Multiplicación de radicales de distinto índice.

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Regla.

Se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se multiplican como radicales del mismo índice.

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Procedimiento:

1) Se encuentra el m.c.m de los índices, que será el mínimo común índice de los radicales.

2) Se multiplican los coeficientes de los radicales y se multiplican las cantidades subradicales entre sí.

3) Se simplifican el producto de los radicales, factorizándolo.

4) Se simplifican los resultados hasta llegar a la solución.

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Ejemplo:

Multiplicar 5√2a * ³√4a²b

> Encontrando el m.c.m de los índices ² y ³

→ el m.c.m de 2 y 3 es 6

> Convirtiendo los radicales dados a radicales con mismo índice:

5√2a = 5 ⁶√(2a)⁶÷² = 5 ⁶√(2a)³ = 5 ⁶√8a³

³√4a²b = ⁶√(4a²b) ⁶÷³ = ⁶√(4a²b)² = ⁶√16a⁴b²

> Multiplicando los radicales del mismo signo:

→ 5 ⁶√8a³ * ⁶√16a⁴b²

= (5)(1)⁶√(8a³)(16a⁴b²)

= 5 ⁶√128a⁷b²

> Simplificando:

5 ⁶√128a⁷b²

= 5 ⁶√(2)(2⁶)(a⁶)(a)(b²)

= 5(2)(a) ⁶√2ab²

= 10a ⁶√2ab² Solución.

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Ejercicio 242.

Multiplicar:

1) √x * ³√2x²

m.c.m de los indices 2 y 3 es 6.

> Convirtiendo a radicales del mismo índice:

√x = ⁶√(x) ⁶÷² = ⁶√(x)³ = ⁶√x³

³√2x² = ⁶√(2x²) ⁶÷³ = ⁶√(2x²)² = ⁶√4x⁴

> Multiplicando los radicales del mismo signo:

→ ⁶√x³ * ⁶√4x⁴

= ⁶√(x³)(4x⁴)

= ⁶√4x⁷

> Simplificando:

⁶√4x⁷

= ⁶√4(x⁶)(x)

= x ⁶√4x Solución.

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2) 3√2ab * 4 ⁴√8a³

m.c.m de los índices 2 y 4 es 4.

< Convirtiendo a radicales del mismo signo:

3√2ab = 3 ⁴√(2ab)⁴÷² = 3 ⁴√(2ab)² = 3 ⁴√4a²b²

4 ⁴√8a³ = 4 ⁴√(8a³) ⁴÷⁴ = 4 ⁴√(8a³)¹ = 4 ⁴√8a³

> Multiplicando los radicales del mismo signo:

→3 ⁴√4a²b² * 4 ⁴√8a³

= (3)(4) ⁴√(4)(8)(a²b²)(8a³)

= 12 ⁴√32a⁵b²

> Simplificando:

12 ⁴√32a⁵b²

= 12 ⁴√(2)(2⁴)(a⁴)(a)(b²)

= 12(2)(a) ⁴√2ab²

= 24a ⁴√2ab² Solución.

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6) ⅔ ³√4m² * ¾ ⁵√16m⁴n

m.c.m de los índices 3 y 5 es 15.

< Convirtiendo a radicales del mismo signo:

⅔ ³√4m² = ⅔ ¹⁵√(4m²) ¹⁵÷³ = 3⅔ ¹⁵√(4m²)⁵ = ⅔ ¹⁵√1024m¹⁰

¾ ⁵√16m⁴n = ¾ ¹⁵√(16m⁴n) ¹⁵÷⁵ = ¾ ¹⁵√(16m⁴n)³ = ¾ ¹⁵√4096m¹²n³

> Multiplicando los radicales del mismo índice:

→ ⅔ ¹⁵√1024m¹⁰ * ¾ ¹⁵√4096m¹²n³

= (⅔)(¾) ¹⁵√(1024m¹⁰ )(4096m¹²n³)

= ½ ¹⁵√4194304m²²n³

> Simplificando:

½ ¹⁵√4194304m²²n³

= ½ ¹⁵√(128)(2 ¹⁵)(m¹⁵)(m⁷)(n³)

= (½)(2)(m) ¹⁵√128m⁷n³

= m ¹⁵√128m⁷n³ Solución.

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