Cubo de un polinomio. Potenciación.

Regla: 

El cubo de un polinomio es igual a la suma de los cubos de cada uno de sus términos, más (+) el triplo del cuadrado de cada uno por cada uno de los demás, más (+) el séxtuplo de las combinaciones ternarias que pueden formarse con sus términos.

(a+b+c)³ 
= (a³ + (b)³ + (c)³ + 3(a)²(b) + 3(a)²(c) + 3(b)²(a) +3(b)²(c) + 3(c)²(a)  + 3(c)²(b) + 6(a)(b)(c) 
[3 cubos ( )³, 6 triplos de combinaciones binarias 3()²(), un séxtuplo de combinación ternaria 6()()()] = 10

(a+b+c+d)³ 
= (a)³ + (b)³ + (c)³ + (d)³ + 3(a)²(b) + 3(a)²(c) + 3(a)²(d) + 3(b)²(a) + 3(b)²(c) + 3(b²)(d) + 3(c)²(a) + 3(c)(a) +3(c)(b) + 3(c)(d) + 3(d)(a) + 3(d)(b) + 3(d)(c)+ 6(a)(b)(c) +6(a)(b)(d) +6(b)(c)(d)
[4 cubos ( )³, 12 triplos de combinaciones binarias 3()²(), 4 séxtuplos de combinaciones ternarias, 6()()()] = 20
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Ejemplos:

a) Elevar al cubo x² -2x +1

(x² -2x +1)³

= (x²)³ + (-2x)³ + (1)³ + 3(x²)²(-2x) + 3(x²)²(1) + 3(-2x)²(x²) + 3(-2x)²(1) + 3(1)²(x²) + 3(1)²(-2x) + 6(x²)(-2x)(1)

= x⁶ -8x³ +1 + (-6x⁵) + (3x⁴) + (12x⁴) + (12x²) + (3x²) + (-6x) + (-12x³)

= x⁶ -8x³ +1 - 6x⁵ + 3x⁴ + 12x⁴ + 12x² + 3x² - 6x -12x³

= x⁶ - 6x⁵ + 15x⁴ - 20x³ + 15x²  - 6x  +1  Solución.
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b) Elevar al cubo  x³ - x² +2x -3

(x³ - x² +2x -3)³

= (x³)³ + (-x²)³ + (2x)³ + (-3)³ + 3(x³)²(- x²) + 3(x³)²(2x) + 3(x³)²(-3) + 3(- x²)²(x³) + 3(- x²)²(2x) + 3(- x²)²(-3) + 3(2x)²(x³) + 3(2x)²(-x²) + 3(2x)²(-3) + 3(-3)²(x³) + 3(-3)²(-x²) + 3(-3)²(2x) + 6(x³)(-x²)(2x) + 6(x³)(-x²)(-3) + 6(x³)(2x)(-3) + 6(-x²)(2x)(-3)

= x⁹ - x⁶ + 8x³ -27 + (-3x⁸) + (6x⁷) + (-9x⁶) + (3x⁷) + (6x⁵) + (-9x⁴) + (12x⁵) + (-12x₄) + (-36x²) + (27x³) + (-27x²) + (54x) + (-12x⁶) + (18x⁵) + (-36x⁴) + (36x³)

= x⁹ - x⁶ + 8x³ -27 - 3x⁸ + 6x⁷ - 9x⁶ + 3x⁷ + 6x⁵ - 9x⁴ + 12x⁵ - 12x⁴ - 36x² + 27x³ - 27x² + 54x - 12x⁶ + 18x⁵ - 36x⁴ + 36x³

= x⁹ - 3x⁸ + 9x⁷ - 22x⁶ + 36x⁵ - 57x⁴ + 71x³ - 63x² + 54x - 27  Solución.
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Ejercicio 209.
Elevar al cubo:

1)  x² +x +1

(x² +x +1)³

= (x²)³ + (x)³ + (1)³ + 3(x²)²(x) + 3(x²)²(1) + 3(x)²(x²) + 3(x)²(1) + 3(1)²(x²) + 3(1)²(x) + 6(x²)(x)(1)

= x⁶ +x³ +1 +3x⁵ + 3x⁴ + 3x⁴ + 3x² +3x² +3x + 6x³

= x⁶ +3x⁵ + 6x⁴ +7x³ + 6x² + 3x +1  Solución.
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5)  x³ -2x² -4

(x³ -2x² -4)³

= (x³)³ + (-2x²)³ + (-4)³ + 3(x³)²(-2x²) + 3(x³)²(-4) + 3(-2x²)²(x³) + 3(-2x²)²(-4) + 3(-4)²(x³) + 3(-4)²(-2x²) + 6(x³)(-2x²)(-4)

= x⁹ -8x⁶ -64 +(-6x⁸) +(-12x⁶) +(12x⁷) +(-48x⁴) +(48x³) +(-96x²) +(48x⁵)

= x⁹ -6x⁸ +12x⁷ -20x⁶ +48x⁵ -48x⁴ +48x³ -96x² -64  Solución.
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9)  a³ -a² +a -1

(a³ -a² +a -1)³

= (a³)³ + (-a²)³ + (a)³ + (-1)³ + 3(a³)²(-a²) + 3(a³)²(a) + 3(a³)²(-1) + 3(-a²)²(a³) + 3(-a²)²(a) + 3(-a²)²(-1) + 3(a)²(a³) + 3(a)²(-a²) + 3(a)²(-1) + 3(-1)²(a³) + 3(-1)²(-a²) + 3(-1)²(a) + 6(a³)(-a²)(a) + 6(a³)(-a²)(-1) + 6(a³)(a)(-1) + 6(-a²)(a)(-1)

= a⁹ -a⁶ +a³ -1 + (-3a⁸) + (3a⁷) + (-3a⁶) + (3a⁷) + (3a⁵) + (-3a⁴) + (3a⁵) + (-3a⁴) + (-3a²) + (3a³) + (-3a²) + (3a) + (-6a⁶) + (6a⁵) + (-6a⁴) + (6a³)

= a⁹ -a⁶ +a³ -1 - 3a⁸ + 3a⁷ - 3a⁶ + 3a⁷ + 3a⁵ - 3a⁴ + 3a⁵ - 3a⁴ - 3a² + 3a³ - 3a² + 3a - 6a⁶ + 6a⁵ - 6a⁴ + 6a³

= a⁹ - 3a⁸ + 6a⁷ -10a⁶ + 12a⁵ - 12a⁴ + 10a³ - 6a² + 3a - 1  Solución.
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11)  x³ -4x² +2x -3

(x³ -4x² +2x -3)³

= (x³)³ + (-4x²)³ + (2x)³ + (-3)³ + 3(x³)²(-4x²) + 3(x³)²(2x) + 3(x³)²(-3) + 3(-4x²)²(x³) + 3(-4x²)²(2x) + 3(-4x²)²(-3) + 3(2x)²(x³) + 3(2x)²(-4x²) + 3(2x)²(-3) + 3(-3)²(x³) + 3(-3)²(-4x²) + 3(-3)²(2x) + 6(x³)(-4x²)(2x) + 6(x³)(-4x²)(-3) + 6(x³)(2x)(-3) + 6(-4x²)(2x)(-3)

= x⁹ -64x⁶ + 8x³ -27 + (-12x⁸) + (6x⁷) + (-9x⁶) + (48x⁷) + (96x⁵) + (-144x⁴) + (12x⁵) + (-48x⁴) + (-36x²) + (27x³) + (-108x²) + (54x) +  (-48x⁶) + (72x⁵) + (-36x⁴) + (144x³)

= x⁹ - 64x⁶ + 8x³ - 27 - 12x⁸ + 6x⁷ - 9x⁶ + 48x⁷ + 96x⁵ - 144x⁴ + 12x⁵ - 48x⁴ - 36x² + 27x³ - 108x² + 54x - 48x⁶ + 72x⁵ - 36x⁴ + 144x³

= x⁹ - 12x⁸ + 54x⁷ - 121x⁶ + 180x⁵ - 228x⁴ + 179x³ - 144x² + 54x - 27  Solución.
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Nota: En la sección de respuestas del libro el cuarto término dice -112x⁶ , pero lo correcto es -121x⁶.  Si quieres verificarlo revisa nuevamente las operaciones desde donde proviene los valores x⁶.
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Cuadrado de un polinomio. Potenciación.

Regla:

El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos más el duplo de cada combinación binaria que con ellos pueden formarse.

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Sobre las combinaciones se forman así:

Para (a+b+c)²: ... + el duplo del 1º por el 2º términos; + el duplo del 1º por el 3º términos; más el duplo del 2º por el 3º términos.

Para (a+b+c+d)² : ... + el duplo del 1º por el 2º;  + el duplo del 1º por el 3º; + el duplo del 1º por el 4º; + el duplo del 2º por el 3º;  + el duplo del 2º por el 4º; + el duplo del 3º por el 4º.

Para polinomios mayores de 5 términos se combina cada términos con los que le siguen.

Toma en cuenta que en ninguno de los polinomios se combinan los términos con sus anteriores.

En las combinaciones binarias se escriben los términos con su propio signo.

Para saber cuantas combinaciones binarias debe contener el polinomio, se calcula de la siguiente manera:

Por ejemplo: 

(a+b+c)² = (3-1) + (3-2) + (3-3) = 2+1+0 = 3 Combinaciones

(a+b+c+d)² = (4-1)+(4-2)+(4-3)+(4-4) = 3+2+1+0 = 6  Combinaciones

(a+b+c+d+e)² = (5-1)+(5-2)+(5-3)+(5-4)+(5-5)= 4+3+2+1+0= 10 combinaciones

Y así sucesivamente ...

Importante recordar la Ley de los Exponentes para Potencia de una Potencia y producto de potencias.

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Procedimiento:

1) Calcular el número de combinaciones binarias que tendrá el polinomio.
2) Desarrollar la regla de acuerdo al número de términos que tenga el polinomio.
3) Efectuar las operaciones que se formen.
4) Simplificar.
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Ejemplos:

a) Elevar al cuadrado  x² -3x +4

> Cuadrado del trinomio:
= (x² -3x +4)²

> Desarrollando el trinomio con base a la Regla:
= (x²)² + (-3x)² + (4)² + 2(x²)(-3x) + 2(x²)(4) + 2(-3x)(4)

> Efectuando operaciones y simplificando:
= x⁴ + 9x² +16 + (-6x³) + (8x²) + (-24x)

= x⁴ + 9x² +16 - 6x³ + 8x² -24x

= x⁴ - 6x³ + 17x² -24x +16  Solución.
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b) Desarrolar (3x³ -5x² -7)²

> Desarrollando el trinomio:
= (3x³)² + (-5x²)² + (-7)² +  2(3x³)(-5x²) + 2(3x³)(-7) + 2(-5x²)(-7)

> Efectuando operaciones y simplificando:
= 9x⁶ + 25x⁴ +49 + (-30x⁵) + (-42x³) + (70x²)

= 9x⁶ + 25x⁴ +49 - 30x⁵ - 42x³ + 70x²

= 9x⁶ - 30x⁵ + 25x⁴ - 42x³ + 70x² +49  Solución.
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c) Elevar al cuadrado a³ -3a² +4a -1

Cuadrado del polinomio : (a³ -3a² +4a -1)²

> Aplicando la Regla:
= (a³)² + (-3a²)² + (4a)² + (-1)² + 2(a³)(-3a²) + 2(a³)(4a) + 2(a³)(-1) + 2(-3a²)(4a) + 2(-3a²)(-1) + 2(4a)(-1)

> Efectuando operaciones y simplificando:
= a⁶ + 9a⁴ +16a² +1 + (-6a⁵) + (8a⁴) + (-2a³) + (-24a³) + (6a²) + (-8a)

= a⁶ + 9a⁴ +16a² +1 - 6a⁵ + 8a⁴ - 2a³ - 24a³ + 6a² - 8a

= a⁶ - 6a⁵ + 17a⁴ - 26a³ +22a² - 8a +1   Solución.
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Ejercicio 208.
Elevar al cuadrado:

5) 4a⁴ -3a² +5

(4a⁴ -3a² +5)²

= (4a⁴)² + (-3a² )² + (5)² + 2(4a⁴)(-3a² ) + 2(4a⁴)(5) + 2(-3a² )(5)

= 16a⁸ + 9a⁴ + 25 +(-24a⁶) + (40a⁴) + (-30a²)

= 16a⁸ + 9a⁴ + 25 - 24a⁶ + 40a⁴ - 30a²

= 16a⁸ - 24a⁶ + 49a⁴ - 30a² + 25   Solución.
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8)  5x⁴ -7x² +3x

(5x⁴ -7x² +3x)²

= (5x⁴)² + (-7x²)² + (3x)² + 2(5x⁴)(-7x²) + 2(5x⁴)(3x) + 2(-7x²)(3x)

= 25x⁸ + 49x⁴ + 9x² +(-70x⁶) + (30x⁵) + (-42x³)

= 25x⁸ + 49x⁴ + 9x² - 70x⁶ + 30x⁵ - 42x³

= 25x⁸ - 70x⁶ + 30x⁵ + 49x⁴ - 42x³ + 9x²   Solución.
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10) m³ -2m²n +2n⁴

(m³ -2m²n +2n⁴)²

= (m³)² + (-2m²n)² + (2n⁴)² + 2(m³)(-2m²n) + 2(m³)(2n⁴) + 2(-2m²n)(2n⁴)

= m⁶ + 4m⁴n² + 4n⁸ + (-4m⁵n) + (4m³n⁴) + (-8m²n⁵)

= m⁶ + 4m⁴n² + 4n⁸ - 4m⁵n + 4m³n⁴ - 8m²n⁵

= m⁶ - 4m⁵n + 4m⁴n² + 4m³n⁴ - 8m²n⁵ + 4n⁸  Solución.
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14) a/x -1/3 +x/a

(a/x -1/3 +x/a)²

= (a/x)² + (-1/3)² + (x/a)² + 2(a/x)(-1/3) + 2(a/x)(x/a) + 2(-1/3)(x/a)

= a²/x² + 1/9 + x²/a² + (-2a/3x) + (2ax/xa) + (-2x/a)

= a²/x² + 1/9 + x²/a² - 2a/3x + 2ax/xa - -2x/a

= a²/x² + 1/9 + x²/a² - 2a/3x + 2 - 2x/a

= a²/x² - 2a/3x + 2¹/₉ - 2x/a + x²/a²  Solución.
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15) ³/₄ a² -¹/₂ a +⁴/₅

(³/₄ a² -¹/₂ a +⁴/₅)²

= (³/₄ a²)² + (-¹/₂ a)² + (⁴/₅)² + 2(³/₄ a²)(-¹/₂ a) + 2(³/₄ a²)(⁴/₅) + 2(-¹/₂ a)(⁴/₅)

= 9a⁴/16 + a²/4 + ¹⁶/₂₅ +  (-3a³/4) + (6a²/5) + (-4a/5)

= 9a⁴/16 + a²/4 + ¹⁶/₂₅ - 3a³/4 + 6a²/5 - 4a/5

= 9a⁴/16 - 3a³/4 + 29a²/20 - 4a/5 + ¹⁶/₂₅  Solución.
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18) x³ - 3x² - 2x +2

(x³ - 3x² - 2x +2)²

= (x³)² + (- 3x²)² + (- 2x)² + (2)² + 2(x³)(- 3x²) + 2(x³)(- 2x) + 2(x³)(2) + 2(- 3x²)(- 2x) + 2(- 3x²)(2) + 2(- 2x)(2)

= x⁶ + 9x⁴ + 4x² +4 +(-6x⁵) + (-4x⁴) + (4x³) + (12x³) + (-12x²) + (-8x)

= x⁶ + 9x⁴ + 4x² +4  -6x⁵ - 4x⁴ + 4x³ + 12x³ - 12x² - 8x

= x⁶ -6x⁵ + 5x⁴ + 16x³ - 8x² - 8x +4  Solución.
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23) ¹/₂ a³ - ²/₃ a² + ³/₄ a - ¹/₂

(¹/₂ a³ - ²/₃ a² + ³/₄ a - ¹/₂)²

= (¹/₂ a³)² + (- ²/₃ a²)² + (³/₄ a)² + (- ¹/₂)² + 2(¹/₂ a³)(- ²/₃ a²) + 2(¹/₂ a³)(³/₄ a) + 2(¹/₂ a³)(- ¹/₂) + 2(- ²/₃ a²) (³/₄ a) + 2(- ²/₃ a²)(- ¹/₂) + 2(³/₄ a)(- ¹/₂)

= ¹/₄ a⁶ + ⁴/₉ a⁴ + ⁹/₁₆a² + ¹/₄ + (-²/₃ a⁵) + (³/₄ a⁴) + (-¹/₂ a³) + (-1 a³) + (²/₃ a²) + (-³/₄ a)

= ¹/₄ a⁶ + ⁴/₉ a⁴ + ⁹/₁₆a² + ¹/₄ - ²/₃ a⁵ + ³/₄ a⁴ - ¹/₂ a³ -1a³ + ²/₃ a² - ³/₄ a

= ¹/₄ a⁶ - ²/₃ a⁵ + ⁴³/₃₆ a⁴ - ³/₂ a³ + ⁵⁹/₄₈ a² - ³/₄ a + ¹/₄   Solución.
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24) x⁵ - x⁴ + x³ - x² + x - 2

(x⁵ -x⁴ +x³ -x² +x -2)²

= (x⁵)² + (-x⁴)² + (x³)² + (-x²)² + (x)² + (-2)² + 2(x⁵)(-x⁴) + 2(x⁵)(x³) + 2(x⁵)(-x²) + 2(x⁵)(x) + 2(x⁵)(-2) + 2(-x⁴)(x³) + 2(-x⁴)(-x²) + 2(-x⁴)(x) + 2(-x⁴)(-2) + 2(x³)(-x²) + 2(x³)(x) + 2(x³)(-2) + 2(-x²)(x) + 2(-x²)(-2) + 2(x)(-2)

= x¹⁰ +x⁸ +x⁶ + x⁴ + x² + 4 + (-2x⁹) + (2x⁸) + (-2x⁷) + (2x⁶) + (-4x⁵) + (-2x⁷) + (+2x⁶) + (-2x⁵) + (4x⁴) + (-2x⁵) + (2x⁴) + (-2x³) + (-2x³) + (4x²) + (-4x)

= x¹⁰ +x⁸ +x⁶ + x⁴ + x² + 4 - 2x⁹ + 2x⁸ - 2x⁷ + 2x⁶ - 4x⁵ - 2x⁷ + 2x⁶ -2x⁵ + 4x⁴ - 2x⁵ + 2x⁴ - 4x³ - 2x³ + 4x² -4x

= x¹⁰ -2x⁹ +3x⁸ -4x⁷ +5x⁶ -8x⁵ +7x⁴ -6x³ +5x² -4x +4

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Cubo de un Binomio. Potenciación.

En estos casos se trabaja como se hizo en el producto notable "Cubo de un Binomio"; la diferencia es que aquí los valores de los binomios son potencias y fracciones. Por lo que se recomienda tomar en cuenta la Ley de los Exponentes.

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Procedimiento:
1) Aplicar el producto notable Cubo de un Binomio.
2) Sustituir valores en el producto notable.
3) Efectuar las operaciones indicadas.
4) Simplificar para llegar a la solución.
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Regla:
(a+b)³ = (a)³ + 3(a)²(b) + 3(a)(b)² + (b)³
(a-b)³ = (a)³ - 3(a)²(b) + 3(a)(b)² - (b)³
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Ejemplos:

a) Desarrollar (4a³+5a²b²)³

> Aplicando la regla para (a+b)³ = (a)³ +3(a)²(b) +3(a)(b)² +(b)³

= (4a³)³ +3(4a³)²(5a²b²) +3(4a³)(5a²b²)² +(5a²b²)³

> Resolviendo las operaciones indicadas y simplificando:

= 64a⁹ +3(16a⁶)(5a²b²) +3(4a³)(25a⁴b⁴) +125a⁶b⁶

= 64a⁹ +240a⁸b² +300a⁷b⁴ +125a⁶b⁶  Solución.
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b) Desarrollar (3/5 x - 5/6 y²)³

> Aplicando la Regla para (a-b)³

= (3/5x)³ - 3(3/5x)²(5/6y²) + 3(3/5x)(5/6y²)² - (5/6y²)³

> Resolviendo las operaciones y simplificando:

= 27/125x³ - 3(9/25x²)(5/6y²) + 3(3/5x)(25/36y⁴) - 125/216y⁶

= 27/125x³ - 9/10x²y² + 5/4xy⁴ - 125/216y⁶  Solución.
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c) Desarrollar (2x³/5y - 10y⁴/3)³

> Aplicando la Regla para (a-b)³

= (2x³/5y)³ -3(2x³/5y)²(10y⁴/3) + 3(2x³/5y)(10y⁴/3)² - (10y⁴/3)³

> Resolviendo las operaciones y simplificando:

= 8x⁹/25y³ - 3(4x⁶/25y²)(10y⁴/3) +3(2x³/5y)(100y⁸/9) - 1000y¹²/27

= 8x⁹/25y³ - 120x⁶y⁴/75y² + 600x³y⁸/45y - 1000y¹²/27

= 8x⁹/25y³ - 8/5x⁶y² + 40/3x³y⁷ - 1000/27y¹²  Solución.
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Ejercicio 207.
Desarrollar:

1) (2a+3b)³

= (2a)³ + 3(2a)²(3b) + 3(2a)(3b)² + (3b)³

= 8a³ + 3(4a²)(3b) + 3(2a)(9b²) + 27b³

= 8a³ + 36a²b + 54ab² +27b³  Solución.
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3) (5x²+6y³)³

= (5x²)³ + 3(5x²)²(6y³) + 3(5x²)(6y³)² + (6y³)³

= 125x⁶ + 3(25x⁴)(6y³) + 3(5x²)(36y⁶) + 216y⁹

= 125x⁶ + 450x⁴y³ + 540x²y⁶ + 216y⁹   Solución.
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5) (7a⁴-5a²b³)³

= (7a⁴)³ - 3(7a⁴)²(5a²b³) + 3(7a⁴)(5a²b³)² - (5a²b³)³

= 343a¹² - 3(49a⁸)(5a²b³) + 3(7a⁴)(25a⁴b⁶) - 125a⁶b⁹

= 343a¹² - 735a¹⁰b³ + 525a⁸b⁶ - 125a⁶b⁹  Solución.
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8) (3a²b-5a³b²)³

= (3a²b)³ - 3(3a²b)²(5a³b²) + 3(3a²b)(5a³b²)² - (5a³b²)³

= 27a⁶b³ - 3(9a⁴b²)(5a³b²) +3(3a²b)(25a⁶b⁴) - 125a⁹b⁶

= 27a⁶b³ - 135a⁷b⁴ + 225a⁸b⁵ - 125a⁹b⁶   Solución.
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9) (1/2 a +2/3 b²)³

= (1/2a)³ + 3(1/2a)²(2/3b²) + 3(1/2a)(2/3b²)² + (2/3b²)³

= 1/8a³ + 3(1/4a²)(2/3b²) + 3(1/2a)(4/9b⁴) + 8/27b⁶

= 1/8a³ + 1/2a²b² + 2/3ab⁴ + 8/27b⁶   Solución.
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10)  (3/4a² - 4/5b²)³

= (3/4a²)³ - 3(3/4a²)²(4/5b²) + 3(3/4a²)(4/5b²)² - (4/5b²)³

= 27/64a⁶ - 3(9/16a⁴)(4/5b²) + 3(3/4a²)(16/25b⁴) - 64/125b⁶

= 27/64a⁶ - 27/20a⁴b² + 36/25a²b⁴ - 64/125b⁶
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16)  (3a/2b + 4b²/5)³

= (3a/2b)³ + 3(3a/2b)²(4b²/5) + 3(3a/2b)(4b²/5)² + (4b²/5)³

= 27a³/8b³ + 3(9a²/4b²)(4b²/5) + 3(3a/2b)(16b⁴/25) + 64b⁶/125

= 27a³/8b³ + 27a²b²/5b² + 72ab⁴/25b + 64b⁶/125

= 27a³/8b³ + 27a²/5 + 72ab³/25 + 64b⁶/125  Solución.
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18)  (1/6 m³ - 6n²/m²)³

= (1/6 m³)³ - 3(1/6 m³)²(6n²/m²) + 3(1/6 m³)(6n²/m²)² - (6n²/m²)³

= 1/216 m⁹ - 3(1/36 m⁶)(6n²/m²) + 3(1/6 m³)(36n⁴/m⁴) - 216n⁶/m⁶

= 1/216 m⁹ - 1m⁶n²/2m² + 18m³n⁴/m⁴ - 216n⁶/m⁶

= 1/216 m⁹ - 1/2 m⁴n² + 18n⁴/m - 216n⁶/m⁶  Solución.
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Sistemas literales de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Procedimiento:

1) Aplicar un método de reducción para sistemas, igualando los coeficientes literales de una de las variables, de ambas ecuaciones, para encontrar el valor de la otra variable.
2) Sustituir la variable encontrada en cualquiera de las ecuaciones, para encontrar el valor de la otra variable.
3) En los primeros pasos o en los siguientes, factorizar cuando sea necesario y simplificar.
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Ejemplos:

a) Resolver el sistema:


> Igualando los coeficientes de la "x"; multiplicando la ecuación (1) por "b" y la ecuación (2) por "a":
=  


> Restando la ecuación (2) de la (1):


> Factorizando ambos miembros de la ecuación:


> Eliminando (b² - a²) en ambos miembros de la ecuación:


> Sustituyendo el valor de "y", que es "b" en la ecuación (2) original:
bx +ay =2ab
bx +a(b) = 2ab
bx = 2ab-ab
x = ab/b
x = a

Solución:  x = a ,  y = b
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b) Resolver el sistema: 

> Quitando denominadores: m.c.d. = ab


> Multiplicando la ecuación(2) por b y restándola de la (1)


> Factorizando ambos miembros de la ecuación:

   (eliminamos (b-a)


> Sustituyendo el valor de "y", que es "b" en la ecuación (2) original:
x -y = a
x -(b) = a
x = a+b

Solución:  x = a+b , y = b
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c) Resolver  

> Quitando denominadores, --> m.c.d.= ab


   (3)

> Multiplicando la ecuación (2) y restándola de la (1):


> Factorizando ambos miembros de la ecuación:



> Eliminando (a+b) en ambos miembros de la ecuación:



> En este caso no sustituimos el valor de "x" como hemos procedido en los otros ejemplos, sino que vamos a buscar el valor de "y" eliminando la "x"; como hicimos para encontrar el valor de "y": tomando el sistema que formamos sin denominadores  (3):


> Multiplicamos la ecuación (2) por "b" y se resta de la (1):


> Factorizando ambos miembros de la ecuación:


> Eliminando (a+b) en ambos miembros de la ecuación:



 
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Ejercicio 181.
Resolver los sistemas:

1) 



> Sustituyendo "x" en ecuación (2):



     , 
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2)  



Sustituyendo el valor de "x" en la ecuación (2):


   , 
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3) 



> Sustituyendo el valor de "y" en la ecuación (2):


     ,  
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4) 



> Sustituyendo el valor de "x" en la ecuación (2)


   , 
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6) 

> Eliminando los denominadores. m.c.d. = ab


> Multiplicando las ecuaciones y restar:





> Sustituyendo el valor de "y" en la ecuación (1) sin denominadores:


    ,  
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