Regla para la suma de dos potencias impares iguales (m⁵+n⁵)
es igual a dos factores:
el primer factor es la suma de las raíces de los términos (m+n)
el segundo factor es el primer término elevado a la 5-1=4, menos el 1º
término elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la
1, más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º
término elevado al cuadrado, menos el 1º término
elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo, más
el 2º término elevado a la cuarta. (m⁴ - m³n + m²n² -
mn³ + n⁴)
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Regla
para La diferencia de dos potencias
impares iguales (m⁵ - n⁵) es igual
a dos factores:
el primero es
la diferencia de las raíces de los términos (m-n)
el segundo es
el primer término elevado a la 5-1=4, más el 1º
término elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la
1, más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º
término elevado al cuadrado, más el 1º término
elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo, más
el 2º término elevado a la cuarta.
(m⁴ + m³n
+ m²n² + mn³ + n⁴)
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Ejemplo:
Factorar
x⁵ +32
1º Encontramos
la raíz quinta de los términos:
raíz quinta de
x⁵ = x ; raíz
quinta de 32 = 2
2º formamos
el primer factor con las raíces: (x +2)
3º Formamos
el segundo factor:
[x⁵⁻¹ - x⁵⁻²(2) +x⁵⁻³(2^²) - x⁵⁻⁴(2³) + (2)⁴)]
[x⁵⁻¹ - x⁵⁻²(2) +x⁵⁻³(2^²) - x⁵⁻⁴(2³) + (2)⁴)]
[x⁴ - x³(2)
+x²(4) - x(8) + 16] = (x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16)
--> x⁵ +32
= (x +2)(x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16) Solución
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_________________________________________
Factorar
x⁷ - 1
1º Encontramos
la raíz séptima de los términos:
raíz séptima de
x⁷ = x ;
raíz séptima de 1 = 1
2º formamos
el primer factor con las raíces: (x - 1)
3º Formamos
el segundo factor:
[x⁷⁻¹ + x⁷⁻²(1) + x⁷⁻³(1²) + x⁷⁻⁴(1³) + x⁷⁻⁵(1⁴) +x⁷⁻⁶(1⁵) + (1⁶)]
[x⁷⁻¹ + x⁷⁻²(1) + x⁷⁻³(1²) + x⁷⁻⁴(1³) + x⁷⁻⁵(1⁴) +x⁷⁻⁶(1⁵) + (1⁶)]
[(x⁶ + x⁵(1) +
x⁴(1) + x³(1) + x²(1)^4 +x(1) + 1] =
= (x⁶ +
x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x +1) -->
--> x⁷ -1
= (x - 1)(x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x +1) Solución
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NOTA:
Cuando el primer
factor es suma (x+1), los signos del segundo factor son
alternativamente "+" y "-"
Cuando el primer
factor es diferencia (x-1), los signos del segundo factor son
todos positivos " + "
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Ejercicio
105 del Libro.
3) Factorar
1 - x⁵
Raíz quinta de 1
= 1 ; raíz quinta de x⁵ =
x
--> 1er.
factor: (1 -x)
.
2º. factor: [1⁴ + 1³(x) + 1²(x²) + 1(x³) + x⁴] =
= (1 + x
+ x² + x³ + x⁴)
--> 1 - x⁵ = (1 -x)(1 + x + x² + x³ + x⁴) Solución
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4)
Factorar a⁷ + b⁷
Raíz séptima de
a⁷ = a ; raíz
séptima de b⁷ = b
-->
1er. Factor: (a +b)
.
2º. Factor: [a⁶ -a⁵(b) +a⁴(b²) -a³(b³)
+a²(b⁴) -a(b⁵) +b⁶] =
(a⁶ - a⁵b + a⁴b² - a³b³ + a²b⁴ - ab⁵ + b⁶)
Solución:
a⁷ + b⁷ =
(a+b)(a⁶ -a⁵b +a⁴b² -a³b³ +a²b⁴ -ab⁵ +b⁶)
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6)
Factorar a⁵+243
Raíz quinta de
a⁵ = a ; raíz quinta de 243
= 3
--> 1er.
Factor: (a+3)
.
2º. Factor: [a⁴ - a³(3) + a²(3)² - a(3)³ + (3)⁴] =
= (a⁴ -3a³ +9a² - 27a +81)
--> a⁵ +243 = (a+3)(a⁴ -3a³ +9a² - 27a +81) Solución.
________________________________________
7)
Factorar 32 -m⁵
Raíz quinta de
32 = 2 ; Raíz
quinta de m^5 = m
--> 1er.
Factor: (2 -m)
.
2º. Factor: [(2)⁴ + (2)³(m) + (2)²(m)² + (2)(m)³ + m⁴] =
= (16
+ 8m + 4m² + 2m³ +m⁴)
--> 32 -m⁵ = (2 -m)(16 + 8m + 4m² + 2m³ +m⁴) Solución.
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8)
Factorar 1 + 243x⁵
Raíz quinta de 1
= 1 ; Raíz
quinta de 243x⁵ = 3x
--> 1er.
factor: (1 + 3x)
. 2º.
Factor: [(1)⁴ - (1)³(3x) + (1)²(3x)² - (1)(3x)³ + (3x)⁴] =
= (1
- 3x + 9x² - 27x³ + 81x⁴)
--> 1+243x⁵ = (1 +3x) (1 - 3x + 9x² - 27x³ + 81x⁴) Solución.
_________________________________________
10)
Factorar 243 -32b⁵
Raíz quinta de
243 = 3 ;
Raíz quinta de 32b⁵ = 2b
-->
1er. Factor: (3 -2b)
.
2º. Factor: [(3)⁴ + (3)³(2b) + (3)²(2b)² + (3)(2b)³ +
(2b)⁴] =
= (81
+ 54b + 36b² + 24b³ +16b⁴)
--> la
Solución es =
.
243 -32b⁵ = (3 -2b)(81 + 54b + 36b² +
24b³ +16b⁴)
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11)
Factorar a⁵ +b⁵c⁵
Raíz quinta de
a⁵ = a ; Raíz
quinta de b⁵c⁵ = bc
-->
1er. Factor: (a + bc)
.
2º. Factor: [(a)⁴ - (a)³(bc) + (a)²(bc)² - (a)(bc)³ +
(bc)⁴] =
=
(a⁴ - a³bc + a²b²c² - ab³c³ +
b⁴c⁴)
-->
la Solución es =
. a⁵ +b⁵c⁵ = (a⁴ - a³bc + a²b²c² - ab³c³ +
b⁴c⁴)
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