Simplificación de cantidades imaginarias puras.

.                 ⁿ√-a     Ej.: √-9   

Cantidades Imaginarias.

Son las raíces indicadas pares de cantidades imaginarias.

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Unidad Imaginaria.
Es la que se escribe como la raíz cuadrada de (-1) : √-1 y se representa con la letra ( i )

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Imaginarias Puras.
Son todas las expresiones de la forma ⁿ√-a donde “n” es par y “-a” es una cantidad real negativa, es una imaginaria pura. Ej.: √-2 , √-5 son imaginarias puras.

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Potencias de la unidad imaginaria √-1
(√-1)¹ = √-1
(√-1)² = -1
(√-1)³ = (√-1)² · (√-1) = -1 · √-1 = -√-1

(√-1)⁴ = (√-1)² · (√-1)² = -1 · -1 = 1

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

(√-1)⁵ = (√-1)⁴ · (√-1) = 1 · √-1 = √-1

(√-1)⁶ = (√-1)⁴ · (√-1)² = 1 · -1 = -1

   ┇

Nota: Puede observarse que las primeras cuatro potencias son iguales a √-1 , -1 , - √-1 y 1; las siguientes cuatro llevan la misma secuencia de resultado y así las otras cuatro siguientes y las sucesivas.

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Simplificación de cantidades imaginarias puras.

Regla. Toda cantidad imaginaria puede reducirse a la forma de una cantidad real multiplicada por la unidad imaginaria.

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Ejemplos.

Simplificar:

a) √-4

= √[4(-1)]
= (√2²)(√-1)
= 2√-1
= 2i Solución.

b) √-3
= √[3(-1)]
= (√3)(√-1)
= i√3 Solución.

c) √-8
= √[8(-1)]
= (√8)(√-1)
= (√2² · 2)(√-1)
= (2√2)(√-1)
= 2√2i Solución.

Nota personal: En estos casos los corchetes [ ] indican que todo está dentro de la cantidad subradical.

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Ejercicio 253.
Reducir a la forma de una cantidad real multiplicada por √-1:

1) √-a²
= √[(a²)(-1)]
= (√a²) (√-1)
= a√-1
= ai Solución.

3) 2√-9

= 2√[(9)(-1)]
= (2√3²) (√-1)

= 2(3)√-1

= 6i Solución.

5) √-6

= √[(6)(-1)]

= (√6)(√-1)

= √6i

= i√6 Solución.

11) √-¹/₁₆

= √[(¹/₁₆)(-1)]

= (√¹/₄²)(√-1)

= ¹/₄i Solución.

Resolución de ecuaciones con radicales que se reducen a primer grado.

.                       √(x+10) - √(x+19) = -1
Procedimiento:

1) Dejar o aislar el radical en un solo miembro de la ecuación. 

2) Elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación para eliminar el signo radical.

3) Simplificar los resultados.

4) Cuando existen dos o más radicales se procede como en los tres pasos anteriores, hasta que no quede ningún radical.

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Ejemplos:

a) Resolver la ecuación √‾(4x²-15) -2x = -1

→ √‾(4x²-15) -2x = -1

√‾(4x²-a5) = 2x -1 (Se dejó sólo el radical de la derecha)
(√‾4x²-15)² = (2x -1)² ( Se elevó al cuadrado ambos términos para eliminar el signo radical)
4x²-15 = 4x² -4x +1

-15 = -4x+1

4x = 1+15

x = 16/4 = 4 Solución.

b) Resolver la ecuación √(x+4) + √(x-1) = 5

→ √(x+4) + √(x-1) = 5

√(x+4) = 5 -√(x-1)      ( se aísla o deja solo el radical √(x+4)
(√x+4)² = (5-√(x-1) )²     ( Se eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuación)
x+4 = 25 -10√x-1 +x-1       (se resolvió (5 +√(x-1) )² , como Cuadrado de la Suma de 2 Cantidades)
x -x +4 -25 +1 = -10√x-1
-20 = -10√x-1        (se aísla el radical √x-1)
20 = 10√x-1
20/10 = 10√x-1/10
2 = √x-1
(2)² = (√x-1)²     (Se eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuación)

4 = x-1

4 +1 = x

x = 5 Solución.
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Ejercicio 251.

Resolver las ecuaciones:

1) √x-8 = 2

> √(x-8) = 2

(√x-8)² = (2)²

x-8 = 4

x = 4+8

x = 12 Solución.

2) 5 - √3x+1 = 0

>  - √(3x+1) = -5

√3x+1 = 5
(√3x+1)² = (5)²

3x+1 = 25

3x = 25-1

x = 24/3

x = 8 Solución.

3) 7 + ³√5x-2 = 9

> 7 + ³√(5x-2) = 9

³√(5x-2) = 9 -7

(³√5x-2)³ = (2)³

5x -2 = 8

x = 8+2 /5

x = 2 Solución.

4) √9x²-5 -3x = -1

> √(9x²-5) -3x = -1

√(9x²-5) = 3x -1

(√9x²-5)² = (3x -1)²

9x² -5 = 9x² -6x +1
-5 = -6x+1

6x = 1+5

x = 6/6

x = 1 Solución.

5) √x²-2x+1 = 9 -x

> √(x²-2x+1) = 9 -x

√(x-1)² = 9 -x       ( En este caso √(x²-2x+1) por ser un trinomio cuadrado perfecto, es igual a
                              (√x-1)². Por lo que no es necesario elevar al cuadrado el otro miembro)
x -1 = 9 - x

x +x = 9+1

2x = 10  

x = 10/2
x = 5 Solución.

8) √3x-5 +√3x-14 = 9

> √(3x-5) +√(3x-14) = 9

√(3x-5) = 9 -√(3x-14) ( Aislando √(3x-5) )

(√3x-5)² = (9 -√(3x-14))² (elevando al cuadrado ambos términos de la ecuación)

3x -5 = 81 -18√(3x-14) +(√(3x-14))²    (resolviendo (9 -√(3x-14))² como diferencia de cuadrados)

3x -5 = 81 -18√(3x-14) + 3x -14    (simplificando)

3x -3x -5 -81 +14 = -18√(3x-14)     (Se aisló el término con radical)

-72 = -18√(3x-14)

(-72)² = (-18√(3x-14))²           (elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación)

5184 = 324(3x-14)                 (Simplificando)

5184 = 972x -4536

5184+4536 = 972x

9720 = 972x

9720/972 = x

10 = x

x= 10 Solución.

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Racionalización del denominador binomio de una fracción.

.                       5 +2√3 / 4 -√3 = 2 +√3

Caso II. Racionalización del denominador binomio de una fracción.

Regla.

Se multiplican ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador y se simplifica el resultado.

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Expresiones Conjugadas. Son aquellas expresiones que difieren de otra expresión solamente en el signo que une sus términos. Ejemplo: 3√2 + √5 su conjugada es 3√2 - √5.

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Ejemplo de racionalización del denominador binomio de una fracción:

a) Racionalizar el denominador de 4 -√2 / 2 +5√2

→ 4 -√2 / 2 +5√2

= (4 -√2)(2 -5√2)/(2 +5√2)(2 -5√2) (Multiplicando por el conjugado del denominador)

= 8 -20√2 -2√2 +5(√2)² / 4 -(5√2)² ( Operando y simplificando)

= 8 -22√2 +5(2) / 4 -25(2)

= 8 – 22√2 +10 / 4-50

= 18 -22√2 / -46

= 9 -11√2 / -23

= -9 +11√2 /23 ( Como -23 es negativo le cambiamos signo (23) y por tanto al numerador también.)

= 11√2 -9 /23 (Cambiamos el orden de los términos en el numerador para dejar primero el positivo)

→ 11√2 -9 /23 es la Solución.

b) Racionalizar el denominador de √5 +2√7 / 4√5 -3√7

→ √5 +2√7 / 4√5 -3√7

= (√5 +2√7)(4√5 +3√7) / (4√5 -3√7)(4√5 +3√7)

= 4(√5)² +11√35 +6(√7)² / 16(√5)² -9(√7)²

= 4(5) +11√35 +6(7) / 16(5) -9(7)

= 20 +11√35 +42 / 80 -63

= 62+11√35 / 17 Solución.

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Ejercicio 248.

Racionalizar el denominador de:

1) 3 -√2 / 1 +√2

→ 3 -√2 / 1 +√2

= (3-√2)(1 -√2) / (1 +√2)(1 -√2)

= 3 -3√2 -√2 +(-√2)² / 1 -√2 +√2 -(√2)²

= 3 -4√2 +2 / 1 -2

= 5 -4√2 / -1

= -5 +4√2 / 1

= 4√2 -5 Solución.

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3) √2 - √5 / √2 + √5

→ √2 - √5 / √2 + √5

= (√2 - √5)(√2 - √5) / (√2 + √5)(√2 - √5)

= (√2)² -√10 -√10 +(√5)² / (√2)² -√10 +√10 -(√5)²

= 2 -2√10 +5 / 2-5

= 7 -2√10 / -3

= -7+2√10 /3

= 2√10 -7 /3 Solución.

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5) √2 -3√5 / 2√2 + √5

→ √2 -3√5 / 2√2 + √5

= (√2 -3√5)(2√2 - √5) / (2√2 + √5)(2√2 - √5)

= 2(√2)² -√10 -6√10 +3(√5)² / (2√2)² -2√10 + 2√10 -(√5)²

= 2(2) -7√10 +3(5) / 4(2) -5

= 4 -7√10 +15 / 8 -5

= 19 -7√10 / 3 Solución.

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7) 3√2 / 7√2 -6√3

→ 3√2 / 7√2 -6√3

= (3√2)(7√2 + 6√3) / (7√2 -6√3)(7√2 + 6√3)

= 21(√2)² + 18√6 / (7√2)² +42√6 – 42√6 -(6√3)²

= 21(2) + 18√6 / 49(2) -36(3)
= 42 + 18√6 / 98 -108
= 42 + 18√6 / -10
= 21 + 9√6 / -5
= -21 -9√6 / 5
= -9√6 -21 /5
= ₋ 9√6 +21 / 5 Solución.

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Racionalizar el denominador monomio de una fracción.

.                              5/√2 = ⁵/₂ √2

Racionalizar el denominador de una fracción es convertir dicho denominador irracional (con radical) en un denominador racional (sin radical).

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Caso I. Racionalización del denominador monomio de una fracción.

Regla.

Se multiplican los dos términos de la fracción por el radical, del mismo índice que el denominador, que multiplicado por éste de como producto una cantidad racional.

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Ejemplos:

a) Racionalizar el denominador de 3/√2x

→ 3/√2x

= (3)(√2x)/(√2x)(√2x)

= 3√2x / √2²x²

= 3√2x / 2x

= 3/2x √2x Solución.

b) Racionalizar el denominador de 2/³√9a

→ 2 / ³√9a = 2 / ³√3²a

> (Se cambia el radical que va a multiplicar ³√3²a por ³√3a², con el fin de que el producto de los exponentes en el denominador, sean iguales al índice de la raíz; para poder eliminar el signo radical)

(2)(³√3a²)/(³√3²a)(³√3a²)

= 2 ³√3²a / ³√3³a³

= 2 ³√3²a / 3a

= 2/3a ³√3²a Solución.

c) Racionalizar el denominador de 5/3 ⁴√2x²

→ 5/3 ⁴√2x²

(Se cambia el radical que va a multiplicar ⁴√2x² por ⁴√2³x², con el fin de que el producto de los exponentes en el denominador, sean iguales al índice de la raíz; para poder eliminar el signo radical)

= (5)⁴√2³x² / 3 ⁴√(2x²)(⁴√2³x²)

= 5 ⁴√8x² / 3 ⁴√2⁴x⁴

= 5 ⁴√8x² / 3(2)(x)

= 5 ⁴√8x² / 6x

= 5/6x ⁴√8x² Solución.

Nota: La cantidad que se determine debe multiplicarse por el numerador y el denominador de la fracción original.

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Ejercicio 247.

Racionalizar el denominador de:

1) 1/√3

→ 1/√3

= 1(√3) / (√3)(√3)

= √3 / √3²

= √3 / 3

= 1/3 √3 Solución.

5) 5/³√4a²

→ 5/³√4a²

= 5(³√2a)/(³√4a²)(³√2a)

= 5 ³√2a / ³√8a³

= 5 ³√2a / ³√2³a³

= 5 ³√2a / 2a

= 5/2a ³√2a Solución.

7) 3/ ⁴√9a

→ 3/ ⁴√9a (⁴√9a es igual ⁴√3²a)

= 3(⁴√3²a³) / (⁴√3²a)(⁴√3²a³)

= 3 ⁴√3²a³ / ⁴√3⁴a⁴

= 3 ⁴√3²a³ / 3a

= 3/3a ⁴√3²a³

= 1/a ⁴√9a³ Solución.

10) 1/ ⁵√8a⁴

→ 1/ ⁵√8a⁴

= 1/ ⁵√2³a⁴

= 1(⁵√2²a)/ (⁵√2³a⁴)(⁵√2²a)

= ⁵√2²a / ⁵√2⁵a⁵

= ⁵√2²a / 2a

= 1/2a ⁵√2²a

= 1/2a ⁵√4a Solución.

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