Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

                            

Procedimiento:

  (x - y)² = El primer término al cuadrado, menos el duplo del 1º. por el 2º. término, más el cuadrado del 2º. término.

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Ejercicio 63 del Libro.

1) (a-3)^² = (a)^² -2(a)(3) +(3)^² = a^² -6a +9

El primer término al cuadrado   : (a)^2 = a^2

Menos el duplo del 1° por el 2°   : - 2(a)(3) = - 6a

Más el cuadrado del 2° término :  (3)^2 = 9

_____________________________________

4) (2a-3b)^² = (2a)^² -2(2a)(3b) +(3b)^² = 4a^² -12ab +9b^²

El primer término al cuadrado   :  (2a)^2 = 4a^2

Menos el duplo del 1° por el 2°   : - 2(2a)(3b) = - 12ab

Más el cuadrado del 2° término :  (3b)^2 = 9b^2

_____________________________________

9) (x^⁵-3ay^²)^² = (x^⁵)^² -2(x^⁵)(3ay^²) +(3ay^²)^² =

= x^¹⁰ - 6ax^⁵y^² +9a^²y^⁴

El primer término al cuadrado   : (x^5)^2 = x^10

Menos el duplo del 1° por 2°        : - 2(x^5)(3ay ^2) = - 6ax^5y^2

Más el cuadrado del 2° término  : (3ay^2)^2 = 9a^2y^4

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Notas:

Al elevar una potencia a otra potencia; se copia la base y se multiplican los exponentes.

Cuando una literal no tiene semejante en el otro factor; solo se copia con su respectivo exponente.

Cuando una literal no tiene exponente mayor que 1; solo se copia sin exponente (se entiende que está elevado a la potencia 1, que es igual a la misma base).

Cuadrado de la suma de dos cantidades.

                   

Procedimiento:

  (x+y)^² = El primer término al cuadrado, más el duplo del 1º. por el 2º. término, más el cuadrado del 2º. término.
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Ejercicio 62 del libro.

1) (m+3)^² = (m)^² +2(m)(3) +3^²  = m^² +6m +9

Primer término al cuadrado:  m(m) = m^2

Duplo del 1° término por el 2° : 2(m)(3) = 2(3m) = 6m

Segundo término al cuadrado: 3^2 = 3(3) = 9

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3) (6a+b)^² = (6a)^² +2(6a)(b) +(b)^² = 36a^² +12ab +b^²

Primer término al cuadrado: (6a)(6a) = [(6)(6)][(a)(a)] = 36a^2

Duplo del 1° término por 2°: 2(6a)(b) = 2(6ab) = 12ab

Segundo término al cuadrado: (b)(b) = b^2

___________________________________________

9) (a^²x+by^²)^² = (a^²x)^² +2(a^²x)(by^²) +(by^²)^² =

=  a^⁴x^² +2a^²xby^² +b^²y^⁴

Primer término al cuadrado: (a^2x)^2 = [(a^2)(a^2)][(x)(x)] = a^4x^2

Duplo del 1° término por el 2°: 2(a^2x)(by^2) = 2(a^2xby^2) = 2a^2xby^2

Segundo término al cuadrado: (by^2)^2 = [(b)(b)][(y^2)(y^2)] = b^2y^4

Notas:

- Cuando una literal no tiene otra con que multiplicarse , sólo se copia.

- Todo número o literal multiplicado por sí mismo, es igual a su cuadrado.

- En la potencia de una potencia, se copia la base y se multiplican los exponentes.

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10) (3a^³+8b^⁴)^² = (3a^³)^² +2(3a^³)(8b^⁴) +(8b^⁴)^² =

= 9a^6 +48a^3b^4 +64b^8

El primer término al cuadrado (3a^3)^2 = 9a^6

Más el duplo del 1° término por el 2° : 2(3a^3)(8b^4) = 48a^3b^4

Más el segundo término al cuadrado : (8b^4)^2 = 64b^8

Recuerda:

- Cuando una literal no tiene otra con que multiplicarse , sólo se copia con su respectivo exponente.

- En la potencia de una potencia, se copia la base y se multiplican los exponentes.

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Productos Notables. Teoremas.

Productos Notables.

Son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, o también escribiendo todos sus pasos hasta llegar al resultado.

Reglas.

1. Cuadrado de la suma de dos cantidades.

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al primer término al cuadrado más el duplo del producto del primero por el segundo término más el cuadrado del segundo término.

(a+b)² = a² + 2ab + b²

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2) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al primer término al cuadrado menos el duplo del producto del primero por el segundo término más el cuadrado del segundo término.

(a-b)² = a²  - 2ab + b²

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3) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

(a+b)(a-b) = a² - b²

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4) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades cuando los factores tienen 3 elementos.

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de las dos variables asociadas (a+b) menos el cuadrado de la variable no asociada (c).

(a+b+c)(a+b-c) = (a+b)^2 - c^2

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5) El cubo de la suma de dos cantidades.

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al primer término al cubo más el triplo del producto del primer término al cuadrado por el segundo término más el triplo del producto del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

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6) El cubo de la diferencia de dos cantidades.

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al primer término al cubo menos el triplo del producto del primer término al cuadrado por el segundo término más el triplo del producto del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.

(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

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7) Producto de dos binomios de la forma (x±a)(x±b)

El producto de dos binomios de la forma (x±a)(x±b) es igual al producto de los primeros términos de los binomios; más/menos la suma algebraica de los segundos términos de los binomios por el primer término de los binomios; más/menos el producto de los segundos términos de los binomios.

(x±a) (x±b) = (x)^2+(a+b)x+(a)(b) = x^2+(a+b)x+ab

Nota: Se dice mas/menos, porque en la suma de los 2º términos y el producto de los 2º términos, se deben tomar en cuenta los signos de los términos.

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Ejemplos y ejercicios de estos productos notables los encontrarás en esta misma página.  Puedes buscarlos por tema o por número de ejercicio.

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Cociente Mixto.

      

Cociente Mixto.

Se originan cuando el dividendo no es divisible exactamente por el divisor y nos da un residuo. Estos cocientes constan de entero y una fracción.

La división debe detenerse cuando el primer término del residuo es de grado inferior al primer término del divisor con relación a una letra, o sea, cuando el exponente de una letra en el residuo es menor que el exponente de la misma letra en el divisor; entonces agregamos al cociente la fracción resultante cuyo numerador será el residuo y el denominador el divisor.

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Ejemplos:

a) Dividir x²-x-6  entre  x+3

         x-4 + 6/x+3  <--  Solución.

x+3  |x² - x- 6

        -x²-3x   

            -4x - 6

             4x+12 

                     6  <-- Residuo

b) Dividir 6m⁴-4m³n²-3m²n⁴+4mn⁶-n⁸  entre  2m²-n⁴

              3m² -2mn²  + 2mn⁶-n⁸ /2m²-n⁴ <--  Solución.

2m²-n⁴  |6m⁴-4m³n²-3m²n⁴+4mn⁶ -n⁸

              -6m⁴           +3m²n⁴ 

                      -4m³n²            +4mn⁶

                       4m³n²            - 2mn⁶

                                              +2mn⁶ -n⁸  <-- Residuo

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Ejercicio 59.

 3) Dividir 9x³+6x²+7  entre  3x²

        3x +2 + 7/3x²  <-- Solución.

3x²  |9x³+6x²+7

        -9x³

                6x²

               -6x²   .

                      7  Residuo

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5) Dividir x²+7x+10  entre  x+6

         x +1  + 4/x+6   <--   Solución.

x+6  |x²+7x+10

        -x² -6x 

                 x+10

                -x – 6

                       4   Residuo

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13) Dividir  8a³-6a²b+5ab²-9b³  entre  2a-3b

            4a² +3ab +7b²  + 12b³/2a-3b  <--  Solución. 

2a-3b  |8a³ -  6a²b +5ab² -9b³

           -8a³+12a²b   

                      6a²b +5ab²

                     -6a²b +9ab²   

                               14ab² -  9b³

                              -14ab²+21b³  

                                           12b³  Residuo

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División de dos monomios con exponentes literales.

         

Ejercicio 50 del libro.

1) a^^m+3 entre a^^m+2 

-->a^^{m+3 /} a^^m+2

= a^(^m+3)-(m+2)

= a^(^{m+3-m-2)   Se suprimió el parentesis del sustraendo.}

= a^(^{m-m+3-2)   Ordenando los esponentes y reduciéndolos.}

= a^1

= a

En este caso como la literal base y el coeficiente (1) de los monomios es igual, solo se copia la literal base "a" en el cociente.  Luego se restan los exponentes literales y numéricos;  y el resultado se coloca después de la literal base "a".

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5) –4a^(^x-2)b^(ⁿ⁾ entre –5a^(³⁾b^(²⁾

--> -4a^(^x-2)b^(ⁿ⁾ / -5a^(³⁾b^(²⁾ 

= 4/5a^(^x-2)–(3)b^(^{n) –(2)}

=  4/5a^(^x-2-3)b^(^n-2)

= 4/5a^(^x-5)b^(^{n-2)   Solución.}

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Debes tomar en cuenta:

Que al dividir dos monomios, los exponentes se restan aplicando la ley de signos.

Toda potencia elevada a cero "0" es igual a la unidad "1"

Toda potencia elevada a uno "1" es igual a su base.

Cuando una literal base no tiene coeficiente, se sobreentiende que este es uno "1"; y como uno dividido entre uno es igual a uno, en el resultado no se coloca.

División de dos polinomios.

         

Regla:

1) Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.

2) Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y se tendrá el primer término del cociente.

3) El primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo a como se hayan ordenado.

4) Se divide el primer término del resto o residuo entre el primer término del divisor y se tendrá el segundo término del cociente.

5) Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos.

6) Se divide el primer término del segundo resto o residuo entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

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Ejemplos:

a) Dividir   3x²+2x-8  entre  x+2

> Resolviendo:

          3x-4       .   <--  Solución.

x+2  |3x²+2x-8         ( 3x²÷x= 3x)

         -3x²-6x             [3x(x+2)= 3x²+6x]

               -4x-8          ( -4x÷x= -4)

                4x+8          [-4(x+2)= -4x-8]

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b) Dividir  28x²-30y²-11xy  entre  4x-5y

> Ordenando el dividendo en orden descendente

con relación a la letra “x”:

            7x+6y                  .   <-- Solución.

4x-5y  |28x²-11xy-30y²

           -28x²+35xy  

                     24xy- 30y²

                    -24xy+30y² 

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Ejercicio 54 del libro.

3) Dividir x²-20+x  entre  x+5

> Ordenando el dividendo:

          x-4         .     <-- Solución.

x+5  |x²+ x-20

        -x²-5x  

            -4x-20

             4x+20   

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5)  Dividir  x²+15-8x  entre  3-x

> Ordenando el dividendo y el divisor:

          -x+5        .    ó = 5-x  <--  Solución.

-x+3  |x² -8x+15

          -x²+3x   

               -5x+15

                5x -15  

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17) Dividir  x⁴-9x²+3+x  entre  x+3

> Ordenando el dividendo:

         x³-3x²+1          .  <--  Solución.

x+3  |x⁴      -9x²+x+3

        -x⁴-3x³   

            -3x³-9x²

             3x³+9x²   

                          x+3

                         -x -3

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21) Dividir  3y⁵+5y²-12y+10  entre  y²+2

          3y³-6y+5                   .   <--  Solución.

y²+2  |3y⁵       +5y²-12y +10

          -3y⁵-6y³  

                 -6y³+5y²-12y

                 6y³        +12y 

                         5y²        +10

                        -5y²        - 10

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División de un polinomio entre un monomio.

             

Procedimiento:

1) Dividir cada uno de los términos del polinomio entre el monomio, separando los cocientes parciales por el signo de cada término del polinomio. (Ley Distributiva de la División)
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Ejemplo:

a) Dividir 3a^3 -6a^2b +9ab^2 entre 3a

--> 3a^3/3a  -  6a^2b/3a  +  9ab^2/3a

= a^2  - 2ab  +  3a^0 b^2

= a^2  - 2ab  +  3(1)b^2

= a^2 -2ab +3b^2  Solución.
__________________________________

Ejercicio 52 del libro.

1) a^2 -ab entre a

a^2/a - ab/a

= a -b

Porque:  a^2 ÷ a = a  y -ab ÷ a = –b

Como se observa los dos términos del polinomio se dividen cada uno entre el término del monomio, así:

> a^2 ÷ a = a^2 ÷ a^1 = a^(2-1) = a^1 = a

aquí es igual a "a"; porque toda base elevada a la "1" es igual a ella misma.

> -ab ÷ a = - a^1(b) ÷ a^1 = - a^(1-1)b = - a^0(b)  = - b

En este caso la "a" se elimina porque toda base elevada a la "0" es igual a "1" y respecto a la "- b" sólo se copia con su signo.
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3) 3a^³-5ab^²- 6a^²b^³ entre –2a  

--> 3a^3 -5ab^2 -6a^2b^3 ÷ -2a =  -3/2 a^² +5/2 b^² +3 ab^^{3  Solución}

Procedimiento:

3a^3 / -2a  = - 3/2 a^2             [3÷-2 =- 3/2  ;    a^3 ÷ a = a^(3-1) =a^2]

-5ab^2 / -2a = 5/2 b^2             [-5÷-2 = 5/2   ;   a÷a = 1 este no se copia ;  b^2 solo se copia]

-6a^2b^3 / -2a = 3 ab^3          [-6÷-2 = 3  ;   a^2÷a = a  ;  b^3 solo se copia]
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   Recuerda:

- Aplicar la ley de signos.

- En la división algebraica se dividen los coeficientes y se restan los exponentes, ya sean literales o numéricos.

División de monomios.

          

Ejercicio 49 del Libro.

Dividir ...

1) –24 entre 8
  

-->    -24 / 8 = -3       

Recuerda que al dividir signos distintos, el resultado es negativo.

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2) –63 entre –7

-->  -63 / -7 = 9     

Recuerda que dividir signos iguales, el resultado es positivo.

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3) –5a^2  entre –a 

--> -5a^2 / -a = 5a  Solución.

Porque: ( -5 / -1 = 5)   y  a^2/a = a

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4) 14a^3b^4 entre –2ab^2 

-->  14a^3b^4 / -2ab^2 = -7a^2b^2  Solución

 Porque: (14/-2= -7)  , (a^3/a= a^2) y (b^4/b^2= b^2)
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Notas:

Toma en cuenta que al dividir monomios con exponentes:

a) Se dividen los coeficientes colocándole al cociente el signo que le corresponde según la Ley de Signos.

b) Se copian las literales semejantes agregándoles a cada una, la resta de sus exponentes.

Supresión de signos de agrupación con productos indicados.

         

Procedimiento:

1) Se efectúan las operaciones que estén indicadas dentro de signos de agrupación.

2) Cuando un coeficiente esté antes de un signo de agrupación se debe multiplicar éste por los términos que estén dentro del signo de agrupación.      x(2-x)  =  2x -x²

3) Se suprimen los signos de agrupación, empezando con los que estén más adentro de los otros.

4) Después de efectuar las operaciones y de suprimir los signos de agrupación se procede a reducir los términos semejantes para llegar al resultado final.

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 Ejemplos:

a) Simplificar  5a+{a-2[a+3b-4(a+b)]}

> Suprimiendo los signos de agrupación:

5a+{a-2[a+3b-4(a+b)]}

= 5a+{a-2[a+3b-4a-4b]} <-- Se suprimieron los paréntesis

= 5a+{a-2a-6b+8a+8b}   <-- Se suprimieron los corchetes

= 5a+a-2a-6b+8a+8b      <-- Se suprimieron las llaves

> Ordenando términos semejantes:

= 5a+a+8a-2a-6b+8b

> Reduciendo términos semejantes

= 12a+2b   Solución.

.                                                                    ___

b) Simplificar  -3(x+y)-4[-x+2{-x+2y-3(x-y+2)}-2x]

> Suprimiendo signos de agrupación:

                                            ___

-3(x+y)-4[-x+2{-x+2y-3(x-y+2)}-2x]

= -3(x+y)-4[-x+2{-x+2y-3(x-y-2)}-2x]  <-- Se suprimió la barra

= -3x-3y-4[-x+2{-x+2y-3x+3y+6}-2x]  <-- Se suprimieron los paréntesis

= -3x-3y-4[-x-2x+4y-6x+6y+12-2x]     <-- Se suprimieron las llaves

= -3x-3y+4x+8x-16y+24x-24y-48+8x  <-- Se suprimieron los corchetes

> Ordenando términos semejantes:

= -3x+4x+8x+24x+8x-3y-16y-24y-48

> Reduciendo términos semejantes:

= 41x-43y-48   Solución.

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Ejercicio 48 del Libro

1) Simplificar x-[3a+2(-x+1)]

> Resolviendo:

x-[3a+2(-x+1)]

= x-[3a-2x+2]  <-- Se suprimieron los paréntesis

= x-3a+2x-2  <--  Se suprimieron los corchetes

> Reduciendo términos semejantes:

= 3x-3a-2   Solución.

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3) Simplificar  –[3x-2y+(x-2y)-2(x+y)-3(2x+1)]

> Resolviendo:

–[3x-2y+(x-2y)-2(x+y)-3(2x+1)]

= -[3x-2y+x-2y-2x-2y-6x-3] <-- Se suprimieron los paréntesis

= -3x+2y-x+2y+2x+2y+6x+3  <-- Se suprimieron los corchetes

> Ordenando y reduciendo términos semejantes:

= -3x-x+2x+6x+2y+2y+2y+3

= 4x+6y+3  Solución.

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6) Simplificar  a-(x+y)-3(x-y)+2[-(x-2y)-2(-x-y)]

> Resolviendo:

a-(x+y)-3(x-y)+2[-(x-2y)-2(-x-y)]

= a-x-y-3x+3y+2[-x+2y+2x+2y]   Se suprimieron los paréntesis

= a-x-y-3x+3y-2x+4y+4x+4y    Se suprimieron los corchetes

> Ordenando y reduciendo términos semejantes:

= a-x-3x-2x+4x-y+3y+4y+4y

= a-2x+10y    Solución.

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Producto continuado de polinomios.

                 

Se refiere a una expresión formada por varios factores monomios y/o polinomios.  Los que se resuelven multiplicando los dos primeros factores y el resultado por el tercer factor y este nuevo resultado por el cuarto factor; y así sucesivamente al número de factores que contenga la expresión.

El producto continuado puede resolverse también agrupando factores, según la Ley asociativa de la Multiplicación, y los resultados se multiplican entre sí.

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Ejemplo:

Efectuar   3x(x+3)(x-2)(x+1)

> Resolviendo:

① 3x(x+3) = 3x²+9x

② 

3x²+9x

x-2               .

3x³+9x²

      - 6x²-18x

3x³+3x²-18x

③ 

3x³+3x²-18x

x+1                       .

3x⁴+3x³-18x²

      +3x³+ 3x²-18x

3x⁴+3x³-15x²-18x   Solución.

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Ejercicio 46 del Libro

3) Simplificar  2(a-3)(a-1)(a+4)

> Resolviendo:

2(a-3) = 2a-6

2a-6

a-1          .

2a²-6a

.     -2a+6

2a²-8a+6

2a²-8a+6

a+4                          .

2a³- 8a² + 6a

      +8a² -32a+24

2a³         -26a+24    Solución.

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6)  Simplificar  (a-b)(a²-2ab+b²)(a+b)

a²-2ab+b²

a-b                     .

a³-2a²b+   ab²

    -  a²b+2ab²-b³

a³-3a²b+3ab²-b³

a³-3a²b+3ab²-b³

a+b                                    .

a⁴-3a³b+3a²b² -  ab³

    + a³b -3a²b²+3ab³-b⁴

a⁴-2a³b            +2ab³-b⁴   Solución.

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9)  Simplificar (aᵐ -3)(aᵐ⁻¹ +2)( aᵐ⁻¹ -1)

> Resolviendo:

aᵐ-3

aᵐ⁻¹+2                    .

a²ᵐ⁻¹ -3aᵐ⁻¹

                      +2aᵐ-6

a²ᵐ⁻¹ -3aᵐ⁻¹ +2aᵐ-6

a²ᵐ⁻¹ -3aᵐ⁻¹ +2aᵐ-6

aᵐ⁻¹ -1                                                 .

a³ᵐ⁻²-3a²ᵐ⁻²+2a²ᵐ⁻¹  -6aᵐ⁻¹

                       -  a²ᵐ⁻¹ +3aᵐ⁻¹ -2aᵐ +6

a³ᵐ⁻²-3a²ᵐ⁻²+  a²ᵐ⁻¹  -3aᵐ⁻¹ -2aᵐ +6

Ordenando:

a³ᵐ⁻² +a²ᵐ⁻¹ -3a²ᵐ⁻² -2aᵐ -3aᵐ⁻¹ +6   Solución.

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14)  Simplificar  aᵡ(aᵡ⁺¹+bᵡ⁺²)( aᵡ⁺¹-bᵡ⁺²)bᵡ

> Resolviendo:

aᵡ⁺¹+bᵡ⁺²

aᵡ                 .

a²ᵡ⁺¹ +aᵡbᵡ⁺² ①

aᵡ⁺¹-bᵡ⁺²

bᵡ                 .

aᵡ⁺¹bᵡ -b²ᵡ⁺²   ②

a²ᵡ⁺¹ +aᵡbᵡ⁺²                           ①

aᵡ⁺¹bᵡ -b²ᵡ⁺²                        .   ②

a³ᵡ⁺²bᵡ +a²ᵡ⁺¹b²ᵡ⁺²

             - a²ᵡ⁺¹b²ᵡ⁺² -aᵡb³ᵡ⁺⁴

a³ᵡ⁺²bᵡ                     -aᵡb³ᵡ⁺⁴  Solución.

____________________________________________________

Multiplicación de polinomios con coeficientes fraccionarios.

Procedimiento:

1) Ordenar los términos de los factores cuando sea necesario.

2) Multiplicar los factores, colocando los términos de los productos parciales debajo de su término semejante.

3) Los productos de los coeficientes deben simplificarse.

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Ejemplos:

a) Multiplicar ½ x² -⅓xy   por   ⅔x -⅘y

½ x² -⅓xy

⅔x -⅘y                      .

⅓x³  -  ²∕₉x²y

        -  ²∕₅x²y +⁴⁄₁₅xy²

⅓x³  -²⁸⁄₄₅x²y+⁴⁄₁₅xy²    Solución.

b) Multiplicar ⅓x²+ ½y²-⅕xy   por  ¾x²- ½xy- ¼y²

> Ordenando el primer factor:

⅓x²-⅕xy+½y²

¾x²- ½xy- ¼y²               .

¼ x⁴ - ³∕₂₀x³y  +   ³∕₈x²y²

         -   ¹∕₆x³y +  ¹∕₁₀x²y²  -   ¼ xy³

                         -  ¹∕₁₂x²y ² +¹∕₂₀xy³ -¹∕₈y⁴

¼ x⁴  -¹⁹∕₆₀x³y + ⁴⁷∕₁₂₀x²y²   -  ¹∕₅xy³ -¹∕₈y⁴   Solución.

___________________________________________________

Ejercicio 44 del Libro.

Multiplicar:

2)  x - ⅖y  por  ⅚y + ⅓x

> Ordenando el segundo factor:

x -⅖y

⅓x +⅚y              .

⅓x²  -²∕₁₅xy

        +  ⅚xy  -⅓y²

⅓x²  +⁷∕₁₀xy   -⅓y²   Solución.

___________________________________________________

3) ½ x² -⅓xy + ¼ y²  por  ⅔x -³∕₂y

½ x² -⅓xy + ¼ y²

⅔x -³∕₂y                  .

⅓x³  -    ²∕₉x²y +⅙xy²

         -    ¾ x²y +½xy² -³∕₈y³

⅓x³   -  ³⁵∕₃₆x²y +⅔xy²  -³∕₈y³   Solución.

___________________________________________________

5) ⅖m²+⅓mn- ½n²   por   ³∕₂m²+2n²-mn

> Ordenando el segundo factor:

⅖m²+⅓mn- ½n²

³∕₂m²-mn+2n²               .

⅗m⁴ + ½ m³n  -  ¾ m²n²

         -  ⅖m³n  -   ⅓m²n² +  ½mn³

                        +  ⅘m²n² +  ⅔mn³ - n⁴

⅗m⁴ + ¹∕₁₀m³n -¹⁷∕₆₀m²n² + ⁷∕₆mn³  - n⁴    Solución.

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Multiplicación de polinomios con exponentes literales.

           

Procedimiento:

1) Ordenar los términos de los factores cuando sea necesario.

2) Multiplicar los factores, colocando los términos de los productos parciales debajo de su término semejante.

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Ejemplos:

a) Multiplicar   aᵐ⁺²-4ᵐ-2ᵐ⁺¹ por a²-2a.

> Ordenando los términos:

aᵐ⁺²-2ᵐ⁺¹-4ᵐ

a²-2a                     .

aᵐ⁺⁴-2aᵐ⁺³ -4aᵐ⁺²

        -2aᵐ⁺³+4aᵐ⁺²+8aᵐ⁺¹

aᵐ⁺⁴-4aᵐ⁺³             +8aᵐ⁺¹   Solución.

b) Multiplicar   xᵅ⁺²-3xᵅ-xᵅ⁺¹+xᵅ⁻¹  por xᵅ⁺¹+xᵅ+4xᵅ⁻¹

> Ordenando los términos de los factores:

xᵅ⁺²-xᵅ⁺¹-3xᵅ+xᵅ⁻¹

xᵅ⁺¹+xᵅ+4xᵅ⁻¹             .

x²ᵅ⁺³-x²ᵅ⁺²-3x²ᵅ⁺¹ +  x²ᵅ

          x²ᵅ⁺² - x²ᵅ⁺¹ -3x²ᵅ +   x²ᵅ⁻¹

                   4x²ᵅ⁺¹ -4x²ᵅ -12x²ᵅ⁻¹ +4x²ᵅ⁻²

x²ᵅ⁺³                      -6 x²ᵅ-11x²ᵅ⁻¹ +4x²ᵅ⁻²   Solución.

___________________________________________________

Ejercicio 43 del Libro.

Multiplicar:

1) aᵡ-aᵡ⁺¹+aᵡ⁺²  por  a+1

> Ordenando el factor trinomio:

aᵡ⁺²-aᵡ⁺¹+aᵡ

a+1                      .

aᵡ⁺³-aᵡ⁺²+aᵡ⁺¹

        aᵡ⁺² -aᵡ⁺¹+aᵡ

aᵡ⁺³                 +aᵡ   Solución.

___________________________________________________

2) xⁿ⁺¹+2xⁿ⁺²-xⁿ⁺³  por  x²+x

> ordenando el factor binomio:

xⁿ⁺¹+2xⁿ⁺²-xⁿ⁺³

x+x²                    .

xⁿ⁺²+2xⁿ⁺³ -  xⁿ⁺⁴

           xⁿ⁺³+2xⁿ⁺⁴-xⁿ⁺⁵

xⁿ⁺²+3xⁿ⁺³+  xⁿ⁺⁴-xⁿ⁺⁵   Solución.

___________________________________________________

3) mᵅ⁻¹+mᵅ⁺¹+mᵅ⁺²-mᵅ  por  m²-2m+3

> Ordenando el primer factor:

mᵅ⁺²+mᵅ⁺¹-mᵅ+mᵅ⁻¹

m²-2m+3                    .

. mᵅ⁺⁴+  mᵅ⁺³-  mᵅ⁺²+  mᵅ⁺¹

           -2mᵅ⁺³-2mᵅ⁺²+2mᵅ⁺¹-2mᵅ

                        3mᵅ⁺²+3mᵅ⁺¹-3mᵅ+3mᵅ⁻¹

. mᵅ⁺⁴ - mᵅ⁺³             +6mᵅ⁺¹-5mᵅ+3mᵅ⁻¹    Solución.

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Multiplicación de Polinomios.

              
                  
Procedimiento:
1) Se multiplican todos los términos del multiplicando por el primer término del multiplicador.
2) Se multiplican todos los términos del multiplicando por el segundo término del multiplicador; colocando los subproductos debajo de cada uno de los términos semejantes del primer subproducto, y así sucesivamente según el número de términos que contenga el multiplicador.
3) Por último se suman los subproductos para obtener el producto final.
Es recomendable que el polinomio que multiplica sea el menor de los polinomios.
También es recomendable ordenar los polinomios poniendo la literal, en orden alfabético y/o antes que los valores constantes.
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Ejemplos:

a) Multiplicar a-4 por 3+a

> Ordenando, multiplicando y sumando subproductos:
a -4
a +3           .
a² -4a
     3a -12
a²  - a -12    Solución.
__________________________________________

b) Multiplicar 4x-3y por -2y +5x

> Ordenando, multiplicando y sumando subproductos:
4x -3y
5x -2y                    .
20x² -15xy
        -  8xy +6y²
20x² -23xy +6y²   Solución.
__________________________________________

Ejercicio 41 del Libro.
Multiplicar:

1)  a+3 por a-1

a +3
a -1           .
a² +3a
    -   a -3
a² +2a -3   Solución.
___________________________________________

2) a-3 por a+1
a -3
a +1       .
a²  -3a
.   +  a -3
a² -2a -3   Solución.
___________________________________________

3) x+5 por x-4
x +5
x -4          .
x² +5x
.    -4x -20
x² + x -20   Solución.
___________________________________________

4) m-6 por m-5

m -6
m -5              .
m²  - 6m
      - 5m +30
m² -11m +30   Solución.
___________________________________________

7) 3x-2y por y +2x

3x -2y
2x + y             .
6x² -4xy
        3xy -2y²
6x² -  xy -2y²  Solución.
___________________________________________

8) -4y+5x por -3x+2y
5x -4y
-3x +2y               .
-15x² +12xy
.        +10xy  -8y²
-15x² +22xy -8y²   Solución.
___________________________________________

9) 5a-7b por a+3b
5a -7b
a +3b                 .
5a²  - 7ab
.      +15ab -21b²
5a² +  8ab -21b²   Solución.
___________________________________________

10) 7x -3  por  4 +2x

7x -3
2x +4              .
14x²  -  6x
        +28x -12
14x² +22x -12   Solución.
___________________________________________

12) 6m -5n  por  -n +m

6m -5n
m  -n                       .
6m² -  5mn
       -  6mn +5n²
6m² -11mn +5n²   Solución.
___________________________________________

Ejercicio 42.
Multiplicar:

1) x² +xy +y² por x-y
x² +xy +y²
x - y                 .
x³ +x²y +xy²
.    -x²y  -xy² -y³
x³    --     --  -y³     Solución.
___________________________________________

9) m³-m²+m -2 por am+a
m³ -m² +m -2
am +a                      .
am -am³ +am² -2am
.      +am³ - am² +am  -2a
am                   -am  -2a  Solución.
___________________________________________

14) m³-3m²n+2mn² por m²-2mn-8n²
m³-3m²n+2mn²
m²-2mn-8n²                                       .
m  -3mn +2m³n²
.      -2mn +6m³n² - 4 m²n³
.                  -8m³n²+24m²n³  -16mn.
m -5mn     ---    +20m²n³ -16mn   Solución.
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16) 2-3x²+x  por x²-2x+3
x -3x² +2
x² -2x +3                                   .
x          -3x         +2x²
.    -2x         +6x³          -4x
.           +3x           -9x²        +6
x -2x   ---  +6x³  -7x²  -4x +6   Solución.
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Multiplicación de polinomios por monomios.

                  

Procedimiento:

Multiplicar 3x^2-6x+7 por 4ax^2

a) Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, colocando los productos parciales indicados; luego se efectúan las operaciones indicadas para obtener el producto total.

--> 3x^2(4ax^2) -6x(4ax^2) +7(4ax^2) = 12ax^4 -24ax^3 +28ax^2

b) Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, colocando los productos parciales debajo de la línea.

-->  3x^2 -6x +7

.     4ax^2                             .

.    12ax^4 -24ax^3 +28ax^2 

Nota:
Recuerda aplicar la Ley de signos para la multiplicación y la Ley de Signos de los Exponentes, que dice que en la multiplicación se suman los exponentes.

En los ejercicios se aplicará el procedimiento b), que es el utilizado en el Álgebra y solamente en los ejercicios que tienen exponentes literales y numéricos se aplicará el procedimiento a), para su mejor desarrollo.

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Ejercicio 39 del Libro.

Multiplicar:

1) 3x^3 -x^2 por -2x -->

3x^3 -x^2

-2x                 .

-6x^4 -2x^3

---------------------------------------------------------------

2) 8x^2y  -3y^2 por 2ax^3 -->

8x^2y -3y^2

2ax^3                        .

16ax^5y -6ax^3y^2

---------------------------------------------------------------

3) x^2 -4x +3   por   -2x

x^2 -4x +3

-2x                      .

-2x^3 +8x^2 -6x

----------------------------------------------------------------

6) x^5 -6x^3 -8x  por  3a^2x^2

x^5 -6x^3 -8x

3a^2x^2                                       .

3a^2x^7 -18a^2x^5 -24a^2x^3

-----------------------------------------------------------------

10) a^m -a^(m-1) +a^(m-2)   por   -2a

-2a(a^m)  -2a{-a^(m-1)}  -2a{a^(m-2)} = -2a^(m+1) +2a^m -2a^(m-1)

-- 1º Producto -2a(a^m) = -2a^(m+1)

Se multiplican los coeficientes de "a":  -2(1)= -2 ; se copia la literal "a"  ;  y se suman los exponentes (1 de la "a" y la "m") = (m+1) --> todo es = -2a(m+1) 

-- 2º Producto: -2a{-a^(m-1)} = 2a^m

Se multiplican los coeficientes de "a": -2(-1) = 2 ;  se copia la literal "a" y se suman los exponentes (1 de la "a" y -1 de la "m") o sea m^(1-1) = m --> todo es = 2a^m

-- 3º Producto: -2a{a^(m-2)} = -2a^(m-1)

Se multiplican los coeficientes de "a":  -2(1) = -2  ;  se copia la literal "a" ;  y se suman los exponentes (1 de la "a" y -2 de la "m") o sea m^(1-2) = (m-1) --> todo es = -2a^(m-1)
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Nota:
Toda letra o literal que no tenga indicado un exponente, se sobreentiende que está elevada a la potencia (1)