Procedimiento
General.
1) Agrupar los
términos de la expresión algebraica dada en dos grupos; formando
uno o más Trinomios Cuadrados Perfectos (a²+2ab+b²).
Los términos que no sean T.C.P. se restan del trinomio.
Cuando se forman dos trinomios se escriben uno menos el otro
(a²+2ab+b²) - (x²+2xy+y²).
2) Se factoriza
el trinomio o trinomios para convertirlos en un binomio al cuadrado
(a+b)²
3) Si son dos
binomios al cuadrado los encontrados se escriben como Diferencia
de Cuadrados Perfectos (a+b)² - (x+y)². Si
solo es un binomio al cuadrado el encontrado, este se escribe
restándole el otro término que no formó parte del trinomio (a+b)² – c².
Veamos unos
ejemplos para su mejor comprensión:
Ejemplo 1)
Descomponer o factorar a² +m² -4b² -2am
> Formando un
trinomio cuadrado perfecto con 3 de los términos de la expresión
dada:
a² -2am +m²
> Factorizando
el trinomio cuadrado perfecto encontrado:
a² -2am +m² =
(a-m)²
> Restándole
al binomio al cuadrado encontrado el otro término de la expresión
dada:
(a-m)² – 4b²
> Esta nueva
expresión es una Diferencia de Cuadrados Perfectos y se procede a
factorizarla:
(a-m)² –
4b²
=
[(a-m)+2b)][(a-m)-2b]
=
(a-m+2b)(a-m-2b) Solución.
Ejemplo 2)
Descomponer o factorar 4x² -a² +y² -4xy +2ab -b²
> Formando
trinomios cuadrados perfectos (en este caso se pueden formar dos),
buscando el que sería el 2° término de cada trinomio.
-4xy es el
resultado de -2(√4x²)(√y²) = -2(2x)(y) = -4xy
2ab es el
resultado de 2(√-a²)(√-b²) = 2(-a)(-b) = 2ab
> Los
trinomios quedarían así:
(4x² -4xy
+y²) - (a² -2ab +b²)
> Convirtiendo
los trinomios cuadrados perfectos en binomios al cuadrado:
(4x² -4xy +y²)
- (a² -2ab +b²)
= (2x-y)² –
(a-b)²
> Factorizando
la diferencia de cuadrados perfectos encontrada:
(2x-y)² –
(a-b)²
= [(2x-y) +
(a-b)][(2x-y) - (a-b)]
=
(2x-y+a-b)(2x-y-a+b) Solución.
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Ejercicio
95 del Libro.
Factorar o
descomponer en dos factores:
1) a² +2ab
+b² –x²
> Formando un
trinomio cuadrado perfecto y factorándolo:
(a²+2ab+b²)
= (a+b)²
> Formando una
diferencia de cuadrados pefectos:
(a+b)² – x²
> Factorizando la diferencia de cuadrados perfectos:
(a+b)² – x²
= [(a+b)
+x][(a+b) -x]
= (a+b+x)(a+b-x)
Solución.
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2) x² -2xy
+y² –m²
> Formando un
trinomio cuadrado perfecto:
(x² -2xy
+y²)
> Factorando
el trinomio cuadrado perfecto:
x²-2xy +y² =
(x-y)²
> Formando una
diferencia de cuadrados perfectos:
(x-y)² –
m²
> Factorando
la diferencia de cuadrados perfectos:
(x-y)² – m²
= [(x-y)+m][(x-y)
+m]
=
(x-y+m)(x-y-m) Solución.
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3) m² +2mn +n² -1
3) m² +2mn +n² -1
> Formando un
trinomio cuadrado perfecto:
m²+2mn+n²
> Factorando
el trinomio cuadrado perfecto:
m²+2mn+n² =
(m+n)²
> Formando una
diferencia de cuadrados perfectos:
(m+n)² -1
Factorizando la
diferencia de cuadrados perfectos:
(m+n)² -1
= [(m+n)
+1][(m+n) -1]
=
(m+n+1)(m+n-1) Solución.
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4) a² -2a
+1 –b²
> Formando un
trinomio cuadrado perfecto:
a² -2a +1
> Factorando
el trinomio cuadrado perfecto:
a² -2a +1 =
(a-1)²
> Formando una
diferencia de cuadrados perfectos:
(a–1)² -b²
>Factorando la
diferencia de cuadrados perfectos:
(a–1)² -b²
= [(a-1)
+b][(a-1) -b]
= (a-1+b)(a-1-b)
ordenado sería:
= (a+b-1)(a-b-1
Solución.
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7) a² +4
-4a -9b²
> Formando un
trinomio cuadrado perfecto:
a² -4a +4
> Factorando
el trinomio cuadrado perfecto:
a² -4a +4 =
(a-2)²
> Formando una
diferencia de cuadrados perfectos:
(a-2)² -9b²
> Factorando
la diferencia de cuadrados perfectos:
(a-2)² -9b²
= [(a-2)
+3b][(a-2) -3b]
=
(a-2+3b)(a-2-3b) ordenado sería:
=
(a+3b-2)(a-3b-2) Solución.
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28) x² +4a² -4ax –y² -9b² +6by
> Formando
trinomios cuadrados perfectos:
(x² -4ax
+4a²) – (–y²+6by-9b²)
> Factorando
los trinomios cuadrados perfectos:
(x² -4ax +4a²)
– (y²-6by+9b²)
= (x-2a)² –
(y-3b)²
> Factorizando
los binomios como una diferencia de cuadrados perfectos:
= (x-2a)² –
(y-3b)²
= [(x-2a)
+(y-3b)][(x-2a) – (y-3b)]
=
(x-2a+y-3b)(x-2a-y+3b) Solución.
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30)
9x² +4y² -a² -12xy -25b² -10ab
> Formando
trinomios cuadrados perfectos:
(9x² -12xy
+4y²) – (a² +10ab +25b²)
> Factorando
los trinomios cuadrados:
(9x² -12xy
+4y²) – (a² +10ab +25b²)
= (3x-2y)² –
(a+5b)²
> Factorizando
los binomios como una diferencia de cuadrados perfectos:
(3x-2y)² –
(a+5b)²
=
[(3x-2y)+(a+5b)][(3x-2y)-(a+5b)]
=
(3x-2y+a+5b)(3x-2y-a-5b) Solución.
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