Otros ejemplos de ecuaciones indeterminadas cuando se condicionan los valores para la variable. Para encontrar la solución general.
a) Resolver 5x +7y = 128, para valores enteros y positivos ≠ 0.
Despejando x por tener el menor coeficiente:
x = 128 -7y / 5
Descomponemos 128 y 7y en dos sumandos cada uno, de los cuales uno sea el mayor múltiplo de 5 que contenga cada uno, y simplificamos:
x = 125+3 -5y -2y / 5
x = 125/5 -5y/5 + 3/5 -2y/5
x = 25 -y + 3-2y/5
Ahora se convierte (3-2y)/5 en una expresión entera:
Se multiplica el numerador 3-2y por un número tal que al dividir el coeficiente de "y" nos dé un residuo de 1y; en este caso multiplicamos por 3 el numerador:
3(3-2y)/5 = (9-6y)/5
descomponemos los coeficientes 9 y 6y en dos sumandos cada uno, de tal manera que uno de cada sumando sea múltiplo de 5:
(5+4-5y-y)/5 = 5/5 -5y/5 +(4-y)/5 = 1-y + (4-y) /5
Si ya tenemos los valores enteros 1 y -y, necesitamos convertir a entero (4-y) /5; para ello nombramos esta fracción como "m" y despejamos:
4-y/5 = m
4-y = 5m
-y = 5m-4
-> y = 4-5m (1° resultado)
Sustituyendo el valor de "y" en la ecuación original:
5x+7y=128
5x+7(4-5m) = 128
5x +28 -35m = 128
5x = 128 -28 -35m
x = 100-35m / 5
x = 25 -7m (2° resultado)
Con los resultados (1) y (2) tenemos:
"m" es entero.
Si algún valor de las variables da negativo, se desecha la solución.
Probando valores positivos para "m":
Si m = 0 ->
x = 20+7m -> x = 20 +7(0) -> x = 20
y = 4-5m -> y = 4-5(0) -> y = 4 Solución (20 , 4)
Si m = 1 ->
x = 20+7m -> x = 20 +7(1) -> x = 27
y = 4-5m -> y = 4 -5(1) -> y = -1 ( se desecha m = 1, porque la "y" da negativa)
Nota: Todos los valores para "m" mayores que 1 también serán negativos.
Probando con valores negativos para "m":
Si m = -1 ->
x = 20 +7m -> x = 20 +7(-1) -> x = 13
y = 4-5m -> y = 4 -5(-1) -> y = 9 Solución (13 , 9)
Si m = -2 ->
x = 20 +7m -> x = 20 +7(-2) -> x = 6
y = 4-5m -> y = 4 -5(-2) -> y = 14 Solución (6 , 14)
Si m = -3 ->
x = 20 +7m -> x = 20 +7(-3) -> x = -1
y = 4 -5m -> y = 4 -5(-3) -> y = 9 Se desecha porque el valor de x es negativo.
La solución general para la ecuación 5x+7y=128 son [x=20, y=4, ; x=13, y=9 : x=6, y=14]
b) Resolver 7x -12y = 17 para valores enteros y positivos.
Despejando x:
x = 17+12y / 7
Descomponiendo 17+12y /7
x = 14 +3 +7y +5y / 7
x = 14/7 +7y/7 +(3+5y) /7
Simplificando:
x = 2 +y + (3+5y)/7
x -2 -y = (3+5y)/7
Resolvemos (3+5y)/7 para convertirlo en entero:
Multiplicando el numerador por 3 para que el producto de 3(5y) sea divisible entre 7 y tenga un residuo de 1y:
3(3+5y) /7
(9 +15y) /7 -> 7/7 +14y/7 + 2/7 +1y/7
-> 1 +2y + (y+2)/7
Para que la expresión y+2/7 sea entera la sustituimos por "m" y despejamos la nueva expresión:
y+2/7 = m
despejamos la "y"
y+2 = 7m
∴ y =7m-2 (resultado para y)
Sustituimos el valor de "y" en la ecuación 7x-12y=17 dada para encontrar un valor para "x":
-> 7x-12(7m-2)=17
7x -84m +24 = 17
7x = 84m +17-24
x = (84m -7) /7
x = 12m -1 (resultado para x)
Las soluciones parciales son:
Buscamos solución general para "x" y "y" dando valores a "m":
Si m = -1 ->
x=12(-1)-1 -> x=-12-1 -> x = -13
y=7(-1)-2 -> y = -9 Se (desechan estas soluciones.)
Si m = 0 ->
x=12(0)-1 -> x= -1
y=7(0)-2 -> y = -2 (se desechan estas soluciones)
Si m = 1 ->
x=12(1)-1 -> x = 11
y=7(1)-2 -> y = 5 Solución (11 , 5)
Si m = 2 ->
x=12(2)-1 -> x = 23
y=7(2)-2 -> y = 12 Solución (23 , 12)
Si m = 3 ->
x=12(3)-1 -> x = 35
y=7(3)-2 -> y = 19 Solución (35 , 19)
Si m = 4 ->
x=12(4)-1 -> x = 47
y=7(4)-2 -> y = 26 Solución (47 , 26)
y así sucesivamente a valores positivos para "m".
La solución general es:
[x=12m-1, y=7m-2 ; x=11 , y=5 ; x=23, y=12 ; x=35, y=19 ; x=47, y=26]
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Ejercicio 173.
Hallar la solución general y los tres menores pares de valores enteros y positivos ≠ 0.
19) 3x -4y = 5
x = 5 +4y /3
x = 3 +2 +3y +y /3
x = 3/3 +3y/3 + 2+y/3
⇒ 2+y/3 = m
2+y = 3m
∴ y = 3m -2 (resultado para la y)
⇒ Sustituyendo en 3x -4y = 5
3x -4(3m-2) = 5
3x -12m +8 = 5
x = 12m +5-8 /3
x = 12m -3 /3
x = 4m -1 (resultado para la x)
Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y";
Si m= 1 ⇒
En x = 4m-1 ⇒ x= 4(1) -1 ⇒ x= 3
En y =3m-2 ⇒ y = 3(1)-2 ⇒ y = 1
Si m = 2 ⇒
En x = 4m -1 ⇒ x = 4(2) -1 ⇒ x = 7
En y = 3m-2 ⇒ y = 3(2) -2 ⇒ y = 4
Si m = 3 ⇒
En x = 4m-1 ⇒ x= 4(3) -1 ⇒ x= 11
En y =3m-2 ⇒ y = 3(3)-2 ⇒ y = 7
Solución: 4m-1, 3m-2. ; x=3, y=1 ; x=7, y=4 ; x=11, y=7
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20) 5x -8y = 1
x = 1 +8y /5
x = 1 +5y +3y /5
x = 1/5 +5y/5 +3y/5
x = y + (1+3y)/5
⇒1+3y/5 = 2(1+3y)/5 ⇒ 2+6y /5 ⇒ 2 +5y +y /5
⇒5y/5 +2+y/5 ⇒ y + 2+y /5
2+y / 5 = m
∴ y = 5m-2 Resultado para y
Sustituyendo "y" en 5x-8y = 1
5x -8(5m-2) = 1
5x -40m +16 = 1
x = 40m +1-16 / 5
x = 8m -3 Resultado para x.
Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y";
Si m = 1 ⇒
x = 8m-3 ⇒ x = 8(1)-3 ⇒ x = 5
y = 5m-2 ⇒ 5(1)-2 ⇒ y = 3
Si m = 2 ⇒
x = 8m-3 ⇒ x = 8(2)-3 ⇒ x = 13
y = 5m-2 ⇒ y = 5(2)-2 ⇒ y = 8
Si m = 3 ⇒
x = 8m-3 ⇒ x = 8(3)-3 ⇒ x = 21
y = 5m-2 ⇒ y = 5(3)-2 ⇒ y = 13
Solución: 8m-3, 5m-2 ; x=5, y=3 ; x=13, y=8 ; x=21, y=13.
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22) 11x-12y = 0
x = 12y/11
⇒ x =11y+y /11 ⇒ x = 11y/11+y/11 ⇒ x = y + y/11
⇒ y/11 = m
∴ y = 11m resultado para y
Sustituyendo "y" en 11x-12y = 0
11x -12(11m) = 0
11x -132m = 0
x = 132m/11
x = 12m resultado para x
Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y";
Si m = 1 ⇒
x = 12m ⇒ x = 12(1) ⇒ x = 12
y = 11m ⇒ y = 11(1) ⇒ y = 11
Si m = 2 ⇒
x = 12m ⇒ x = 12(2) ⇒ x = 24
y = 11m ⇒ y = 12(2) ⇒ y = 22
Si m = 3 ⇒
x = 12m ⇒ x = 12(3) ⇒ x = 36
y = 11m ⇒ y = 11(3) ⇒ y = 33
Solución: 12m, 11m ; x=12, y=11 ; x=24, y=22 ; x=36, y=33.
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23) 14x -17y = 32
x = 32+17y /14
x = 28 +4 +14y +3y /14 ⇒ x = 28/14 +14y/14 + 4+3y/14
⇒ 2 +y + 4+3y /14
⇒ 4+3y /14 = 5(4+3y )/14 = 20 +15y /14
= 14 +6 +14y +y /14 = 14/14 + 14y/14 +6/14 +y/14
= 1 +y + 6+y /14
⇒ 6+y/14 = m
∴ y = 14m-6 resultado para y
Sustituyendo "y" en 14x-17y = 32
14x -17(14m-6) = 32
14x -238m +102 =32
14x = 238m +32-102
x = 238m -70 /14
x = 17m -5 resultado para x
Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y";
Si m = 1 ⇒
x = 17m-5 ⇒ x = 17(1)-5 ⇒ x = 12
y = 14m-6 ⇒ y = 14(1)-6 ⇒ y = 8
Si m = 2 ⇒
x = 17m-5 ⇒ x = 17(2)-5 ⇒ x = 29
y = 14m-6 ⇒ y = 14(2)-6 ⇒ y = 22
Si m = 3 ⇒
x = 17m-5 ⇒ x = 17(3)-5 ⇒ x = 46
y = 14m-6 ⇒ y = 14(3)-6 ⇒ y = 36
Solución: x=17m-5, y=14m-6 ; x=12, y=8 ; x=29, y=22 ; x=46, y=36.
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24) 7x -11y = 83
x = 83 +11y / 7
x = 77 + 6 +7y +4y /7
x = 77/7 +7y/7 +6/7+ 4y/7
x = 11 +y + 6+4y /7
⇒ 6+4y /7 = 2(6+4y) /7 = 12 +8y /7 = 7+5 +7y +y /5
= 7/7 +7y/7 + 5/7 +y/5 = 1 +y + 5+y/7
⇒ 5+y/ 7 = m
∴ y = 7m -5 resultado para y
Sustituyendo "y" en 7x-11y=83
7x -11(7m-5) = 83
7x -77m +55 = 83
7x = 77m +83 -55
x = 77m +28 / 7
x = 11m +4 resultado para x.
Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y";
Si m = 1 ⇒
x = 11m+4 ⇒ x = 11(1) +4 ⇒ x = 15
y = 7m-5 ⇒ y = 7(1) -5 ⇒ y = 2
Si m = 2 ⇒
x = 11m+4 ⇒ x = 11(2) +4 ⇒ x = 26
y = 7m-5 ⇒ y = 7(2) -5 ⇒ y = 9
Si m = 3 ⇒
x = 11m+4 ⇒ x = 11(3) +4 ⇒ x = 37
y = 7m-5 ⇒ y = 7(3) -5 ⇒ y = 16
Solución: 11m+4, 7m-5 ; x=15, y=2 ; x=26, y=9 ; x=37, y=16.
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