Descomposición de una expresión algebraica en cinco o seis factores.

Descomposición de una expresión algebraica en cinco o seis factores.

Procedimiento:

1) Se descompone la expresión algebraica en los factores que se necesiten, utilizando cualquiera de los 10 casos de Factorización, según el o los que sean necesarios.

____________________________________________________

Ejercicio 109.

 1) Descomponer en cinco factores  x⁹-xy⁸

> Descomponiendo la expresión su factor común Caso I:

x⁹-xy⁸ = x(x⁸-y⁸)

> Descomponiendo  x⁸-y⁸  por el Caso IV

x(x⁸-y⁸) = x(x⁴+y⁴)( x⁴-y⁴)

> Descomponiendo x⁴-y⁴  por el Caso IV

x(x⁴+y⁴)( x⁴-y⁴) = x(x⁴+y⁴)(x²+y² )(x²-y²)

> Descomponiendo x²-y²  por el Caso IV:

x(x⁴+y⁴)(x²+y² )(x+y)(x-y)

--> x⁹-xy⁸ = x(x⁴+y⁴)(x²+y² )(x+y)(x-y)  Solución.

____________________________________________________

2) Descomponer en cinco factores  x⁵-40x³+144x

> Descomponer la expresión por su factor común Caso I:

x⁵-40x³+144x =  x(x⁴-40x²+144)

> Descomponiendo x⁴-40x²+144 por el Caso VI

= x(x²-36)(x²-4)

> Descomponiendo  x²-36  y  x²-4  por el Caso IV

x²-36 = (x+6)(x-6)

x² - 4 = (x+2)(x-2)

Entonces la descomposición quedaría así:

x⁵-40x³+144x  = x(x+6)(x-6)(x+2)(x-2)  Solución.

___________________________________________________

14) Descomponer en seis factores  (a²-ax)(x⁴-82x²+81)

> Descomponiendo  a²-ax  por su factor común Caso I:

a²-ax = a(a-x)

> Descomponiendo  x⁴-82x²+81 por el Caso VI:

x⁴-82x²+81 = (x²-81)(x²-1)

--> La descomposición, hasta aquí, quedaría así:

(a²-ax)(x⁴-82x²+81) = a(a-x)(x²-81)(x²-1)

> Descomponiendo  x²-81  y  x²-1 por el Caso IV:

x²-81 = (x+9)(x-9)

x²-1 = (x+1)(x-1)

--> La descomposición quedaría así:

(a²-ax)(x⁴-82x²+81) = a(a-x)(x+9)(x-9)(x+1)(x-1)  Solución.

___________________________________________________

Descomposición de una expresión algebraica en cuatro factores.

.      

Descomposición de una expresión algebraica en cuatro factores.

Procedimiento:

1) Se descompone la expresión algebraica en los factores que se necesiten, utilizando cualquiera de los 10 casos de Factorización, según el o los que sean necesarios.

_____________________________________________________

Ejemplos:

a) Descomponer en cuatro factores   2x⁴-32

> Buscando el factor común de 2x⁴   y   32, que es 2

> Se descompone la expresión en 2 factores:

2x⁴-32 = 2(x⁴-16)

> Se descompone x⁴-16 en dos factores:

x⁴-16 = (x²+4)(x²-4)

> Se descompone x²-4 en dos factores:

x²-4 = (x+2)(x-2)

--> 2x⁴-32 =  2(x²+4)(x+2)(x-2)   Solución

b) Descomponer en cuatro factores  a⁶-b⁶

> Descomponer la expresión como diferencia de cuadrados:

a⁶-b⁶ = (a³+b³)(a³-b³)

> Descomponiendo cada uno de los factores anteriores

como suma y como diferencia de cubos perfectos:

(a³+b³)(a³-b³) =  (a+b)(a²-ab+b²)(a-b)(a²+ab+b²)

--> a⁶-b⁶ =  (a+b)(a²-ab+b²)(a-b)(a²+ab+b²)  Solución.

___________________________________________________

Ejercicio 108.

3) Descomponer en cuatro factores  x⁴-41x²+400

> Descomponiendo la expresión como Caso VI

x⁴-41x²+400 = (x²-25)(x²-16)

> Descomponiendo  x²-25  y  x²-16  como caso IV

x²-25 = (x+5)(x-5)

x²-16 = (x+4)(x-4)

--> la descomposición quedaría así:

x⁴-41x²+400 = (x+5)(x-5)(x+4)(x-4)  Solución.

__________________________________________________

10) Descomponer en cuatro factores  12ax⁴+33ax²-9a

> Descomponiendo la expresión en su factor común:

El factor común de 12ax⁴+33ax²-9a  es  3a

--> = 3a(4x⁴+11x²-3)

> Descomponiendo 4x⁴+11x²-3 como Caso  VII

3a(4x⁴+11x²-3) = 3a(x²+3)(4x²-1)

Descomponiendo 4x²-1  como Caso IV:

3a(x²+3)(4x²-1) = 3a(x²+3)(2x+1)(2x-1)

-->  12ax⁴+33ax²-9ª =  3a(x²+3)(2x+1)(2x-1)  Solución.

__________________________________________________

12) Descomponer en cuatro factores  x⁶-7x³-8

> Descomponiendo la expresión como Caso VI:

x⁶-7x³-8 =  (x³-8)(x³+1)

> Descomponiendo  x³-8   y   x³+1 como Caso IX:

x³-8 = (x-2)(x²-2x+4)

x³+1 = (x+1)(x²-2x+1)

--> La descomposición quedaría así:

x⁶-7x³-8 =  (x-2)(x²-2x+4)(x+1)(x²-2x+1)  Solución.

__________________________________________________

Descomposición de una expresión algebraica en tres factores.

.         

Descomposición de una expresión algebraica en tres factores.

Procedimiento:

1) Buscar si hay un factor común en los términos de la expresión.

2) Si hay factor común en la primera expresión descomponerlo en dos factores.

3) Descomponer en dos factores, el factor que no es común en los dos encontrados.

4) La solución será la expresión con los tres factores encontrados.

____________________________________________________

Ejemplos:

a) Descomponer en tres factores 5a²-5

> Buscando el factor común de 5a²  y  -5, que es 5

> Descomponiendo 5a²-5 en dos factores

5a²-5 = 5(a²-1)

> Descomponiendo en dos factores a²-1:

a²-1 = (a+1)(a-1)

-->  5a²-5 =  5(a+1)(a-1)  Solución.

b) Descomponer en tres factores 3x³-18x²y+27xy²

> Buscando el factor común 3x³  ;  -18x²y  ;  +27xy², que es 3x

> Descomponiendo 3x³-18x²y+27xy² en dos factores:

3x³-18x²y+27xy² = 3x(x²-6xy+9y²)

> Descomponiendo x²-6xy+9y²  en dos factores:

x²-6xy+9y² = (x-3y)² = (x-3y)(x+3y)

--> 3x³-18x²y+27xy² = 3x(x-3y)(x+3y)  Solución.

c) Descomponer en tres factores 6ax²+12ax-90a

> Buscando el factor común de  6ax²  ;  +12ax  ;  -90a, que es 6a

> Descomponiendo la expresión en dos factores:

6ax²+12ax-90a = 6a(x²+2x-15)

> Descomponiendo  x²+2x-15 en dos factores:

x²+2x-15 = (x+5)(x-3)

--> 6ax²+12ax-90ª =  6a(x+5)(x-3)  Solución.

d) Descomponer en tres factores  8x³+8

> Buscando el factor común de 8x³  y  8, que es 8

>Descomponiendo en dos factores la expresión:

8x³+8 =  8(x³+1)

> Descomponiendo x³+1 en dos factores:

x³+1 = (x+1)(x²+x+1)

--> 8x³+8 =  8(x+1)(x²+x+1)  Solución.

_________________________________________________

Ejercicio 107.

1) Descomponer en tres factores 3ax²-3a

> Buscando el factor común de 3ax²  y  -3a, que es 3a

> Descomponiendo la expresión en dos factores:

3ax²-3a = 3a(x²-1)

> Descomponiendo x²-1 en dos factores:

x²-1 = (x+1)(x-1)

--> 3ax²-3a = 3a(x+1)(x-1)  Solución.

___________________________________________________

2) Descomponer en tres factores  3x²-3x-6

> Buscando el factor común de 3x² , 3x  , 6, que es 3

> Descomponiendo la expresión en dos factores:

3x²-3x-6 =  3(x²-x-2)

> Descomponiendo x²-x-2 en dos factores:

x²-x-2 = (x-2)(x+1)

--> 3x²-3x-6 =  3(x-2)(x+1)  Solución.

____________________________________________________

3) Descomponer en tres factores  2a²x-4abx+2b²x

> Buscando el factor común de 2a²x  ;  4abx  ;  2b²x, que es 2x

> Descomponiendo la expresión en dos factores

2a²x-4abx+2b²x = 2x(a²-2ab+b²)

> Descomponiendo a²-2ab+b² en dos factores:

a²-2ab+b² = (a-b)² = (a+b)(a-b)

--> 2a²x-4abx+2b²x = 2x(a+b)(a-b)

ó = 2x(a-b)²  Solución.

_____________________________________________________

Suma o diferencia de potencias impares iguales. Caso X.

.                                        

Regla para  la suma  de dos potencias impares iguales (m⁵+n⁵) es  igual a dos factores:

el primer factor es la suma de las raíces de los términos (m+n)

el segundo factor es el primer término elevado a la 5-1=4,  menos el 1º término  elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1,  más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado,  menos el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo,  más el 2º término elevado a la cuarta. (m⁴ - m³n + m²n² - mn³ + n⁴)

<><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><>

Regla para  La diferencia  de dos potencias impares iguales (m⁵ - n⁵) es  igual a dos factores:

el primero es la diferencia de las raíces de los términos (m-n)

el segundo es el primer término elevado a la 5-1=4,  más el 1º término  elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1,  más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado,  más el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo,  más el 2º término elevado a la cuarta.

(m⁴ + m³n + m²n² + mn³ + n⁴)

<><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><>

Ejemplo:

Factorar    x⁵ +32

1º  Encontramos la raíz quinta de los términos:

raíz quinta de x⁵ = x          ; raíz quinta de 32 = 2  

2º  formamos el primer factor con las raíces:   (x +2)

3º  Formamos el segundo factor:

[x⁵⁻¹ - x⁵⁻²(2) +x⁵⁻³(2^²) - x⁵⁻⁴(2³) + (2)⁴)]

[x⁴ - x³(2) +x²(4) - x(8) + 16] = (x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16)

--> x⁵ +32  =  (x +2)(x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16)  Solución
_________________________________________

Factorar    x⁷ - 1

1º  Encontramos la raíz séptima de los términos:

raíz séptima de x⁷ = x          ; raíz séptima de 1 = 1  

2º  formamos el primer factor con las raíces:   (x - 1)

3º  Formamos el segundo factor:

[x⁷⁻¹ + x⁷⁻²(1) + x⁷⁻³(1²) + x⁷⁻⁴(1³) + x⁷⁻⁵(1⁴) +x⁷⁻⁶(1⁵) + (1⁶)]

[(x⁶ + x⁵(1) + x⁴(1) + x³(1) + x²(1)^4 +x(1) + 1] =

 = (x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x +1) -->

--> x⁷ -1  =  (x - 1)(x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x +1)  Solución

_________________________________________

NOTA:

Cuando el primer factor es suma (x+1), los signos del segundo factor son alternativamente "+" y  "-"

Cuando el primer factor es diferencia (x-1),  los signos del segundo factor son todos positivos " + "

_________________________________________

Ejercicio 105 del Libro.

3) Factorar    1 - x⁵

Raíz quinta de 1 = 1     ;    raíz quinta de x⁵ = x

--> 1er.  factor:   (1 -x)

.     2º.  factor: [1⁴ + 1³(x) + 1²(x²) + 1(x³) + x⁴] =

=  (1 + x + x² + x³ + x⁴) 

--> 1 - x⁵   =   (1 -x)(1 + x + x² + x³ + x⁴)   Solución

_________________________________________

4)  Factorar    a⁷  + b⁷

Raíz séptima de a⁷ = a         ;    raíz séptima de b⁷ = b

--> 1er.  Factor:  (a +b)

.    2º.  Factor:  [a⁶  -a⁵(b) +a⁴(b²) -a³(b³)  +a²(b⁴) -a(b⁵) +b⁶] =

(a⁶ - a⁵b + a⁴b² - a³b³ + a²b⁴ - ab⁵ + b⁶)

Solución:

a⁷ + b⁷  =  (a+b)(a⁶ -a⁵b +a⁴b² -a³b³ +a²b⁴ -ab⁵ +b⁶)

________________________________________

6)  Factorar  a⁵+243

Raíz quinta de  a⁵ = a   ;    raíz quinta de 243 = 3

--> 1er.  Factor:  (a+3)   

.     2º. Factor:  [a⁴ - a³(3) + a²(3)² - a(3)³ + (3)⁴] =

= (a⁴ -3a³ +9a² - 27a +81)

--> a⁵ +243 = (a+3)(a⁴ -3a³ +9a² - 27a +81)   Solución.

________________________________________

7)    Factorar   32 -m⁵

Raíz quinta de 32 = 2       ;      Raíz quinta de m^5 = m

--> 1er. Factor:   (2 -m)

.     2º. Factor: [(2)⁴ + (2)³(m) + (2)²(m)² + (2)(m)³ + m⁴] =

=   (16 + 8m + 4m² + 2m³ +m⁴)

--> 32 -m⁵  =  (2 -m)(16 + 8m + 4m² + 2m³ +m⁴)  Solución.

_________________________________________

8)   Factorar   1 + 243x⁵

Raíz quinta de 1 = 1      ;     Raíz quinta de 243x⁵ = 3x

--> 1er. factor:  (1 + 3x)

.   2º. Factor:  [(1)⁴ - (1)³(3x) + (1)²(3x)² - (1)(3x)³ + (3x)⁴] =

=   (1 - 3x + 9x² - 27x³ + 81x⁴)

-->  1+243x⁵ = (1 +3x) (1 - 3x + 9x² - 27x³ + 81x⁴)  Solución.

_________________________________________

10)  Factorar   243 -32b⁵

Raíz quinta de  243 =  3     ;      Raíz quinta de 32b⁵ = 2b

-->  1er. Factor:   (3 -2b)

.   2º. Factor:   [(3)⁴ + (3)³(2b) + (3)²(2b)² + (3)(2b)³  + (2b)⁴] =

=    (81 + 54b + 36b² + 24b³ +16b⁴)

-->  la Solución es = 

 .    243 -32b⁵  =  (3 -2b)(81 + 54b + 36b² + 24b³ +16b⁴)

_________________________________________

11)   Factorar   a⁵ +b⁵c⁵

Raíz quinta de a⁵ = a     ;      Raíz quinta de b⁵c⁵ = bc

-->  1er. Factor:   (a + bc)

.   2º. Factor:  [(a)⁴ - (a)³(bc) + (a)²(bc)² - (a)(bc)³ + (bc)⁴]  =

= (a⁴ - a³bc + a²b²c² - ab³c³ + b⁴c⁴)

-->   la Solución es =

.   a⁵ +b⁵c⁵  =  (a⁴ - a³bc + a²b²c² - ab³c³ + b⁴c⁴)

__________________________________________

Suma o diferencia de cubos perfectos. Caso IX

.                         

1.  Regla  para la suma de cubos perfectos.

a³ +b³  =   (a+b)(a²-ab+b²)

La suma de dos cubos perfectos, es igual a la suma de sus raíces cúbicas, (a+b); multiplicado por el cuadrado de la 1° raíz cúbica, a², menos el producto de las dos raíces cúbicas, ab, más el cuadrado de la 2° raíz cúbica, b².

Ejemplo:

Factorar o descomponer en 2 factores 27m⁶ +64n⁹

Se encuentra las raíces cúbicas de

.      27m⁶ = 3m²      y     64n⁹ = 4n³

--> Desarrollando la Regla:

Suma de las raíces cúbicas:   (3m²+4n³)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (3m²)² = 9m⁴

Producto de las 2 raíces cúbicas:  (3m²)(4n³) = 12m²n³

Cuadrado de la 2° raíz cúbica: (4n³)² = 16n⁶

-->  27m⁶+64n⁹  =  (3m²+4n³)(9m⁴ -12m²n³ +16n⁶)   Solución.

2.  Regla para la diferencia de cubos perfectos.  

a³ -b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

La diferencia de dos cubos perfectos, es igual a la diferencia de sus raíces cúbicas, (a-b); multiplicado por el cuadrado de la 1° raíz cúbica, a^2, más el producto de las dos raíces cúbicas, ab, más el cuadrado de la 2° raíuz cúbica, b^2.

Ejemplo: 

Descomponer en 2 factores  8x³ -125

--> Se encuentra las raíces cúbicas de:

.     8x³  =  2x          y      125  =  5

--> Desarrollando la Regla:

Suma de las raíces cúbicas:  (2x -5)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (2x)²  =  4x²

Producto de las 2 raíces cúbicas: (2x)(5) = 10x

Cuadrado de la 2° raíz cúbica: (5)² = 25

--> 8x³ -125  =  (2x -5)(4x² +10x +25)  Solución.

-----------------------------------------------------------------------------

Ejercicio 103 del Libro.

Descomponer en 2 factores :

1)  1 +a³

Raíz cúbica de 1  =  1          Raíz cúbica de a³ =  a

Suma de las raíces cúbicas:  (1 +a)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (1)²  =  1

Producto de las raíces cúbicas:  (1)(a)  =  a

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (a)²  =  a²

--> 1 +a³  =  (1 +a)(1 -a +a²)  Solución.

-----------------------------------------------------------------------------

2)  1 -a³

Raíz cúbica de 1  =  1       y       Raíz cúbica de a³  =  a

Diferencia de las raíces cúbicas:  (1 -a)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (1)²  =  1

Producto de las raíces cúbicas:  (1)(a) =  a

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (a)²  =  a²

-->  1 -a³  =  (1 -a)(1 +a +a²)     Solución.

-----------------------------------------------------------------------------

3)  x³ +y³

Raíz cúbica de x³  =  x                      Raíz cúbica de y³ =  y

Suma de las raíces cúbicas:  (x +y)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (x)²  = x²

Producto de las raíces cúbicas:  (x)(y)  =  xy

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (y)² =  y²

-->  x³ +y³  =  (x +y)(x² -xy +y²)    Solución.

-----------------------------------------------------------------------------

14)  64 +a⁶

Raíz cúbica de 64  =  4               Raíz cúbica de a⁶  =  a²

Suma de las raíces cúbicas:  (4 +a²)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (4)²  = 16

Producto de las raíces cúbicas:  (4)(a²) =  4a²

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (a²)² = a⁴

-->  64 +a⁶  =  (4 +a²)(16 -4a² +a⁴)     Solución.

Recordatorio:

Para elevar una potencia a otra potencia;  Se eleva el coeficiente a la otra potencia, se copia la literal y se multiplican los exponentes:  (a²)² = a²*²= a⁴

Para encontrar la raíz cúbica de una potencia, se extrae la raíz cúbica del coeficiente, se copia la literal y se divide el exponente de la potencia entre el índice de la raíz cúbica (3) :  ∛8a⁶ = 2a⁶/³ = 2a².

--------------------------------------------------------------------------------

17)   8a³ +27b⁶

Raíz cúbica de 8a³  =  2a              Raíz cúbica de 27b⁶  =  3b²

Suma de las raíces cúbicas:  (2a +3b²)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (2a)²  =  4a²

Producto de las raíces cúbicas:  (2a)(3b²) = 6ab²

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (3b²)²  =  9b⁴

-->   8a³ +27b⁶  =  (2a +3b²)(4a² -6ab² +9b⁴)    Solución.

Cubo perfecto de binomios. Caso VIII

.         

Condiciones que debe cumplir la expresión para ser un Cubo Perfecto de Binomios:

Sea la expresión:  a³  +3a²b  +3ab²  +b³ = (a+b)³

a) Debe tener 4 términos

b) Que el 1° y 4° término sean cubos perfectos.

c) Que el 2° término sea el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del 4°  término ( 3a²b)

d) Que el 3° término sea el triplo de la raíz cúbica del primer término multiplicado por el cuadrado de la raíz cúbica del 4° término (3ab²)

———————————————————————————-

Procedimiento para factorar una expresión que sea un Cubo Perfecto de Binomio:

Sea el ejemplo:  8x³ +12x² +6x +1

>> Se extrae la raíz cúbica del 1° y 4° términos:

raíz cúbica de  8x³ = 2x       y    raíz cúbica de  1 = 1  

>> Se comprueba el 2° y 3° término de la expresión:

2° término:   3(2x)²(1) = 3(4x²)(1) = 12x²

3° término:  3(2x)(1)² = 3(2x)(1) = 6x

>> Como todos los términos de la expresión dada 8x³ +12x² +6x +1, son positivos, el binomio resultante de la expresión es (2x+1)³.

Por lo tanto; 8x³ +12x² +6x +1 = (2x+1)³ ,   Es la Solución.

———————————————————————————

Otro ejemplo: 8x⁶ +54x²y⁶ -27y⁹ -36x⁴y³

>> En este caso se ordena la expresión en relación a la letra “x” y quedaría así:

8x⁶  -36x⁴y³  +54x²y⁶  -27y⁹  –>

>> Se extrae la raíz cúbica del 1° y 4° término:

raíz cúbica de  8x⁶ = 2x²       ;   raíz cúbica de  27y⁹ = 3y³

>> Se comprueba el 2° y 3° término de la expresión:

2° término:  3(2x²)²(3y³) = 3(4x⁴)(3y³) = 36x⁴y³

3° término:  3(2x²)(3y³)² = 3(2x²)(9y⁶) = 54x²y⁶

>> Como los términos de la expresión son alternativamente positivos y negativos ( +, -, +, –) el binomio resultante de la expresión es:   8x⁶  -36x⁴y³  +54x²y⁶ -27y⁹  =  (2x² -3y³)³  que es la Solución

—————————————————————

NOTA:  Para extraer la raíz cúbica de un monomio, se le extrae raíz cúbica al coeficiente y se divide el exponente de la letra entre 3 :  8x⁶ –>   raíz cúbica de 8 es  2     y    6/3 = 2  –>  = 2x²

—————————————————————

Ejercicio 102 del Libro.

1)  Factorar   a³  +3a²  +3a  +1

Raíz cúbica de  a³ = a    ;    raíz cúbica de  1  = 1

2° término:   3(a)²(1) = 3(a²)(1) = 3a²   

3° término:   3(a)(1)² = 3(a)(1) = 3a  

Signos positivos –>  (a+1)³

Por lo tanto:   a³  +3a²  +3a  +1 = (a+1)³  Solución.

—————————————————————

2) Factorar     27 -27x +9x² -x³  (Está ordenado de menor a mayor grado)

Raíz cúbica de     27 = 3       ;       raíz cúbica de   x³ =  x

2° término:  3(3)²(x) =3(9)(x) = 27x  

3° término :  3(3)(x)² = 3(3)(x²) = 9x² 

Signos alternos (x, -, +, -) –>  (3-x)³

Por lo tanto:   27 -27x +9x² -x³  =  (3-x)³  Solución

—————————————————————

3) Factorar   m³  +3m²n  +3mn²  +n³

Raíz cúbica de m³ = m       ;       n³ = n

2° término:  3(m)²(n) = 3(m²)(n) = 3m²n  

3° término:  3(m)(n)² = 3(m)(n²) = 3mn² 

Signos positivos –>  (m+n)³

Por lo tanto:  m³  +3m²n  +3mn²  +n³ = (m+n)³  Solución

—————————————————————

4) Factorar    1  -3a  +3a²  -a³

Raíz cúbica de  1 = 1       ;      raíz cúbica de  a³ = a

2° término:  3(1)²(a) = 3(1)(a) = 3a  

3° término:  3(1)(a)² = 3(1)(a²) = 3a²  

Signos alternos (+, -, +, -) –>  (1-a)³

Por lo tanto:  1  -3a  +3a²  -a³ =   (1-a)³ Solución.

—————————————————————

Trinomio de la forma ax² ± bx ± c. Caso VII

.                          

Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax² +bx +c:

– El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.

– El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

– El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1° y 2° términos.

————————————————————————————–

Procedimiento para el trinomio de la forma ax² +bx +c: 

–Antes de descomponer el trinomio en dos factores binomios, se procede así:
Ejemplo: 6x² -7x -3

1°) Se multiplica el coeficiente del primer término ” 6 ” por todo el trinomio, dejando el producto del 2° término indicado:

6(6x² -7x +3) = 36x² -6(7x) -18

2°)   Se ordena tomando en cuenta que 36x² = (6x)²    y  6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera:  (6x)² -7(6x) -18

3°) Luego se procede a factorar  (6x)² -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. con una variante que se explica en el Inciso 6°

4°) Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio:  (6x- )(6x+ )

5°) Se buscan dos #s cuya diferencia sea -7 y cuyo producto sea -18 ; y esos #s son -9 y +2  porque:  -9 +2 = -7  y  (-9)(2) = -18 –>  =  (6x-9)(6x+2)

6°) Aquí está la variante:  Como al principio multiplicamos el trinomio por “6”, entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre  “6”

(6x-9)(6x+2) / 6   ;  como ninguno de los binomios es divisible entre “6” entonces descomponemos el “6” en dos factores (3 y 2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al otro. Así:  (6x-9) / 3    y  (6x+2) / 2 , y estos cocientes quedarían así:  (2x-3)(3x+1). que sería la Solución.

________________________________________

Ejemplo:

a) Factorar    20x² +7x -6

>> Multiplicando el trinomio por el coeficiente del 1° término (20):

20(20x² +7x -6) = 400x² +20(7x) -120, se ordena tomando en cuenta que 400x² = (20x)²  y  20(7x) = 7(20x),

quedaría así:   (20x)² +7(20x) -120

>> Se factoriza  (20x)² +7(20x) -120, como un Caso VI

Se encuentra dos factores binomios:  (20x +  )(20x-  )

Se buscan 2 #s cuya diferencia sea 7  y cuyo producto sea -120,

y estos son:  15 y -8, porque  15 -8 = 7   y  (15)(-8) = -120  –>

la Solución parcial sería :   (20x+15)(20x-8)

>> Aplicando la Solución   (20x+15)(20x-8) para el caso VII;

Como multiplicamos el trinomio original por 20, ahora dividimos la Solución por 20:
(20x+15)(20x-8)/20, 

como los binomios no son divisibles entre 20; –> descomponemos el 20 en 2 #s, tal que el 1° # divida a un factor binomio y el  2° # divida al otro factor:

y éstos son: 5 y 4 porque (20x+15) / 5 = (4x+3)  y  (20x-8) / 4 = (5x-2)

–> la Solución final es:  (4x+3)(5x-2) 

Bueno, pasemos a los problemas del Ejercicio 100

_________________________________________

Ejercicio 100 del Libro.

1) Factorar   2x² +3x -2

>> Multiplicando el trinomio por el coeficiente de su 1° término:

2(2x² +3x -2) = 4x² +2(3x) -4 = (2x)² +3(2x) -4

>> Factorando (2x)² +3(2x) -4 , como un Caso VI:

(2x+  )(2x- ) y buscando 2 #s  que son: 4  y  -1

porque  4-1 = 3  y  (4)(-1) = -4

–> la Solución parcial es:  (2x+4)(2x-1)

>> Aplicando la Solución parcial al Caso VII, se procede así:

Como multiplicamos el trinomio original por 2; ahora dividimos la solución entre 2: (2x+4)(2x-1) / 2

Como los dos binomios no son divisibles entre 2, –> se descompone el # 2 en dos #s que son:  2 y 1  porque (2x+4) / 2 = (x+2)    y   (2x-1) / 1  = (2x-1)

–> la solución final es :  (x+2)(2x-1)  ó  (2x-1)(x+2) 

_________________________________________

2) Factorar   3x² -5x -2

>> Multiplicando el trinomio por el coeficiente de su 1° término:

3(3x² -5x -2) = 9x² -3(5x) -6 = (3x)² -5(3x) -6

>> Factorando (3x)² -5(3x) -6 como un Caso VI:

(3x –  )(3x +  ) y buscando 2 #s  que son:  -6   y  +1  

porque -6 +1 = -5   y  (-6)(1) = -6

–> la Solución parcial es:  (3x-6)(3x+1)

>> Aplicando la Solución parcial al Caso VII, se procede así:

Como multiplicamos el trinomio original por 3; ahora dividimos la solución entre 3: (3x-6)(3x+1) /3

Como los dos binomios no son divisibles entre 3, –> se descompone el # 3 en dos #s  que son:  3  y  1 porque  (3x-6)  / 3 = (x-2)  y  (3x+1) / 1  = (3x+1)

–> la Solución final es:  (x-2)(3x+1)  ó  (3x+1)(x-2)

_________________________________________

3) Factorar   6x² +7x +2

>> Multiplicar el trinomio por el coeficiente de su 1° término:

6(6x² +7x +2) = 36x² +6(7x) +12 = (6x)² +7(6x) +12

>> Factorando (6x)² +7(6x) +12  como un Caso VI:

(6x+  )(6x+  )  y buscando 2 #s  que son :  4 y 3

porque 4 +3 = 7    y   (4)(3) = 12

–> la solución parcial es:  (6x+4)(6x+3)

>> Aplicando la Solución parcial al Caso VII :

Como multiplicamos el trinomio original por 6; ahora dividimos la solución entre 6: (6x+4)(6x+3)/ 6 

Como los dos binomios no son divisibles entre 6,  –>  se descompone el # 6 en dos #s que son : 2  y 3   porque (6x+4) / 2 = (3x+2)  y  (6x+3) / 3 = (2x+1)

–> la Solución final es: (3x+2)(2x+1) ó  (2x+1)(3x+2)

_________________________________________

4) Factorar    5x² +13x -6

>> Multiplicar el trinomio por el coeficiente de su 1° término:

5(5x² +13x -6) = 25x² +5(13x) -30 = (5x)² +13(5x) -30

>> Factorando (5x)² +13(5x) -30 como un Caso VI:

(5x+   )(5x-   )  y buscando 2 #s  que son:  15  y  -2

porque 15 -2 = 13   y    (15)(-2) = -30

–> la Solución parcial es:  (5x+15)(5x-2)

>> Aplicando la Solución parcial al Caso VII:

Como multiplicamos el trinomio original por 5; ahora dividimos la Solución entre 5: 

(5x+15)(5x-2)/ 5

Como los dos binomios no son divisibles entre 5, –> se descompone el # 5 en dos #s  que son: 5 y 1  porque  (5x+15) / 5  = (x+3)  y  (5x-2) / 1 = (5x-2)

–> la Solución final es : (x+3)(5x-2) ó (5x-2)(x+3)

__________________________________________

Trinomio de la forma x² ± bx ± c. Casos Especiales.

.              

Se procede de la misma manera que se explicó en el Ejercicio 98.

En estos problemas del Ejercicio 99, se presentarán algunas diferencias que serán explicadas.

Ejemplos:

a) Factorar  x⁴ -2x²-50 

Se encuentra la raíz cuadrada del primer término del trinomio:

√x⁴ = x²

Se forman dos factores binomios, cuyo primer término será x²:

(x²      )(x²   );

el signo que sigue al 1º término del 1º binomio es el mismo del 2º término del trinomio. y el signo que sigue al 1º término del 2º binomio es el producto de los signos del 2º y 3º términos del trinomio:

(x²-  )(x²+  )

Luego se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del 2º término del trinomio y cuyo producto sea igual al coeficiente del 3º término.

En este caso son -10  y  5;  porque -10+5= -5  y  (-10)(5)=-50

(x²-10)(x²+5)     Solución.

_____________________________

b) Factorar  x⁶ +7x³ -44

√x⁶ = x³

Formando los dos factores binomios:

(x³+   )(x³-   )

Buscando dos números que sumen (7) y que su producto sea (-44)

Estos son 11 y -4,  porque 11-4=7  y  (11)(-4)=-44

(x³+11)(x³-4)  Solución.

______________________________

c)  Factorar:  a²b² -ab -42

√a²b² = ab

Formando los dos factores binomios:

(ab-   )(ab+   )

Buscando dos números que sumen (-1)  y que su producto sea (-42):

Son -7  y  6: porque -7+6=-1   y    (-7)(6)=-42:

(ab-7)(ab+6)  Solución.

____________________________

d) Factorar  (5x)² -9(5x) +8

√(5x)² = 5x

Formando factores binomios:

(5x-   )(5x-   )

Buscando dos números que sumen (-9) y su producto sea (8):

Son -8  y -1; porque -8-1=-9  y  (-8)(-1)=8

(5x-8)(5x-1)  Solución.
_____________________________

e)  Factorar   x²-5ax-36a²

√x² = x

Formando factores binomios:

(x-   )(x+   )

Buscando dos números que sumen (-5a) y su producto sea (-36a²):

Son -9a  y 4a;  porque -9a+4a=-5a  y  (-9a)(4a)= -36a²

(x-9a)(x+4a)  Solución.

______________________________

f) Factorar   (a+b)²-12(a+b)+20

√(a+b)² = (a+b)

Formando factores binomios:

[(a+b)-   ][(a+b)-   ]

Buscando dos números que sumen (-12) y que su producto sea (20):

Son -10  y -2;  porque -10-2=-12   y   (-10)(-2)=20

[(a+b)-10][(a+b)-2]

(a+b-10)(a+b-2)  Solución.

_____________________________

g) Factorar  28+3x-x²

-x²+3x+28  (ordenado)

x²-3x-28   (Se cambió signo a todos los términos del trinomio para volver  positivo el término cuadrático)

√x² = x

formando factores binomios:

(x-   )(x+   )

Buscando dos números que sumen (-3) y que su producto sea (-28):

Son -7  y  4 ; porque  -7+4=-3   y  (-7)(4)=-28

-(x-7)(x+4)   (Como el trinomio original ordenado empezaba con signo negativo, esta descomposición también debe empezar con signo negativo.

Para eliminar el signo negativo que precede a la descomposición, debe cambiársele signo a los términos de uno de los factores; lo haremos con (x-7).

(-x+7)(x+4)   Lo ordenamos y quedaría así:

(7-x)(x+4)   Solución.

_____________________________

h) Factorar  30+y²-y⁴

-y⁴+y²+30  (ordenado)

y²-y²-30   (volviendo positivo el término cuadrático)

√y⁴ = y²

Formando factores binomios:

(y²-   )(y²+   )

Buscando dos números que sumen (-1) y que su producto sea (-30):

Son -6  y 5 ; porque  -6+5=-1   y   (-6)(5)=-30

(y²-6)(y²+5)

-(y²-6)(y²+5)

(6-y²)(y²+5)   Solución.

___________________________________________

Ejercicio 99 del Libro.

Factorar las siguientes expresisones:

1)  x⁴+5x²+4

Si  √x⁴ = x²

->  (x²+4)(x²+1)   Solución.
___________________________________________

2)  x⁶-6x³-7

Si √x⁶ = x³

-> (x³-7)(x³+1)   Solución.
___________________________________________

3) x⁸-2x⁴-80

Si  √x⁸ = x⁴

-> (x⁴-10)(x⁴+8)   Solución.
___________________________________________

4)  x²y²+xy-12

Si  √x²y² = xy

->  (xy+4)(xy-3)   Solución.
___________________________________________

5)  (4x)²-2(4x)-15

Si  √(4x)² = 4x

-> (4x-5)(4x+3)   Solución.
_________________________________________

6)  (5x)²+13(5x)+42

Si  √(5x)² = 5x

-> (5x+7)(5x+6)   Solución.
_________________________________________

7)  x²+2ax-15a²

Si  √x² = x

-> (x+5a)(x-3a)   Solución.
_________________________________________

8)  a²-4ab-21b²

En este caso la incógnita es la variable porque forma parte del término cuadrático.
Si √a² = a

-> (a-7b)(a+3b)   Solución.
_________________________________________

9)  (x-y)²+2(x-y)-24

Si  (x-y)² = (x-y)

-> [(x-y)+6][(x-y)-4]

(x-y+6)(x-y-4)   Solución.
_________________________________________

10)  5+4x-x²

-x²+4x+5   (ordenado)

x²-4x-5  (con signos cambiados)

Si  √x² = x

->  (x-5)(x+1)

-(x-5)(x+1)   (Agregando signo negativo a la descomposición de factores)

-> Quitando el signo negativo, pero cambiando los signos a los términos de uno de los factores, en este caso a (x-5)

(5-x)(x+1)  o  (x+1)(5-x)   Solución.
________________________________________

30)  x⁴ +5abx -36a²b²

Si  √x⁴ = x²

->  (x²+9ab)(x²-4ab)   Solución.
________________________________________

Trinomio de la forma x² ± bx ± c. Caso VI

.                      

El Trinomio de la forma x² ± bx ± c, debe cumplir las siguientes condiciones:

1) El coeficiente del 1° término debe ser 1.

2) El 1° término debe ser una letra cualquiera elevada al cuadrado.

3) El 2° término tiene la misma letra que el 1° con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

4) El 3° término es una cantidad cualquiera positiva o negativa, sin letra como el 1° y el 2° término.

——————————————————————————————–

Procedimiento para factorar   x² ± bx ± c

1°) Se descompone el trinomio en 2 factores binomios, cuyo 1° término en ambos factores, es la raíz cuadrada del primer término del trinomio. (x   )(x   )

2°) En el 1° factor después de la letra se escribe el signo del 2° término del trinomio ( x+  ), y en el 2° factor después de la letra se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2° término del trinomio por el signo del 3° término del trinomio.  (+)(+) = + –> (x+  )

3°) Si los factores binomios tienen el mismo signo después de la letra (x+  )(x+  ) se buscan 2 números cuya suma sea igual al valor absoluto del coeficiente del 2° término del trinomio; y cuyo producto sea igual al valor absoluto del coeficiente del 3° término del trinomio.  Y estos 2 números se colocan como 2° términos dentro de los factores binomios.

4°) Si los 2 factores binomios tienen signos distintos después de la letra  (x+  )(x-  )   ó (x-  )(x+  ) se buscan 2 números cuya diferencia sea el valor absoluto del coeficientes del 2° término del trinomio; y cuyo producto sea igual al valor absoluto del coeficiente del 3°término del trinomio.   El mayor de estos 2 números es el 2° término del primer factor binomio y el menor es el 2° término del 2° factor binomio.

——————————————————————————————-

Ejemplos:

a) Factorar x² +5x +6

1°) Descomponer el trinomio en dos factores binomios:

–> raíz cuadrada de x² = x  –>  (x   )(x   )

2°) Signos de los binomios:

.     1° binomio :  signo del 2° término del trinomio es “+”

.     2° binomio : producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio (+)(+) = “+” –-> (x+  )(x+  )

3°) Como los signos de los binomios son iguales:

.     números buscados: 3 y 2 porque :

.     3+2 = 5   que es igual al 2° término del trinomio.

.     (3)(2) = 6  que es igual al 3° término del trinomio.   –>  (x+3)(x+2),  Solución

_________________________

b) Factorar   x² -7x +12

1°) Descomponer el trinomio en dos factores binomios:

–> raíz cuadrada de x² = x –> (x   )(x   )

2°) Signos de los binomios:

.     1° binomio : signo del 2° término del trinomio es “-“

.     2° binomio : producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio (-)(+) = “-“ –> (x-  )(x-  )

3°) Como los signos de los binomios son iguales:

.      números buscados : 4 y 3 porque:

.      -4 -3 = -7 que es igual al 2° término del trinomio.

.      (-4)(-3) = 12  que es igual al 3° término del trinomio  –> (x-4  )(x-3  ), Solución.

________________________

c) Factorar  x² +2x -15

1°) Descomponer el trinomio en dos factores binomios:

–> raíz cuadrada de x² = x  –> (x   )(x   )

2°) Signos de los binomios:

.     1° binomio: signo del 2° término del trinomio es : “+”

.     2° binomio: producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio (+)(-) = ” -” –> (x +)(x -)

3°) Como los signos de los binomios no son iguales:

.     números buscados : 5 y -3 porque:

.     5 -3 = 2 que es igual al 2° término del trinomio.

.     (5)(-3) = -15  que es igual al 3° término del trinomio  –> (x +5)(x -3) , Solución.

__________________________

d) Factorar    x² -5x -14

1°) Descomponer el trinomio en 2 factores binomios:

–> raíz cuadrada de x² = x –>  (x   )(x   )

2°) Signos de los binomios:

.     1° binomio: signo del 2° término del trinomio es :  “-“

.     2° binomio: producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio (-)(-) = ” +”  –> (x – )(x +)

3°) Como los signos de los binomios son iguales:

.      Números buscados : -7 y 2  porque:

.     -7 +2 = -5   que es igual al 2° término del trinomio.

.     (-7)(2) = -14   que es igual al 3° término del trinomio.  –> (x -7)(x +2), Solución.

_________________________________________

EJERCICIO 98.

1) Factorar x² +7x +10

Raíz cuadrada de x² = x

El signo del 2°término del trinomio es  “+”

El producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio es (+ )(+ ) = “+”

Los números buscados : 5 y 2 porque

5 +2 = 7   y  (5)(2) = 10  –>

x² +7x +10 =  (x +5)(x +2), que es la Solución.

_________________________________________

2) Factorar   x² -5x +6

Raíz cuadrada de x² = x

El signo del 2° término del trinomio es “-“

El producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio es (- )(+ ) = “-“

Los números buscados : -3  y -2   porque

-3  -2 = -5   y  (-3)(-2) = 6  –>

x² -5x +6  =  (x -3)(x -2),  que es la Solución.

_________________________________________

3) Factorar   x² +3x -10

Raíz cuadrada de x² = x

El signo del 2° término del trinomio es  ” + “

El producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio es (+)(-)= ” – “

Los números buscados : 5  y  -2  porque

5-2 = 3   y   (5)(-2) = –10  –>

x² +3x -10  =  (x+5)(x-2), que es la Solución.

________________________________________

8) Factorar     x² -6 -x  (ordenado es = x² -x -6)

Raíz cuadrada de x² = x

Signo del 2° término del trinomio es   ” – “

Producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio : (-)(-) = ” + “

Números buscados: -3  y  2   porque

-3  +2 = -1x = -x    y   (-3)(2) = -6  –>

x² -x -6  =  (x-3)(x+2), que es la Solución.

________________________________________

22) Factorar  28 +a² -11a  (ordenado es) = a² -11a +28

Raíz cuadrada de a² = a

Signo del 2° término del trinomio es  ” –  “

Producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio: (-)(+) = ” – ”

Números buscados:  -7   y  -4   porque

-7 -4 = -11    y    (-7)(-4) = 28   –>

a² -11a +28  = (a-7)(a-4) , que es la Solución.

________________________________________

46)  Factorar   n² +43n +432

Raíz cuadrada de n² = n

Signo del 2° término del trinomio es  ” + “

Producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio: (+)(+) = ” + “

Números buscados:  27  y  16   porque

27 + 16 = 43    y    (27)(16) = 432  –>

n² +43n +432  =  (n+27)(+16) , que es la Solución.

Nota: Para buscar los números, cuando las coeficientes del 2° y 3° términos del trinomio, son más grandes, se puede hacer descomponiendo el 3° término del trinomio en sus factores primos, así:

432 | 2

216 | 2

108 | 2

54   | 2

27   | 3

9     | 3

3     | 3

1 —|       –> (2^4)(3^3) = (16)(27) = 432   y también 16 +27 = 43

________________________________________

48)  Factorar  m² -8m -1008

Raíz cuadrada de m² = m

Signo del 2° término del trinomio es  ” – “

Producto de los signos del 2° y 3° término del trinomio es: (-)(-) = ” + “

Números buscados:  -36    y  28   porque

-36 +28 = -8     y     (-36)(28) = -1008  –>

m² -8m -1008  =  (m-36)(m+28) , que es la Solución.

Nota:  En este caso también para encontrar los números buscados, se descompone el 3° término del trinomio en sus factores primos; como se explicó en el problema 46.

________________________________________