Ecuaciones fraccionarias con denominadores compuestos.

.                  

Prodecimiento:

1) Resolver operaciones indicadas en los numeradores o en los denominadores, o en ambos. (Si fuera necesario)

2) Suprimir los denominadores para convertir la ecuación fraccionaria en en una ecuación equivalente entera.

3) Para suprimir los denominadores se encuentra el m.c.m. de éstos, luego se divide el m.c.m. entre cada uno de los denominadores y el cociente se multiplica por su denominador respectivo.

4) Se despeja la variable, transponiendo los términos semejantes: las variables al lado izquierdo de la ecuación y los valores conocidos al lado derecho; para luego reducir los términos semejantes hasta encontrar la solución.

________________________________________

Ejemplo A:  Resolver  3/2x+1 - 2/2x-1 - x+3/4x²-1 = 0

>> Encontrando el m.c.m. de los denominadores

2x+1 ,  2x-1 ,  4x²-1 es  4x²-1      [que es igual a (2x+1)(2x-1) ]

>> Suprimiendo denominadores :

4x²-1 ÷ 2x+1 = 2x-1  -->  (2x-1)(3) = 6x-3

4x²-1 ÷ 2x-1 = 2x+1  --> (2x+1)-2 = -4x-2

4x²-1 ÷ 4x^2-1 = 1   --> (-1)(x+3) = -x-3

>> La ecuación quedaría así:  6x-3 -4x-2 -x-3 = 0

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos es 

= 6x-4x-x = 3+2+3

x= 8  <--  Solución.

________________________________________

Ejemplo B)  Resolver  6x+5/15 - 5x+2/3x+4 = 2x+3/5 -1

>> El m.c.m. de 15 , 3x+4 , 5 , 1  es   15(3x+4)

>> Suprimiendo los denominadores :

15(3x+4) ÷ 15 = 3x+4  --> (3x+4)(6x+5) = 18x²+39x+20

15(3x+4) ÷ 3x+4 = 15  --> -15(5x+2) = -75x-30

15(3x+4) ÷ 5 = 3(3x+4)  --> 3(3x+4)(2x+3) = 18x²+51x+36

15(3x+4) ÷ 1 = 15(3x+4)  --> -15(3x+4)(1) = -45x-60

>> La ecuación quedaría así :

18x²+39x+20 -75x-30 = 18x²+51x+36 -45x-60

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos :

18x²-18x²+39x-75x-51x+45x = 36-60-20+30

-42x = -14

x = -14/-42

x = 14/42 = 1/3  <-- Solución.

________________________________________

Ejemplo C)  Resolver  2x-5/2x-6 + 2(x-1)/x-3 = 3/8 + 3(2x-15)/4x-12

>>Factorando los denominadores:

2x-6   = 2(x-3)

x-3      = x-3

8          = 8

4x-12 = 4(x-3)

--> El m.c.m. de los denominadores factorados es: 8(x-3)

>> Suprimiendo denominadores:

8(x-3) ÷ 2(x-3 )= 4  --> 4(2x-5) = 8x-20

8(x-3) ÷ x-3 = 8  --> 8(2(x-1)) = 16x-16

8(x-3) ÷ 8 = x-3  --> (x-3)(3) = 3x-9

8(x-3) ÷ 4(x-3) =  2 --> 2(3(2x-15)) = 12x-90

>> La ecuación quedaría así:  8x-20+16x-16 = 3x-9+12x-90

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos :

8x+16x-3x-12x = -9-90+20+16

9x = -63

x= - 63/9

x = - 7  <--  Solución.

________________________________________

Ejemplo D)  Resolver   x-2/x²+2x-3 - x+1/x²-9 = 4/x²-4x+3

>> Factorando los denominadores:

x²+2x-3 = (x+3)(x-1)

x²-9         = (x+3)(x-3)

x²-4x+3 = (x-3)(x-1)

-->  El m.c.m. de los denominadores factorados es: (x+3)(x-3)(x-1)

>>  Suprimiendo denominadores:

(x+3)(x-3)(x-1) ÷ (x+3)(x-1) = x-3  --> (x-3)(x-2) = x²-5x+6

(x+3)(x-3)(x-1) ÷ (x+3)(x-3) = x-1  --> -(x-1)(x+1) = -(x²-1) = -x²+1

(x+3)(x-3)(x-1) ÷ (x-3)(x-1) = x+3  --> (x+3)(4) =  4x+12

>> La ecuación quedaría así:  x²-5x+6-x²+1 = 4x+12

>>Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos:

x²-x²-5x-4x = 12-6-1

-9x = 5

x = - 5/9  <--  Solución.

________________________________________

Ejercicio 142

1) Resolver   3/5 + 3/2x-1 = 0

>> El m.c.m. de 5 y 2x-1 es  5(2x-1)

-->  5(2x-1) ÷ 5 = 2x-1  --> (2x-1)(3) = 6x-3

5(2x-1) ÷ 2x-1 = 5  --> 5(3) = 15

>> La ecuación sería:  6x-3+15 = 0

>> Transponiendo términos y reduciéndolos:

6x = 3-15

x = -12/6 = - 2  <-- Solución.

________________________________________

2) Resolver   2/4x-1 = 3/4x+1

>> El m.c.m. de 4x-1 ,  4x+1 es  (4x-1)²

-->  (4x-1)² ÷ 4x-1 = 4x+1  --> (4x+1)(2) = 8x+2

(4x-1)² ÷ 4x+1 = 4x-1  -->  (4x-1)(3) = 12x-3

>> La ecuación sería:  8x+2 = 12x-3

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos:

8x-12x = -3-2

-4x = -5

x = -5/-4 = 5/4  <--  Solución.

________________________________________

3) Resolver   5/x²-1 = 1/x-1

>>El m.c.m. de x²-1  ,  x-1 es   (x+1)(x-1) = x²-1

-->  x²-1 ÷ x²-1 = 1  --> 1(5) = 5

x²-1 ÷ x-1 = (x+1)  --> (x+1)(1) = x+1

>> La ecuación sería :  5 = x+1

>> Transponiendo términos y reduciéndolos:

-x =1-5

-x = -4

x = 4  <--  Solución.

________________________________________

4) Resolver   3/x+1 - 1/x²-1 = 0

>> El m.c.m. de  x+1 ,   x²-1  es   x²-1

--> x²-1 ÷ x+1 = x-1  --> (x-1)(3) = 3x-3

x²-1 ÷ x²-1 = 1 --> -(1)(1) = -1

>> La ecuación sería:  3x-3-1 = 0

>> Transponiendo y reduciendo:

3x = 4

x = 4/3  <--  Solución.

________________________________________

7) Resolver   1/3x-3 + 1/4x+4 = 1/12x-12

>> Factorando los denominadores:

3x-3 = 3(x-1)

4x+4 = 4(x+1)

12x-12 = 12(x-1)

>> El m.c.m. de los denominadores factorados es  12(x+1)(x-1) = 12(x-1)²

--> 12(x-1)² ÷ 3(x-1) = 4(x+1)  --> 4(x+1)(1) = 4x+4

12(x-1)² ÷ 4(x+1) = 3(x-1)  --> 3(x-1)(1) = 3x-3

12(x-1)² ÷ 12(x-1) = (x+1)  --> (x+1)(1) = x+1

>> La ecuación sería:  4x+4+3x-3 = x+1

>> Transponiendo y reduciendo:

4x+3x-x = 1-4+3

6x = 0

x = 0/6 = 0  <--  Solución.

________________________________________

12)  Resolver   (5x-2)(7x+3)/7x(5x-1) - 1 = 0

>> Operando numerador y denominador:

(5x-2)(7x+3) = 35x²+x-6

7x(5x-1) = 35x²-7x

>> La ecuación quedaría:   35x²+x-6/35x²-7x -1/1 = 0

>> El m.c.m. de 35x²-7x   y   1     es    35x²-7x

--> 35x²-7x ÷ 35x²-7x = 1  --> 1(35x²+x-6) = 35x²+x-6

35x²-7x ÷ 1 = 35x²-7x  --> 35x²-7x(-1) = -35x²+7x

>> La ecuación entera sería:  35x²+x-6-35x²+7x = 0

>> Transponiendo y reduciendo términos:

35x²-35x²+x+7x = 6

8x = 6

x = 6/8 = 3/4  <--  Solución.

________________________________________