6+6mx-4mx

>> Transponiendo términos semejantes:

mx+6mx-4mx = 6

>> Reduciendo términos y simplificando:

3mx = 6

x = 6/3m

x = 2/m  <--  Solución.

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Ejemplo B)  Resolver   a-1/x-a - 2a(a-1)/x²-a² = - 2a/x+a

Suprimiendo denominadores

El m.c.m. de    x-a , x²-a² ,  x+a  es = x²-a² que es = (x-a)(x+a) -->

x²-a² ÷ x-a = x+a  --> (x+a)(a-1) = ax-x+a²-a

x²-a² ÷ x²-a² = 1  --> - 1(2a)(a-1) =  -2a²+2a

x²-a² ÷ x+a = x-a  --> - (2a)(x-a) = -2ax+2a²

>>La ecuación quedaría así:  ax-x+a²-a-2a²+2a = -2ax+2a²

>> Transponiendo términos semejantes:

ax-x+2ax = -a²+a+2a²-2a+2a²

>> Reduciendo términos y simplificando:

3ax-x = 3a²-a

>> Factorando ambos miembros de la ecuación:

x(3a-1) = a(3a-1)

>> Dividiendo ambos miembros por (3a-1) es =

x/a  <--  Solución.

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Ejercicio 144 del libro.

1) Resolver    m/x - 1/m = 2/m

>> El m.c.m. de x,  m,  es = xm  -->

xm ÷ x = m  -->  m(m) = m²

xm ÷ m = x  --> - x(1) = -x

xm ÷ m = x  -->  x(2) = 2x

>> La ecuación quedaría así:  m²-x = 2x

>> Transponiendo términos: m²-x = 2x

>> Reduciendo términos y simplificando:

m² = 2x+x

m² = 3x

m²/3 = x --> x = m²/3  <-- Solución.

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2)  Resolver   a/x + b/2 = 4a/x

>> El m.c.m. de  x,  2  es =  2x  -->

2x ÷ x = 2  --> 2(a) = 2a

2x ÷ 2 = x  -->  x(b) = xb

2x ÷ x = 2  --> 2(4a) = 8a

>> La ecuación quedaría así:  2a+xb = 8a

>> Transponiendo términos:  xb = 8a-2a

>> Reduciendo términos y  simplificando:

x = 8a-2a/b

x = 6a/b  <--  Solución.

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3) Resolver   x/2a - 1-x/a² = 1/2a

>> El m.c.m. de   2a,  a²   es = 2a²   -->

2a² ÷ 2a = a  -->  a(x) = ax

2a² ÷ a² = 2  --> -2(1-x) = -2+2x

2a² ÷ 2a = a  --> a(1) = a

>> La ecuación quedaría así: ax-2+2x = a

>> Transponiendo términos: ax+2x = a+2

>> Factorando términos: x(a+2) = a+2

>> Reduciendo términos y simplificando:

x = a+2/a+2

x = 1  <--   Solución.

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4)  Resolver m/x + n/m = n/x +1

>> El m.c.m. de   x, m,  1  es = xm  -->

xm ÷ x = m  --> m(m) = m²

xm ÷ m = x  --> x(n) = nx

xm ÷ x = m  --> m(n) = mn

xm ÷ 1 = xm  --> xm(1) = mx

>> La ecuación quedaría así: m²+nx = mn+mx

>> Transponiendo términos:  nx-mx = mn-m²

>> Factorando  los términos:  x(n-m) = m(n-m)

>> reduciendo términos y simplificando:

x = m(n-m)/n-m     (aquí se suprime (n-m) del numerador y el denominador)

x = m  <-- Solución.

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6) Resolver   a-x/a - b-x/b = 2(a-b)/ab

>> El m.c.m. de  a, b, ab  es = ab  -->

ab ÷ a = b  --> b(a-x) = ab-bx

ab ÷ b = a  --> -a(b-x) = -ab+ax

ab ÷ ab = 1  --> 1[2(a-b)] = 2(a-b) = 2a-2b

>> La ecuación quedaría así:  ab-bx -ab+ax = 2a-2b

>> Transponiendo términos: -bx+ax = 2a-2b-ab+ab

>> reduciendo términos : -bx+ax = 2a-2b

>> Factorando términos: x(a-b) = 2(a-b)

>> Simplificando:

x = 2(a-b)/a-b   (Aquí se suprime (a-b) del numerador y del denominador.

--> x = 2  <--   Solución.

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10)  Resolver 4x/2a+b - 3 = - 3/2

>> El m.c.m. de   2a+b, 1, 2  es = 2(2a+b)   -->

2(2a+b) ÷ 2a+b = 2  --> 2(4x) = 8x

2(2a+b) ÷ 1 = 2(2a+b)  --> -3(2)(2a+b) = -12a-6b

2(2a+b) ÷ 2 = 2a+b  --> -3(2a+b) = -6a-3b

>> La ecuación quedaría así: 8x-12a-6b = -6a-3b

>> Transponiendo términos: 8x = -6a+12a-3b+6b

>> Reduciendo términos y simplificando:

8x = 6a+3b

x = 6a+3b/8  <--  Solución.

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Ecuaciones literales enteras.

.                

Ecuaciones Literales: 

Son aquellas en la que algunos o todos los coeficientes de las incógnitas que figuran en la ecuación están representadas por letras; [Se utilizan  la  (a, b, c, d, m, n.)]

En este tipo de ecuaciones se utilizan las mismas reglas empleadas en las ecuaciones numéricas.

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Ecuaciones Literales Enteras.

Ejemplo A)  Resolver   a(x+a) -x = a(a+1) +1

>> Efectuando las operaciones indicadas:   ax+a²-x = a²+a+1

>> Transponiendo términos:   ax-x = a²-a²+a+1

>> Reduciendo términos semejantes:  ax-x = a+1

>> Factorando :  x(a-1) = a+1

>> Simplificando:  x = a+1/a-1  <-- Solución.

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Ejemplo B)  Resolver   x(3-2b) -1 = x(2-3b) -b²

>> Efectuando las operaciones indicadas:   3x-2bx-1 = 2x-3bx-b²

>> Transponiendo términos:  3x-2x-2bx+3bx = 1-b²

>> Reduciendo términos semejantes:  x+bx = 1-b²

>> Factorando:   x(1+b) = (1+b)(1-b)

>> Simplificando:  x= (1+b)(1-b)/1+b

>> Suprimiendo factores comunes:

x= 1-b/1

x= 1-b  <--  Solución.

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Ejercicio 143 del libro.

1) Resolver   a(x+1) = 1

ax+a = 1  <--  Se Efectuó operación.

ax = 1-a   <--  Se transpuso término

x = 1-a/a  <-- Se transpuso término

x= 1-a/a   Solución.

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2)  Resolver   ax-4 = bx-2

ax-bx = -2+4  <-- Se transpusieron términos.

x(a-b) = 2  <--  Se factoró (ax-bx)

x = 2/a-b   <--  Se transpuso término (a-b)

x= 2/a-b   <--  Solución.

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3) Resolver   ax+b² = a²-bx

ax+bx = a²-b²  <-- Se transpusieron términos.

x(a+b) = (a+b)(a-b)   <-- Se aplicó factorización.

x = (a+b)(a-b)/a+b  <-- Se transpuso (a+b)

x = a-b/1  <--  Se suprimió (a+b) en el numerador y en el denominador.

x = a-b   <--- Solución.

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4)  Resolver   3(2a-x) +ax = a²+9

6a-3x +ax = a²+9  <-- Se efectuó operación.

ax-3x = a²-6a+9  <-- Se transpusieron términos.

x(a-3) = (a-3)(a-3)  <-- Se aplicó factorización.

x = (a-3)(a-3)/a-3  <-- Se transpuso término (a-3)

x = a-3/1  <--  Se suprimió (a-3) en el numerador y en el denominador

x = a-3   <---Solución.

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Ecuaciones fraccionarias con denominadores compuestos.

.                  

Prodecimiento:

1) Resolver operaciones indicadas en los numeradores o en los denominadores, o en ambos. (Si fuera necesario)

2) Suprimir los denominadores para convertir la ecuación fraccionaria en en una ecuación equivalente entera.

3) Para suprimir los denominadores se encuentra el m.c.m. de éstos, luego se divide el m.c.m. entre cada uno de los denominadores y el cociente se multiplica por su denominador respectivo.

4) Se despeja la variable, transponiendo los términos semejantes: las variables al lado izquierdo de la ecuación y los valores conocidos al lado derecho; para luego reducir los términos semejantes hasta encontrar la solución.

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Ejemplo A:  Resolver  3/2x+1 - 2/2x-1 - x+3/4x²-1 = 0

>> Encontrando el m.c.m. de los denominadores

2x+1 ,  2x-1 ,  4x²-1 es  4x²-1      [que es igual a (2x+1)(2x-1) ]

>> Suprimiendo denominadores :

4x²-1 ÷ 2x+1 = 2x-1  -->  (2x-1)(3) = 6x-3

4x²-1 ÷ 2x-1 = 2x+1  --> (2x+1)-2 = -4x-2

4x²-1 ÷ 4x^2-1 = 1   --> (-1)(x+3) = -x-3

>> La ecuación quedaría así:  6x-3 -4x-2 -x-3 = 0

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos es 

= 6x-4x-x = 3+2+3

x= 8  <--  Solución.

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Ejemplo B)  Resolver  6x+5/15 - 5x+2/3x+4 = 2x+3/5 -1

>> El m.c.m. de 15 , 3x+4 , 5 , 1  es   15(3x+4)

>> Suprimiendo los denominadores :

15(3x+4) ÷ 15 = 3x+4  --> (3x+4)(6x+5) = 18x²+39x+20

15(3x+4) ÷ 3x+4 = 15  --> -15(5x+2) = -75x-30

15(3x+4) ÷ 5 = 3(3x+4)  --> 3(3x+4)(2x+3) = 18x²+51x+36

15(3x+4) ÷ 1 = 15(3x+4)  --> -15(3x+4)(1) = -45x-60

>> La ecuación quedaría así :

18x²+39x+20 -75x-30 = 18x²+51x+36 -45x-60

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos :

18x²-18x²+39x-75x-51x+45x = 36-60-20+30

-42x = -14

x = -14/-42

x = 14/42 = 1/3  <-- Solución.

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Ejemplo C)  Resolver  2x-5/2x-6 + 2(x-1)/x-3 = 3/8 + 3(2x-15)/4x-12

>>Factorando los denominadores:

2x-6   = 2(x-3)

x-3      = x-3

8          = 8

4x-12 = 4(x-3)

--> El m.c.m. de los denominadores factorados es: 8(x-3)

>> Suprimiendo denominadores:

8(x-3) ÷ 2(x-3 )= 4  --> 4(2x-5) = 8x-20

8(x-3) ÷ x-3 = 8  --> 8(2(x-1)) = 16x-16

8(x-3) ÷ 8 = x-3  --> (x-3)(3) = 3x-9

8(x-3) ÷ 4(x-3) =  2 --> 2(3(2x-15)) = 12x-90

>> La ecuación quedaría así:  8x-20+16x-16 = 3x-9+12x-90

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos :

8x+16x-3x-12x = -9-90+20+16

9x = -63

x= - 63/9

x = - 7  <--  Solución.

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Ejemplo D)  Resolver   x-2/x²+2x-3 - x+1/x²-9 = 4/x²-4x+3

>> Factorando los denominadores:

x²+2x-3 = (x+3)(x-1)

x²-9         = (x+3)(x-3)

x²-4x+3 = (x-3)(x-1)

-->  El m.c.m. de los denominadores factorados es: (x+3)(x-3)(x-1)

>>  Suprimiendo denominadores:

(x+3)(x-3)(x-1) ÷ (x+3)(x-1) = x-3  --> (x-3)(x-2) = x²-5x+6

(x+3)(x-3)(x-1) ÷ (x+3)(x-3) = x-1  --> -(x-1)(x+1) = -(x²-1) = -x²+1

(x+3)(x-3)(x-1) ÷ (x-3)(x-1) = x+3  --> (x+3)(4) =  4x+12

>> La ecuación quedaría así:  x²-5x+6-x²+1 = 4x+12

>>Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos:

x²-x²-5x-4x = 12-6-1

-9x = 5

x = - 5/9  <--  Solución.

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Ejercicio 142

1) Resolver   3/5 + 3/2x-1 = 0

>> El m.c.m. de 5 y 2x-1 es  5(2x-1)

-->  5(2x-1) ÷ 5 = 2x-1  --> (2x-1)(3) = 6x-3

5(2x-1) ÷ 2x-1 = 5  --> 5(3) = 15

>> La ecuación sería:  6x-3+15 = 0

>> Transponiendo términos y reduciéndolos:

6x = 3-15

x = -12/6 = - 2  <-- Solución.

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2) Resolver   2/4x-1 = 3/4x+1

>> El m.c.m. de 4x-1 ,  4x+1 es  (4x-1)²

-->  (4x-1)² ÷ 4x-1 = 4x+1  --> (4x+1)(2) = 8x+2

(4x-1)² ÷ 4x+1 = 4x-1  -->  (4x-1)(3) = 12x-3

>> La ecuación sería:  8x+2 = 12x-3

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos:

8x-12x = -3-2

-4x = -5

x = -5/-4 = 5/4  <--  Solución.

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3) Resolver   5/x²-1 = 1/x-1

>>El m.c.m. de x²-1  ,  x-1 es   (x+1)(x-1) = x²-1

-->  x²-1 ÷ x²-1 = 1  --> 1(5) = 5

x²-1 ÷ x-1 = (x+1)  --> (x+1)(1) = x+1

>> La ecuación sería :  5 = x+1

>> Transponiendo términos y reduciéndolos:

-x =1-5

-x = -4

x = 4  <--  Solución.

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4) Resolver   3/x+1 - 1/x²-1 = 0

>> El m.c.m. de  x+1 ,   x²-1  es   x²-1

--> x²-1 ÷ x+1 = x-1  --> (x-1)(3) = 3x-3

x²-1 ÷ x²-1 = 1 --> -(1)(1) = -1

>> La ecuación sería:  3x-3-1 = 0

>> Transponiendo y reduciendo:

3x = 4

x = 4/3  <--  Solución.

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7) Resolver   1/3x-3 + 1/4x+4 = 1/12x-12

>> Factorando los denominadores:

3x-3 = 3(x-1)

4x+4 = 4(x+1)

12x-12 = 12(x-1)

>> El m.c.m. de los denominadores factorados es  12(x+1)(x-1) = 12(x-1)²

--> 12(x-1)² ÷ 3(x-1) = 4(x+1)  --> 4(x+1)(1) = 4x+4

12(x-1)² ÷ 4(x+1) = 3(x-1)  --> 3(x-1)(1) = 3x-3

12(x-1)² ÷ 12(x-1) = (x+1)  --> (x+1)(1) = x+1

>> La ecuación sería:  4x+4+3x-3 = x+1

>> Transponiendo y reduciendo:

4x+3x-x = 1-4+3

6x = 0

x = 0/6 = 0  <--  Solución.

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12)  Resolver   (5x-2)(7x+3)/7x(5x-1) - 1 = 0

>> Operando numerador y denominador:

(5x-2)(7x+3) = 35x²+x-6

7x(5x-1) = 35x²-7x

>> La ecuación quedaría:   35x²+x-6/35x²-7x -1/1 = 0

>> El m.c.m. de 35x²-7x   y   1     es    35x²-7x

--> 35x²-7x ÷ 35x²-7x = 1  --> 1(35x²+x-6) = 35x²+x-6

35x²-7x ÷ 1 = 35x²-7x  --> 35x²-7x(-1) = -35x²+7x

>> La ecuación entera sería:  35x²+x-6-35x²+7x = 0

>> Transponiendo y reduciendo términos:

35x²-35x²+x+7x = 6

8x = 6

x = 6/8 = 3/4  <--  Solución.

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Ecuaciones fraccionarias con denominadores monomios.

.                

Procedimiento:

1) Resolver operaciones indicadas en los numeradores o en los denominadores, o en ambos.

2) Suprimir los denominadores para convertir la ecuación fraccionaria en en una ecuación equivalente entera.

3) Para suprimir los denominadores se encuentra el m.c.m. de éstos, luego se divide el m.c.m. entre cada uno de los denominadores y el cociente se multiplica por su numerador  respectivo.

4) Se despeja la variable, transponiendo los términos semejantes: las variables al lado izquierdo de la ecuación y los valores conocidos al lado derecho; para luego reducir los términos semejantes hasta encontrar la solución.

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Ejemplo A) Resolver la ecuación  3x - 2x/5 = x/10 -7/4

>> Encontrando el m.c.m. de los denominadores: 1, 5, 10 y 4, que es 20

>> Suprimiendo denominadores:

20 ÷ 1= 20  --> 20(3x) = 60x

20 ÷ 5 =  4  --> 4(-2x) = -8x

20 ÷ 10  = 2  --> 2(x) = 2x

20 ÷ 4 = 5  --> 5(-7) = -35

>> La ecuación quedaría así:  60x-8x = 2x-35  (Ecuación Entera)

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos:

60x-8x=2x-35 --> 60x-8x-2x =-35

50x = -35

x = -35/50

x = -7/10   Solución.

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Ejemplo B) Resolver la ecuación  2x-1/3 - x+13/24 = 3x + 5(x+1)/8

>> Resolviendo operaciones:   5(x+1) = 5x+5

>> La ecuación fraccionaria quedaría así: 2x-1/3 - x+13/24 = 3x +5x+5/8

>>Encontrando el m.c.m. de los denominadores: 3, 24, 1 y 8, que es 24 -->

>>Suprimiendo denominadores:

24 ÷ 3 = 8 --> 8(2x-1) = 16x-8

24 ÷ 24 = 1 --> 1-(x+13) = - x-13

24 ÷ 1 = 24 --> 24(3x) = 72x

24 ÷ 8 = 3 --> 3(5x+5) = 15x+15

>>La ecuación quedaría así: 16x-8-x-13 = 72x+15x+15

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos:

16x-8-x-13 = 72x+15x+15 --> 16x-x-72x-15x = 15+8+13 -->

-72x = 36  

x = 36/-72

x = - 1/2  Solución.

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 Ejemplo C)  Resolver    1/5(x-2) - (2x-3) = 2/3(4x+1)- 1/6(2x+7)

>> Resolviendo operaciones:

x-2/5 -(2x-3) = 8x+2/3 - 2x+7/6

>>Encontrando el m.c.m. de los denominadores  5, 1, 3 y 6 que es  30 -->

>> Suprimiendo denominadores:

30 ÷ 5 = 6   --> 6(x-2) = 6x-12

30 ÷ 1 = 30 --> - 30(2x-3) = -60x+90

30 ÷ 3 = 10 --> 10(8x+2) = 80x+20

30 ÷ 6 = 5  --> -5(2x+7) = -10x-35

>> La ecuación quedaría así:  6x-12-60x+90 = 80x+20-10x-35

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos:

6x-12-60x+90 = 80x+20-10x-35 -->  6x-60x-80x+10x = 20-35+12-90

-124x = -93

x = -93/-124

x = 3/4   Solución.

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Ejercicio 141. 

1) Resolver   x/6 + 5 = 1/3 -x

>> El m.c.m. de 6, 1 y 3 es =6

>> Suprimiendo denominadores:

6 ÷ 6 = 1  --> 1(x) =  x

6 ÷ 1 = 6  --> 6(5) = 30

6 ÷ 3 = 2  --> 2(1) = 2

6 ÷ 1 = 6  --> 6(-x) = -6x

>> La ecuación quedaría así:  x +30 =2 -6x

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos:

x+6x = 2-30

7x = -28

x = -28/7

x = -4   Solución.

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2) Resolver   3x/5 - 2x/3 + 1/5 = 0

>> El m.c.m. de  5 y 3 es =  15

>> Suprimiendo denominadores:

15 ÷ 5 = 3 --> 3(3x) = 9x

15 ÷ 3 = 5 --> 5(-2x) = -10x

15 ÷ 5 = 3 --> 3(1) = 3

>> La ecuación  quedaría así:  9x-10x+3 = 0

>> Despejando la ecuación:

9x-10x+3 = 0

-x = -3

x = 3   Solución.

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3)  Resolver   1/2x + 1/4 -1/10x = 1/5

>> El m.c.m  de  2x, 4, 10x y 5 es = 20x

>> Suprimiendo denominadores:

20x ÷ 2x = 10 --> 10(1) = 10

20x ÷ 4 = 5x --> 5x(1) = 5x

20x ÷ 10x = 2 --> 2(-1) = -2

20x ÷ 5 = 4x --> 4x(1) = 4x 

>> La ecuación quedaría así:  10+5x-2 = 4x

>> Despejando la ecuación:

10+5x-2 = 4x

5x-4x = -8

x = -8  Solución.

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4) Resolver    x/2 +2 - x/12 = x/6 - 5/4

>> El m.c.m. de 2, 1, 12, 6 y 4 es =  12

>> Suprimiendo denominadores:

12 ÷ 2 = 6 --> 6(x) = 6x

12 ÷ 1 = 12 --> 12(2) = 24

12 ÷ 12 = 1 --> 1(-x) = -x

12 ÷ 6 = 2 --> 2(x) = 2x

12 ÷ 4 = 3 --> 3(-5) = -15

>>La ecuación quedaría así:  6x+24-x = 2x-15

>> Despejando la ecuación:

6x+24-x = 2x-15

6x-x-2x = -15-24

3x = -39

x = -39/3

x = -13  Solución.

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5)   Resolver   3x/4 - 1/5 + 2x = 5/4 - 3x/20

>> El m.c.m. de  4, 5, 1 y 20 es = 20

>> Suprimiendo denominadores:

20 ÷ 4 = 5 --> 5(3x) = 15x

20 ÷ 5 = 4 --> 4(-1) = -4

20 ÷ 1 = 10 --> 20(2x) = 40x

20 ÷ 4 = 5 --> 5(5) = 25

20 ÷ 20 = 1 --> 1(-3x) = -3x

>> La ecuación quedaría así:  15x-4+40x = 25-3x  

>> Despejando la ecuación:

15x-4+40x = 25-3x

15x+40x+3x = 25+4

58x = 29

x = 29/58

x = 1/2  Solución.

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18)  Resolver  4x+1/3 = 1/3(4x-1) -(13+2x)/6 -1/2(x-3)

>> Efectuando operaciones indicadas:

4x+1/3 = 4x-1/3  - (13+2x)/6  - (x-3)/2

>> El m.c.m. de 3, 6 y 2 es  = 6

>>suprimiendo denominadores:

6 ÷ 3 = 2 --> 2(4x+1) = 8x+2

6 ÷ 3 = 2 --> 2(4x-1) = 8x-2

6 ÷ 6 = 1 --> - 1(13+2x) = -13-2x

6 ÷ 2 = 3 --> - 3(x-3) = -3x+9

>> La ecuación quedaría así:  8x+2 = 8x-2 -13-2x -3x+9

>> Despejando la ecuación:

8x+2 = 8x-2 -13-2x-3x+9

8x-8x+2x+3x = -2-13+9-2

5x= -8

x = - 8/5  Solución.

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Simplificación de fracciones complejas.

.                             

Fracción Compleja es aquella en la cual el numerador o el denominador, o ambos, son fracciones algebraicas con expresiones mixtas, es una división indicada.

Ejemplo:

a/x - x/a

. 1 + a/x

La raya de la fracción indica que hay que dividir lo que esta como numerador entre lo que esta debajo como de nominador.

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Simplificación de Fracciones Complejas.

Regla:

1) Se efectúan las operaciones indicadas en el numerador y en el denominador de la fracción compleja.

2) Se divide el resultado que se obtenga en el numerador entre el resultado que se obtenga en el denominador.
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Ejemplo A)  Simplificar    a/x -x/a  ÷  1 + a/x

>> Resolviendo el numerador de a/x - x/a = a²-x²/ax

>>Resolviendo el denominador de  1 + a/x  = x+a/x

>> La fracción compleja quedaría así:

a²-x²/ax  ÷  a+x/x

>> Dividiendo la nueva fracción seria:

a²-x²/ax  *  x/a+x  = (a+x)(a-x)/ax  *  x/a+x

>> Simplificando términos comunes del numerador con el denominador, y luego multiplicando:

(a-x)/a  * 1/1 =  a-x/a * 1 = a-x/a  Solución.

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Ejemplo B)  Simplificar    x-1 - 12/x-2  ÷  x+6 + 16/x-2

>> Resolviendo el numerador de   x-1 - 12/x-2  = (x-1)(x-2)-12/x-2

= x²-3x+2-12/x-2  =  x²-3x-10/x-2

>> resolviendo el denominador de   x+6 +16/x-2  = (x+6)(x-2)+16 /x-2

= x²+4x-12+16/x-2  = x²+4x+4/x-2

>> La fracción compleja quedaría así:

x²-3x-10/x-2  ÷  x²+4x+4/x-2

>> Dividiendo la nueva fracción seria:

x²-3x-10/x-2  *  x-2/x²+4x+4 = (x-5)(x+2)/x-2  * x-2/(x+2)(x+2)

>> Simplificando términos comunes del numerador con el denominador, y luego multiplicando.

(x-5)/1  * 1/(x+2) = x-5 * 1/x+2 =

= x-5/x+2  <--- Solución.

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Ejercicio 137del libro

1) Simplificar   a - a/b  entre  b - 1/b

>> Resolviendo el numerador y el denominador de

a -a/b ÷  b -1/b = ab-a/b  ÷  b(b)-1/b = ab-a/b  ÷  b²-1/b

>> Convirtiendo a multiplicación y factorado términos:

ab-a/b * b/b²-1 = a(b-1)/b  * b/(b+1)(b-1)

>> Reduciendo términos y multiplicando

a/1 * 1/(b+1) = a/1 * 1/b+1 =

= a/b+1  Solución.

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2)  Simplificar   x² -1/x   entre  1- 1/x

>> Resolviendo el numerador y el denominador:

x(x²)-1/x ÷ x(1)-1/x = x³-1/x ÷ x-1/x

>> Convirtiendo a multiplicación:

= x³-1/x * x/x-1

>> Reduciendo términos y multiplicando:

x³-1/1 * 1/x-1 =  x³-1/1 * 1/x-1 = (x³-1)/x-1

>> Simplificando

= (x-1)(x²+x+1)/x-1 = x²+x+1   Solución.

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3) Simplificar    a/b -b/a  entre 1 +b/a

>> Resolviendo el numerador y el denominador:

a(a)/b - b(b)/a ÷ a(1) +b/a = a²-b²/ab ÷ a+b/a

>> Convirtiendo a multiplicación:

a²-b²/ab * a/a+b 

>>Simplificando y multiplicando:

= (a-b)(a+b)/ab * a/a+b

(a-b)/b * 1/1 = a-b/b * 1 =

= a-b/b <-- Solución.

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4) Simplificar  1/m +1/n entre 1/m -1/n

>> Resolviendo el numerador y el denominador:

1(n)+1(m)/mn ÷ 1(n) -1(m)/mn = n+m/mn ÷ n-m/mn

>> Convirtiendo a multiplicación:

= n+m/mn * mn/n-m

>> Simplificando y multiplicando:

n+m/1 * 1/n-m = n+m/n-m  o = m+n/n-m  Solución.

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5) Simplificar  x +x/2 entre x -x/4

>> Resolviendo el numerador y el denominador:

2(x)+x/2 ÷ 4(x)-x/4 = 2x+x/2 ÷ 4x-x/4 = 3x/2 ÷ 3x/4

>> Convirtiendo a multiplicación:

= 3x/2 * 4/3x

>> Simplificando y multiplicando:

1/2 * 4/1 = 4/2 = 2  <-- Solución.

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División de fracciones algebraicas.

.          

Regla:

Cambiar la segunda fracción (divisor) por su inverso (ejemplo: 3x/6 su inverso es --> 6/3x) y proceder a multiplicar las dos fracciones, aplicando las reglas para la multiplicación de fracciones algebraicas.

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Ejemplo A) Simplificar   4a²/3b²  entre 2ax/9b³

>> Cambiando la segunda fracción por su inversa

2ax/9b³ --> inversa --> 9b³/2ax

>> Multiplicando las fracciones

4a²/3b² * 9b³/2ax = (4)(9)(a²)(b³) / (3)(2)(a)(b²)(x) = 36a²b³/6ab²x

>> Simplificando la fracción resultante

36a²b³/x = 6ab/x  <--  Solución.

Nota:

Para simplificar fracciones se dividen los elementos comunes así:

36/6 =6  ;  a²/a = a  ;  b³/b² = b ;

en este caso la "x" como no tiene ningún común en el numerador; solo se copia donde esta.

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Ejemplo B) Simplificar x²+4x/8 entre  x²-16/4

>> Cambiando la división a multiplicación:

x²-16/4  inverso --> 4/x²-16

>> Factorizando:

x²+4x/8  *  4/x²-16 = x(x+4)/8 * 4/(x-4)(x+4)

>> Simplificando y luego multiplicando:

x/8 * /4(x-4)

=  x/2 * 1/x-4 = x/2x-8  <-- Solución.

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Ejercicio 134

1)  Simplificar  x²/3y²  entre  2x/y³

>> Cambiando la división a multiplicación:

x²/3y² ÷ 2x/y³ = x²/3y² * y³/2x

>> Multiplicando y simplificando:

= x²y³/6xy²)

= xy/6  <--  Solución.

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2) Simplificar   3a²b/5x²  entre  a²b³

>> Cambiando división a multiplicación:

3a²b/5x² ÷ a²b³/1 = 3a²b/5x² * 1/a²b³

>> Multiplicando y simplificando:

= 3a²b/5a²b³x²

= 3/5b²x²   <--  Solución.

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3) Simplificar  5m²/7n³ entre 10m⁴/14an⁴

>> Cambiando la división a multiplicación:

5m²/7n³  ÷  10m⁴/14an⁴ = 5m²/7n³ * 14an⁴/10m⁴

>> Multiplicando:

5m²/7n³ * 14an⁴/10m⁴ = 70am²n⁴/70n³m⁴

>> Simplificando:

= an/m^2  <--  Solución.

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4) Simplificar  6a²x³  entre  a²x/5

>> Cambiando la división en multiplicación:

6a²x³  ÷  a²x/5 =  6a²x³ * 5/a²x

>> Multiplicando:

6a²x³/1 * 5/a²x = 30a²x³/a²x

Simplificando:

= 30x²/1 = 30x²  <--  Solución.

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5) Simplificar  15m²/19ax³  entre  20y²/38a³x⁴

>> Cambiando la división en multiplicación:

15m²/19ax³  ÷  20y²/38a³x⁴ = 15m²/19ax³ * 38a³x⁴/20y²

>> Multiplicando:

= 570a³m²x⁴/380ax³y²

>> Simplificando:

= 3a²m²x/2y²  <--  Solución.

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6) Simplificar  11x²y³/7m²  entre  22y⁴

>> Cambiando la división en multiplicación:

11x²y³/7m²  ÷  22y⁴/1 = 11x²y³/7m² * 1/22y⁴

>> Multiplicando

11x²y³/7m² * 1/22y⁴ = 11x²y³/154m²y⁴

>> Simplificando:

= x²/14m²y  <--  Solución.

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