Procedimiento.
-
Se determina dos elementos o variables comunes en signos, y esas
variables (a+b), formarán el minuendo de la diferencia.
-
La tercera variable (c), es la que tiene signos distintos en los
factores y es la que constituye el sustraendo de la diferencia.
-
Luego se forman dos factores; uno de suma y otro de
diferencia.
-
En el primer factor (suma) se colocarán las variables asociadas más
la variable que quedó sola [(a+b)+c]. En el segundo factor
(diferencia) se colocarán las variables asociadas menos la variable
que quedó sola [(a+b)-c].
-
Al multiplicar estos nuevos factores quedará el minuendo elevado al
cuadrado menos el sustraendo elevado al cuadrado. Ej. (a+b)^2 - c^2
-
Pero como hay una operación indicada entre paréntesis, (a+b)^2,
es necesario resolver primero el minuendo, aplicando el caso del
ejercicio 62 o 63. Y al resultado, a^2+2ab+b^2, se le
agrega la variable que queda sola elevada al cuadrado, -c^2;
y la solución final sería a^2+2ab+b^2 -c^2.
______________________________________
Ejercicio 65 del Libro.
Ejercicio 65 del Libro.
1)
(x+y+z)(x+y-z)
= [(x+y)+z][(x+y)-z]
= (x+y)^2 –z^2
= [(x+y)+z][(x+y)-z]
= (x+y)^2 –z^2
= x^2
+2xy +y^2 –z^2
Se forman dos
factores asociando en cada uno “x+y” así: [(x+y) + z] y
[(x+y)-z]
Y como (x+y)(x+y)
= (x+y)^2 y (+z)(-z) = - z^2, resultaría (x+y)^2 – z^2
;
pero a este
resultado hay que resolver el cuadrado de la suma de (x+y)^2 ,
que sería igual
a x^2 +2xy +y^2 , agregando a esto la otra variable -
z^2;
La solución
sería x^2+2xy+y^2 -z^2
---------------------------------------------------------------------------------
4)
(m+n+1)(m+n-1) = [(m+n) +1][(m+n) -1] = (m+n)2 -12
=
= m^2
+2mn +n^2 –(1) = m^2
+2mn +n^2 -1
Asociando “m+n”
: [(m+n)+1][(m+n)-1]
-->esto es
igual (m+n)^2 –(1)^2
--> (m+n)^2 =
m^2 +2mn -n^2 ; – (1)^2 = - 1
La solución
sería m^2 +2mn +n^2 -1
---------------------------------------------------------------------------------
5)
(m-n-1)(m-n+1) = [(m-n) -1][(m-n) +1] = (m-n)^2
-1^2 =
= m^2
-2mn +n^2 -1
Asociando “ m-1
“ : [(m-n)-1][(m-n)+1]
--> Esto es
igual a (m-n)^2 –(1)^2
--> (m-n)^2 =
m^2 -2mn +n^2 ; - (1)^2 = - 1
La solución
sería m^2 -2mn +n^2 – 1
--------------------------------------------------------------------------------
6)
(x+y-2)(x-y+2) = [x +(y-2)][x -(y-2)] = x^2
–(y-2)^2 =
= x^2
–{y^2 –[2(y)(2)] +2^2} = x^2
–(y^2-4y+4) = x^2
–y^2 +4y -4
Asociando "y-2"
: [x+(y-2)][x-(y-2)]
..> Esto es
igual a x^2 - (y-2)^2
..> x^2 =
x^2
--> - (y-2)^2 = -(y^2 - [2(y)(2)]+2^2 = -(y^2 -4y+4) = -y^2+4y-4
--> - (y-2)^2 = -(y^2 - [2(y)(2)]+2^2 = -(y^2 -4y+4) = -y^2+4y-4
La solución
sería x^2 -y^2+4y -4
En este caso al
formar los factores de suma y de diferencia; se toma el primer
término de los polinomios como minuendo de cada uno de los
nuevos factores (x) ; y se asocian el segundo y tercer término
para formar el sustraendo (y-2); pero al
asociar el sustraendo en el factor de diferencia
[x-(y+2)] ; los términos asociados se colocan dentro del
paréntesis con diferente signo.
--------------------------------------------------------------------------------
8)
(a^2-2a+3)(a^2+2a+3) = a^4+2a^2+9
Asociando "a^2"
y "3" : (a^2+3) --> [(a^2+3)-2a][(a^2+3) +2a]
--> Esto es
igual a : (a^2+3)^2 - (2a)^2
--> Operando
los cuadrados : = [(a^2)2 + 2(a^2)(3) +3^2] - 4a^2 =
-->
simplificando : = (a^4+6a^2+9) - 4a^2 = a^4 +6a^2
+9 -4a^2 =
--> Operando
términos comunes : = a^4 +2a^2 +9 <-- Solución.
---------------------------------------------------------------------------------
9)
(m^2-m-1)(m^2+m-1) =
Asociando ¨m^2"
y ¨-1¨ : (m^2 -1) --> [(m^2 -1) -m][(m^2 -1) +m]
--> Esto es
igual a: (m^2-1)^2 - (m)^2
--> Operando
cuadrados: = [(m^2)^2 -2(m^2)(1) +(-1)^2] - m^2
-->
Simplificando: = (m^4 -2m^2 +1) -m^2 = m^4 -2m^2 +1
-m^2 =
--> Operando
términos comunes = m^4 -3m^2 +1 <-- Solución.
---------------------------------------------------------------------------------
10)
(2a-b-c)(2a-b+c) =
[(2a-b)-c][(2a-b)+c] =(2a-b)^2
–c^2
=
= (2a)^2
-2(2a)(b) +(b)^2 –c^2 = 4a^2
-4ab +b^2 –c^2
Asociando "2a-b"
: [(2a-b)-c][(2a-b)+c]
--> Esto es =
(2a-b)^2-c^2
Resolviendo lo
del paréntesis : (2a)^2-2(2a)(b)+b^2 = 4a^4-4ab+b^2
Al resultado del
paréntesis se le agrega el 3° término al cuadrado c^2 :
así 4a^4
-4ab +b^2 -c^2 es la Solución
--------------------------------------------------------------------------------
12)
(x^2-5x+6)(x^2+5x-6)
= [x^2–(5x-6)][x^2+(5x-6) =
=
(x^2)^2-(5x-6)^2 = x^4–[(5x)^2
-2(5x)(6) +6^2] =
= x^4
-25x^2 +60x -36
Asociando ""5x-6"
: [x^2-(5x-6)][x^2-(5x-6)]= (x^2)^2-(5x-6)^2
Minuendo :
(x^2)^2 = x^4 ;
Sustraendo :
-(5x-6)^2 = -(5x)^2-2(5x)(6)+6^2] = -(25x^2 -60x+36)
La solución
sería : x^4 -25x^2 +60x-36
Toma en cuenta
que para resolver el sustraendo, este viene entre paréntesis
antecedido de signo negativo " -( ) ", por lo que los
términos se sacan con signo cambiado hacia la solución.
--------------------------------------------------------------------------------
- En el
caso 1: (x+y)^2 y en el caso 4 : (m+n)^2 ; se aplicó el
procedimiento para el cuadrado de la suma de dos números :
(Ejercicio 62)
- En
el caso 5 : (m-n)^2 ; en el caso 6 : (y-2)^2; el caso 10
: (2a-b)^2 ; y en el caso 12 : (5x-6)^2, (se aplicó el
procedimiento para el cuadrado de la diferencia de dos números:
(Ejercicio 63)
----------------------------------------------------------------------------------
