Diferencia de cuadrados. Caso IV. Caso especial.

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Regla para factorar una diferencia de cuadrados; cuando uno o ambos cuadrados son compuestos:

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se forman dos factores: la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia de dichas raíces.

Ejemplo:  (a+b)² - c² = (a +b+c)(a+b -c)

Primero se extraen la raíces cuadradas y luego se forman los factores.

Procedimiento para factorar una diferencia de cuadrados perfectos, cuando uno o ambos cuadrados son compuestos:

>> Factorar (a+b)² - c².

a) Raíz cuadrada de (a+b)² = (a+b)         Raíz cuadrada de c² = c

b) Se forma un factor con la suma de las raíces:  (a+b)+c , y otro factor con la diferencia de dichas raíces: (a+b) - c

o sea [(a+b) +c][(a+b) - c] = (a+b+c)(a+b-c) y esta es la Solución.

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Ejercicio 94 del Libro.
Descomponer en factores y simplificar, si es necesario:

1) (x+y)² -z²

Raíz cuadrada de (x+y)² = (x+y)    ;   raíz cuadrada de z² = z

Suma de las raíces : (x+y) +z  ;   Diferencia de las raíces (x+y) -z

--> factorando : [(x+y)+z][(x+y)- z]  = (x+y+z)(x+y-z) <-- Solución.

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2) 4 - (a+1)²  

Raíz cuadrada de 4 = 2      ;  raíz cuadrada de (a+1)² = (a+1)

Suma de las raíces: 2+(a+1)    ;    Diferencia de las raíces 2 -(a+1)

--> factorando:  [2+(a+1)][2 -(a+1)] = (2+a+1)(2-a-1) =

= (3+a)(1-a) , o bien es = (a+3)(1-a)  Solución

Nota: En los resultados se pueden poner las letras primero y luego los números, siempre y cuando no quede un negativo de primero.

En este caso se cambio el primer factor (3+a) por (a+3);  pero el segundo factor no se cambio porque la letra pasaría con su mismo signo negativo.

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3) 9 -(m+n)²  

Raíz cuadrada de 9 = 3     ;      raíz cuadrada de (m+n)² = (m+n)

Suma de las raíces: 3 +(m+n)     ;   Diferencia de las raíces 3 -(m+n)

--> factorando:  [3 +(m+n)][3 -(m+n)] = (3+m+n)(3-m-n) Solución 

Recuerda:  cuando se sacan valores de un paréntesis que va precedido por el signo menos, se colocan con el signo cambiado:  3 -(m+n) = (3-m-n)

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4) (m-n)²-16  

Raíz cuadrada de (m-n)² = (m-n)     ;    raíz cuadrada de 16 = 4

Suma de las raíces: (m-n) +4    ;   diferencia de las raíces (m -n) -4

Factorando:  [(m-n +4)][(m-n -4)] = (m-n+4)(m-n-4)  Solución

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5) (x-y)² -4z² 

Raíz cuadrada de (x-y)² = (x-y)    ;    raíz cuadrada de 4z² = 2z

Suma de las raíces: (x-y) +2z   ;   diferencia de las raíces: (x-y) -2z

Factorando: [(x-y) +2z][(x-y) -2z] = (x-y+2z)(x-y-2z)  Solución

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6) (a+2b)² -1 

Raíz cuadrada de (a+2b)² = (a+2b)   ;   raíz cuadrada de 1 = 1

Suma de las raíces: (a+2b )+1   ;   diferencia de las raíces (a+2b) -1

Factorando: [(a+2b) +1][(a+2b) -1] = (a+2b+1)(a+2b-1)  Solución

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9) (a+b)² -(c+d)²  

Raíz cuadrada de (a+b)² = (a+b)   ;   raíz cuadrada de (c+d)² = (c+d)

Suma de las raíces: (a+b)+(c+d)    ;   diferencia de las raíces (a+b)-(c+d)

Factorando: [(a+b)+(c+d)][(a+b) -(c+d)] =

=  (a+b+c+d)(a+b-c-d)   Solución

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10) (a-b)² -(c-d)² 

Raíz cuadrada de (a-b)² = (a-b)  ;   raíz cuadrada de (c-d)²= (c-d)

Suma de las raíces: (a-b)+(c-d)  ;  diferencia de las raíces (a-b) -(c-d)

Factorando: [(a-b)+(c-d)][(a-b) -(c-d)] =

=  (a-b+c-d)(a-b-c+d)  Solución
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11) (x+1)² - 16x²

> Extrayendo las raíces cuadradas del minuendo y del sustraendo:

Raíz cuadrada de (x+1)²  =  (x+1)

Raíz cuadrada de 16x² = 4x

> Formando dos factores: uno con la suma de las raíces encontradas y otro con la diferencia:

= [(x+1)+4x][(x+1)-4x]

> Quitando los paréntesis y simplificando los factores:

= (x+1+4x)(x+1-4x)

= (5x+1)(1-3x)    Solución.

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