Gráfica de una ecuación lineal.

Ecuaciones lineales se les llama a todas aquellas ecuaciones de primer grado con dos variables que están representadas por líneas rectas.

Las ecuaciones lineales se representan gráficamente de dos maneras:

1) Las ecuaciones con dos variables sin término independiente son aquellas en que las líneas rectas pasan por el origen.  Ej. 2x-3y=0  ⇒ -3y=-2x ⇒ 3y=2x  ⇒ y=2/3x

2) Las ecuaciones con dos variables con término independiente son aquellas en que las líneas rectas no pasan por el origen.

Ej. Sea la ecuación 4x-5y=10 ⇒ -5y=10-4x ⇒ 5y=4x-10 ⇒ y=4x-10 /5 ⇒ y=4/5x -2 

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Ejemplos.

1) Representar gráficamente la ecuación 5x-3y=0

Esta es una ecuación sin término independiente, por la que su línea recta si pasa por el origen.

5x-3y=0 ⇒ -3y=-5x ⇒ 3y=5x   ∴ y=5/3x

Dando un valor cualquiera (por ejemplo 3) a "x", para encontrar el valor de "y".

y = (5/3)(3) = 5    ⇒ x=3 , y=5    (3,5) 

El punto (3/5) es uno de los puntos de la recta y que al unirlo con el origen (0,0) determina una representación de una línea recta que pasa por el origen:

2) Representar gráficamente la ecuación 3x+4y=15

Esta es una ecuación con término independiente, por lo que su línea recta no pasa por el origen.  

Para encontrar los puntos para graficar basta con buscar los puntos de intersección en los ejes.  (0,y).(x,0)

y=15-3x /4       y    x=15-4y /3

Si x = 0  ⇒  y=15-3(0) /4  ⇒ y=15/4 ⇒ y=3 3/4 

Si y = 0 ⇒  x=15-4(0) /3⇒  x=15/3  ⇒  x=5

⇒ los puntos para graficar son ((0, 3³/₄)  y  (5, 0)

3) Representar gráficamente x-3 = 0

Si x-3 = 0 ⇒ x = 3

La ecuación quedaría así: x +0y = 3 ⇒ x = 3-0y

Si y = 0 ⇒ x=3-0(0) ⇒ x = 3     (3,0)

Si y =1  ⇒ x = 3-0(1) ⇒ x = 3   (3,1)

Si y =2  ⇒ x = 3-0(2) ⇒ x =3    (3,2)

Si y = n ⇒ x = 3-0(n) ⇒ x =3    (3,n)

Por lo tanto ( ∴ ) , para cualquier valor de "y" el valor de "x" siempre será el mismo; por lo que la representación gráfica de es una línea recta paralela al eje de las "y", (a la derecha)

Si la ecuación fuera x+2=0 ⇒ x=-2, por lo que su representación gráfica es una línea paralela al eje de las "y" (a la izquierda)

4) Representar gráficamente y -2 =0

y-2= 0,  ≈  0x-y=2 ⇒  y=2+0x

Si x = -1 ⇒ y = 2+0(-1)   ⇒  y = 2   (-1 , 2)

Si x = 0  ⇒  y = 2+0(0)  ⇒  y = 2     (0 , 2)

Si x = 1  ⇒  y = 2+0(1)  ⇒  y = 2      (1 , 2)

Por lo tanto ( ∴ ) , para cualquier valor de "x" el valor de "y" siempre será el mismo; por lo que la representación gráfica de es una línea recta paralela al eje de las "x", (arriba).

Si la ecuación fuera y+4=0 ⇒ y=-4, por lo que su representación gráfica es una línea paralela al eje de las "x", (abajo)

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Ejercicio 175.

Representa gráficamente las siguientes ecuaciones:

1) x -y = 0

x -y = 0  ⇒ x = y

Por lo tanto cualquier valor de x será igual al valor de y.

(x,y) = (-2,-2) ,  (0,0) , (2,2) 

2)  x +y = 5

x +y = 5 ⇒  x = 5-y

Si y = -1  ⇒ x = 5-(-1)  ⇒ x = 5+1 ⇒ x = 6    (6 , -1)

Si y = 0  ⇒ x = 5-(0)  ⇒ x = 5+0 ⇒ x = 5      (5 . 0)

Si y = 1  ⇒ x = 5-(1)  ⇒ x = 5-1 ⇒ x = 4        (4 , 1)

3)  x -1 = 0

x -1 = 0 ⇒ x +0y = 1

-> x = 1-0y

Si y = -1  ⇒  x = 0(-1)  ⇒ x = 0   (0 , -1)

Si y = 0  ⇒  x = 0(0)  ⇒ x = 0      (0 , 0)

Si y = 1  ⇒  x = 0(1)  ⇒ x = 0      (0 , 1)

4)  y +5 = 0

y +5 = 0 ⇒  0x +y = -5

y = -5 -0x

Si x = -1  ⇒  y = -5-0(-1)  ⇒ y = -5   (-1 , -5)

Si x = 0  ⇒ y = -5-0(0)  ⇒ y = -5       (0 , -5)

Si x =1  ⇒ y = -5-0(1)  ⇒ y = -5        (1 , -5)

7)  x -y = -4

x = -4+y

Si y = -2  ⇒  x = -4+(-2)  ⇒  x = -4-2  ⇒  x = -6   (-6 , -2)

Si y = 0  ⇒  x = -4+(0)  ⇒  x = -4-0  ⇒  x = -4      (-4 , 0)

Si y = 2  ⇒  x = -4+(2)  ⇒  x = -4+2  ⇒  x = -2      (-2 , 2)

 

10)  2x+3y=-2

x = -20 -3y / 2

Si y=-2  ⇒  x = -20-3(-2) /2  ⇒ x = -20+6 /2 ⇒ x = -14/2  ⇒ x = -7  (-7,-2)

Si y=0  ⇒  x = -20-3(0) /2  ⇒ x = -20+0 /2 ⇒ x = -20/2  ⇒ x = -10   (-10,0)

Si y=2  ⇒  x = -20-3(2) /2  ⇒ x = -20-6 /2 ⇒ x = -26/2  ⇒ x = -13    (-13,2)

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Problemas sobre ecuaciones indeterminadas.

 Ejemplo.

Un comerciante emplea Q64 en comprar lapiceros a Q3 cada uno y plumas fuentes a Q5 cada una.  ¿Cuántos lapiceros y cuántas plumas fuentes puede comprar?

Datos:

Lapiceros: x  ;  plumas fuentes: y  ;  Compra Q64.

3x + 5y = 64  ⇒  x = 64-5y /3

Si y = 2 ⇒ x = 64-5(2) /3 = 64-10 /2 = 54/3 ⇒ x = 18 

Si y = 5 ⇒ x = 64-5(5) /3 = 64-25 /2 = 39/3 ⇒ x = 13

Si y = 8 ⇒ x = 64-5(8) /3 = 64-40 /2 = 24/3 ⇒ x = 8

Si y = 11 ⇒ x = 64-5(11) /3 = 64-55 /2 = 9/3 ⇒ x = 3

Nota: los demás valores para y no dan valores enteros y/o positivos para x.   

Solución: por Q64 puede comprar:

18 lapiceros y 2 plumas fuentes,

13 lapiceros y 5 plumas fuentes,

8 lapiceros y 8 plumas fuentes, 

3 lapiceros y 11 plumas fuentes.

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Ejercicio 174.

1) ¿De cuántos modos se pueden tener $42 en billetes de $2 y de $5?

Datos:

Billetes de $2 : x  ;  billetes de $5:  y  ; Valor total $42.

2x + 5y = 42  ⇒   x = 42-5y / 2

Si y = 2 ⇒ x = 42-5(2) /2 = 42-10 /2 = 32/2 ⇒ x = 16

Si y = 4 ⇒ x = 42-5(4) /2 = 42-20 /2 = 22/2 ⇒ x = 11

Si y = 6 ⇒ x = 42-5(6) /2 = 42-30 /2 = 12/2 ⇒ x = 6

Si y = 8 ⇒ x = 42-5(8) /2 = 42-40 /2 = 2/2 ⇒ x = 1

Solución: Los modos que se pueden tener son:

1 billete de $2  y  8 billetes de $5,

6 billete de $2  y  6 billetes de $5,

11 billete de $2  y  4 billetes de $5,

16 billete de $2  y  2 billetes de $5.

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2) ¿De cuántos modos se pueden pagar $45 en monedas de $5 y de $10?

Datos:

Monedas de 5: x  ;  monedas de $10: y  ;  Total a pagar $45

5x + 10y = 45  ⇒  x = 45-10y / 5

Si y = 1 ⇒  x = 45-10(1) /5 = 45-10 /5 = 35/5  ⇒ x = 7

Si y = 2 ⇒  x = 45-10(2) /5 = 45-20 /5 = 25/5  ⇒ x = 5

Si y = 3⇒  x = 45-10(3) /5 = 45-30 /5 = 15/5  ⇒ x = 3

Si y = 4 ⇒  x = 45-10(4) /5 = 45-40 /5 = 5/5  ⇒ x = 1.

Solución: Se puede pagar de los modos siguientes:

1 moneda de $5   y  4 monedas de $10,

3 monedas de $5   y  3 monedas de $10,

5 moneda de $5   y  2 monedas de $10,

7 moneda de $5   y  1 monedas de $10.

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3) Hallar dos números tales que si uno se multiplica por 5 y el otro por 3, la suma de sus productos sea 62.

Datos:

1° número por 5: 5x  ;  2° número por 3: 3y  ;  Suma de productos 62.

5x + 3y = 62  ⇒  x = 62-3y / 5

Si y = 4 ⇒  x = 62-3(4) /5 = 62-12 /5 = 50/5  ⇒ x = 10

Si y = 9 ⇒  x = 62-3(9) /5 = 62-27 /5 = 35/5  ⇒ x = 7

Si y = 14 ⇒  x = 62-3(14) /5 = 62-42 /5 = 20/5  ⇒ x = 4

Si y = 19 ⇒  x = 62-3(19) /5 = 62-57 /5 = 5/5  ⇒ x = 1

Solución: los números son:

1 y 19  ;  4 y 14  ;  7 y 9  ;  10 y 4.

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4) Un hombre pagó 340 bs por sombreros a 8 bs cada uno y pares de zapatos a 15 bs cada uno.  ¿Cuántos sombreros y cuántos pares de zapatos compró?

Datos:

Sombreros a 8bs c/u: 8x  ;  pares de zapatos a 15bs c/u: 15y  ;  Pago total 3340 bs.

8x + 15y = 340  ⇒  x = 340-15y /8

Si y = 4   ⇒  x = 340-15(4) / 8 = 340-60 /8 = 280/8  ⇒ x = 35

Si y = 12   ⇒  x = 340-15(12) / 8 = 340-180 /8 = 160/8  ⇒ x = 20

Si y = 20   ⇒  x = 340-15(20) / 8 = 340-300 /8 = 40/8  ⇒ x = 5

Solución:  El hombre compró:

5 sombreros y 20 pares de zapatos,

20 sombreros y 12 pares de zapatos,

35 sombreros y 4 pares de zapatos.

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5) Un hombre pagó $42 por tela de lana a $1.50 el metro y de seda a $2.50 el metro. ¿Cuántos metros de lana y cuántos de seda compró?

Datos:

Tela de lana: x a $1.50: 1.5x   ;  tela de seda: y a $2.50: 2.5y  ;  Pago total $42.

1.5x + 2.5y = 42  ⇒  x = 42-2.5y / 1.5

Si y = 3   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 23

Si y = 6   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 18

Si y = 9   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 13

Si y = 12   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 8

Si y = 15   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 3

Solución: El hombre pudo comprar la tela así:

3 m de lana  y  15 m de seda,

8 m de lana  y  12 m de seda,

13 m de lana  y  19 m de seda,

18 m de lana  y  6 m de seda,

23 m de lana  y  3 m de seda.

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6) En una excursión cada niño pagaba 45 cts. y cada adulto $1.  Si el gasto total fue de $17, ¿cuántos adultos y cuantos niños iban?

Datos:

Niño: x,  pago por cada uno $0.45: 0.45x

Adulto: y,  pago por cada uno $1: 1y  ;  

Total pagado $17

0.45x + y = 17  ⇒  x = 17-y /0.45

Si y = 8  ⇒  x = 17-(8) /0.45 = 9/0.45  ⇒ x = 20

Solución: Pueden ir a la excursión:

20 niños y 8 adultos.

(Solo existe este modo que el valor de "x" y "y" sean enteros y positivos ≠0) 

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