Primer término y razón de una Progresión Geométrica.

Procedimiento:

1) Se encuentran los elementos para aplicar la fórmula.

2) Se aplica la fórmula respectiva para encontrar el resultado.

______________________________________________

Fórmulas:  

Primer término:   a = u/rⁿ⁻¹

Razón:  r = ⁿ⁻¹√(u/a)

______________________________________________

Ejemplos:

a) El 6° término de una progresión geométrica es ¹/₁₆ y la razón es ½.  Hallar el primer término.

> Elementos:  u = ¹/₁₆  ;  n = 6  ;  r = ½

> Aplicando la fórmula:

a = u/rⁿ⁻¹

a = ¹/₁₆ /(½)⁶⁻¹

a = ¹/₁₆ /(½)⁵

a = (¹/₁₆)/(¹/₃₂)

a = 2  Solución.

b) El 1° término de una progresión geométrica es 3 y el 6° término  -729.  Hallar la razón:

> Elementos:  a = 3  ;  u = -729  ;  n = 6

> Aplicando la fórmula:

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁶⁻¹√(-729/3)

r = ⁵√(-729/3)

r = ⁵√(-243)

r = -3   Solución.

_____________________________________________

Ejercicio 292.

1) La razón de una progresión geométrica es ½ y el 7° término 1/64.  Hallar el primer término.

> Elementos:  u = 1/64  ;  n = 7  ;  r = ½

> Aplicando la fórmula para “a”:

a = u/rⁿ⁻¹

a = ¹/₆₄ /(½)⁷⁻¹

a = ¹/₆₄ /(½)⁶

a = ¹/₆₄ / ¹/₆₄

a = 1   Solución.

_____________________________________________

3) El 5° término de una progresión geométrica es ¹⁶/₁₂₅ y el 6° término ³²/₆₂₅.  Hallar el 1° término.

> Elementos:  u = ³²/₆₂₅  ;  n = 6  ;  r=(³²/₆₂₅)÷(¹⁶/₁₂₅)=⅖

> Aplicando la fórmula:

a = u/rⁿ⁻¹

a = ³²/₆₂₅ /(⅖)⁶⁻¹

a = ³²/₆₂₅ /(⅖)⁵

a = (³²/₆₂₅)/(³²/₃₁₂₅)

a = 5   Solución.

_____________________________________________

5) Hallar la razón de ÷÷ ⅓……..:243  de 7 términos.

> Elementos:  a = ⅓  :  u = 243  ;  n = 7

> Aplicando la fórmula:

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁷⁻¹√(243/⅓)

r = ⁶√729

r = 3  Solución.

____________________________________________

7) Hallar la razón de ÷÷ ⁷²⁹/₂:……….:³/₂  de 6 términos.

> Elementos:  a = ⁷²⁹/₂  ;  u = ³/₂  ;  n = 6

> Aplicando la fórmula:

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁶⁻¹√(³/₂)/(⁷²⁹/₂)

r = ⁵√(¹/₂₄₃)

r = ⅓  Solución.

____________________________________________

Término enésimo de una Progresión Geométrica.

.     7° término de ÷÷ 3:2:4/3… .

Procedimiento:

1) Se encuentran los elementos para aplicar la fórmula

2) Se aplica la fórmula para encontrar el resultado.

Nota:  Para la Progresión Geométrica usaré como símbolo de la misma: ÷÷  

_____________________________________________

Fórmula: u = arⁿ⁻¹

_____________________________________________

Ejemplos:

a) Hallar el 5° término de ÷÷2:6:18….

> Elementos:  a = 2  ;  n = 5  : r = 6÷2 = 3

> Aplicando la fórmula:

u = arⁿ⁻¹

u = 2(3)⁵⁻¹

u = 2(3)⁴

u = 2(81)

u = 162    Solución.

b) Hallar el 8° término de ÷÷6:4….

> Elementos:  a = 6  ;  n = 8  ;  r = 4÷6 = 2/3

> Aplicando la fórmula:

u = 6(2/3)⁸⁻¹

u = 6(2/3)⁷

u = 6(128/2187)

u = 256/729   Solución.

c) Hallar el 7° término de ÷÷2/3:-1/2:3/8 ….

>  Elementos:  a = 2/3   n = 7  r = -1/2÷2/3 = -3/4

> Aplicando la fórmula:

u = 2/3(-3/4)⁷⁻¹

u = 2/3(-3/4)⁶

u = (2/3)(729/4096)

u = 243/2048    Solución.

__________________________________________

Ejercicio 291.

1) Hallar el 7° término de ÷÷3:6:12 ….

> Elementos:  a = 3  ;  n = 7  ;  r = 6÷3= 2

> Aplicando la fórmula:

u = 3(2)⁷⁻¹

u = 3(2)⁶

u = 3(64)

u = 192  Solución.

__________________________________________

3) Hallar el 9° término de ÷÷8:4:2 ….

> Elementos:  a = 8  ;  n = 9  ;  r =4÷8= ½

> Aplicando la fórmula:

u = 8(½)⁹⁻¹

u = 8(½)⁸

u = 8(1/256)

u = 1/32   Solución.

____________________________________________

6) Hallar el 6° término de ÷÷½:⅕ ….

> Elementos:  a = ½  ;  n = 6  ;  r = ⅕÷½= ⅖

> Aplicando la fórmula:

u = ½(⅖)⁶⁻¹

u = ½(⅖)⁵

u = ½(32/3125)

u = 16/3125   Solución.

____________________________________________

8) Hallar el 6° término de  ÷÷-3:6:-12….

> Elementos:  a = -3  ;  n = 6   ;  r=6÷-3= -2

> Aplicando la fórmula:

u = -3(-2)⁶⁻¹

u = -3(-2)⁵

u = -3(-32)

u = 96   Solución.

____________________________________________

11) Hallar el 8° término de ÷÷16:-4:1….

> Elementos:  a = 16  ;  n = 8  ;  r=-4÷16= -¼

> Aplicando la fórmula:

u = 16(-¼)⁸⁻¹

u = 16(-¼)⁷

u = 16(-1/16384)

u = -1/1024  Solución.

____________________________________________

Interpolación en una progresión aritmética.

. ÷3. ? . ? . ? . 11  |? Medios Aritméticos.

Procedimiento:

1) Se halla la razón por medio de la fórmula, tomando en cuenta que “n” será igual a los medios aritméticos que se piden más los extremos (primero y último términos) que son dados.

2) La razón que resulta se suma al primer término para obtener el segundo; luego la razón se suma al segundo término para obtener el tercero, y así sucesivamente, hasta completar la cantidad de medio aritméticos que se piden.

3) Se interpolan los medios aritméticos entre los extremos dados para formar la progresión aritmética.

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Ejemplos:

a) Interpolar 4 medios aritméticos entre 1 y 3.

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = 1  ;   u = 3   ;  n = 2+4 = 6

> Aplicando la fórmula para la razón:

r = u-a /n-1

r = 3-1 /6-1

r = ²̷₅

> Calculando los medios aritméticos:

1 + ²̷₅ = 1²̷₅       2° término

1²̷₅ + ²̷₅ = 1⁴̷₅    3° término

1⁴̷₅ + ²̷₅ = 2¹̷₅    4° término

2¹̷₅ + ²̷₅ = 2³̷₅    5° término

> Interpolando los medios aritméticos:

÷1. 1²̷₅. 1⁴̷₅. 2¹̷₅. 2³̷₅. 3    Solución.

b) Interpolar 5 medios aritméticos entre -2 y 5¼

> Encontrando la razón:

Elementos: a = -2  ;  u = 5¼ ; n = (2+5) = 7

r = u-a /n-1

r = 5¼ -(-2) /7-1

r = 5¼+2 /6

r = 7¼/6

r = 29/24

> Calculando los medios aritméticos:

-2 + ²⁹̷₂₄ = -¹⁹̷₂₄      Segundo término

-¹⁹̷₂₄ + ²⁹̷₂₄ = ¹⁰̷₂₄   Tercer término

¹⁰̷₂₄ + ²⁹̷₂₄ = ³⁹̷₂₄    Cuarto término

³⁹̷₂₄ + ²⁹̷₂₄ = ⁶⁸̷₂₄    Quinto término

⁶⁸̷₂₄ + ²⁹̷₂₄ = ⁹⁷̷₂₄    Sexto término

> Simplificando e interpolando los medios aritméticos:

÷-2. -¹⁹̷₂₄. ¹⁰̷₂₄. ³⁹̷₂₄. ⁶⁸̷₂₄. ⁹⁷̷₂₄. 5¼

÷-2. -¹⁹̷₂₄. ⁵̷₁₂. 1⁵̷₈. 2⁵̷₆. 4¹̷₂₄. 5¼    Solución.

____________________________________________

Ejercicio 289.

Interpolar:

1)  3 medios aritméticos entre 3 y 11

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = 3  ;  u = 11  ;  n = 5

r = u-a /n-1

r = 11-3 /5-1

r = 8/4

r = 2

> Calculando los medios aritméticos:

3+2 = 5   Segundo término

5+2 = 7   tercer término

7+2 = 9   cuarto término

> Interpolando los medios aritméticos:

÷3. 5. 7. 9. 11   Solución.

__________________________________________

2) 7 medios aritméticos entre 19 y -5

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = 19   ;  u = -5   ;  n = 9

r = u-a /n-1

r = -5-(19) /9-1

r = -5-19 / 8

r = -24/8

r = -3

> Calculando los medios aritméticos:

19-3 = 16   segundo término

16-3 = 13   tercer término

13-3 = 10   cuarto término

10-3 = 7     quinto término

7-3 = 4       sexto término

4-3 = 1       séptimo término

1-3 = -2      octavo término

> Interpolando los medios aritméticos:

÷19. 16. 13. 10. 7. 4. 1. -2. -5    Solución.

____________________________________________

3) 5 medios aritméticos entre -13 y -73

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = -13   ;   u = -73   ; n = 7

r = u-a /n-1

r = -73-(-13) /7-1

r = -73+13 /6

r = -60/6

r = -10

> Calculando los medios aritméticos:

-13-10 = -23

-23-10 = -33

-33-10 = -43

-43-10 = -53

-53-10 = -63

> Interpolando los medios aritméticos:

÷-13. -23. -33. -43. -53. -63. -73    Solución

___________________________________________

4)  4 medios aritméticos entre -32 y 53

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = -32  ;  u = 53  ;  n = 6

r = 53-(-32) /6-1

r = 53+32 /5

r = 85/5

r = 17

> Calculando los medios aritméticos:

-32+17 = -15

-15+17 = 2

2+17 = 19

19+17 = 36

> Interpolando los medios aritméticos:

÷-32. -15. 2. 19. 36. 53   Solución.

____________________________________________

11)  5 medios aritméticos entre 2/3 y -1/8

> Encontrando la razón:

Elementos:  a= 2/3  ;  u = -1/8  ;  n = 7

r =  -1/8 -(2/3) / 7-1

r = -1/8 -2/3 / 6

r = -19/24 /6

r = -19/144

> Calculando los medios aritméticos:

2/3 -19/144 = 77/144

77/144 -19/144 = 29/72

29/72 -19/144 = 13/48

13/48 -19/144 = 5/36

5/36 -19/144 = 1/144

> Interpolando los medios aritméticos:

÷2/3 . 77/144 . 29/72 . 13/48 . 5/36 . 1/144 . -1/8   Solución

____________________________________________

Suma de los términos de una progresión aritmética.

.        Suma: S = (a+u)n /2

Procedimiento:

1) Se realizan las operaciones que sean necesarias para simplificar las cantidades de los términos.

2) Se encuentran los elementos que falten para aplicar la fórmula de la suma.

3) Se aplica la fórmula de la Suma.

____________________________________________________

Fórmula:   S = (a+u)n /2

____________________________________________________

Ejemplos:

a) Hallar la suma de los 12 primeros términos de ÷7.13.19… .

> Hallando los elementos para aplicar la fórmula de la suma:

a = 7   ;    n = 12    ;  r = 6

> Como el valor del último término (u), no se sabe,

se procede a encontrarlo por medio de su fórmula:

u = a+(n-1)r

u = 7+(12-1)(13-7)

u = 7+(11)(6)

u = 7+66 = 73

> Teniendo el valor de todos los elementos que intervienen en la fórmula

se procede a aplicarla:

S = (a+u)n /2

S=  (7+73)(12) /2

S = (80)(12) /2

S = 960/2

S = 480    Solución.

b) Hallar la suma de los 13 primeros términos de ÷5/6.1/12… .

> Hallando los elementos para la fórmula de la suma:

a = 5/6   ;    n = 13    ;  r = -9/12 

> Como el valor del último término “u”, no se sabe,

se procede a encontrarlo por medio de su fórmula:

u = a+(n-1)r

u = 5/6+(13-1)(1/12 – 5/6)

u = 5/6+(12)(– 3/4)

u = 5/6+(-9) = 5/6 -9 =

u = -49/6

> Teniendo todos los elementos que intervienen en

la fórmula de la suma, se procede a aplicarla:

S = (a+u)n /2

S = [5/6 +(-49/6)](13)/2

S = [5/6 -49/6)](13) /2

S = (-22/3)(13)/2

S = -286/3  /2

S = -143/3 = -47 ²/₃   Solución.

___________________________________________________

Ejercicio 288.

1) Hallar la suma de los 8 primeros términos de ÷15.19.23….

> Hallando los elementos de la fórmula de la suma:

a = 15   ;  n = 8   ;  r = 4

> Hallando antes el valor del último término:

u = a+(n-1)r

u = 15+(8-1)(19-15)

u = 15+(7)(4)

u = 43

> Aplicando la fórmula de la suma:

S = (a+u)n /2

S = (15+43)(8) /2

S = (58)(8) /2

S = 464/2 = 232   Solución.

____________________________________________________

4) Hallar la suma de los 80 primeros términos de ÷-10.-6.-2….

> Hallando los elementos para la suma:

a = -10   ;   n = 80   ;   r = 4

> Encontrando el valor “u”:

u = a+(n-1)r

u = -10+(80-1)(-6 –(-10))

u = -10+(79)(-6+10)

u = -10+(79)(4)

u = -10 +316

u = 306

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = (-10+306)80 /2

S = (296)80 /2

S = 23680/2 = 11840  Solución.

___________________________________________________

8) Hallar la suma de los 14 primeros términos de ÷3/10. 2/5. 1/2….

> Convirtiendo las fracciones a un mismo denominador:

÷3/10. 4/10. 5/10

> Encontrando los elementos para la fórmula de suma:

a = 3/10   ;  n = 14  ;   r = 1/10

> Encontrando el valor del “u”

u = 3/10+(14-1)(4/10-3/10)

u = 3/10+(13)(1/10)

u = 3/10+13/10 = 16/10

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = (3/10+16/10)(14)/2

S = (19/10)(14)/2

S = (133/5)/2 = 133/10 = 13³̷₁₀   Solución

____________________________________________

11) Hallar los primeros 11 términos de ÷2¹̷₃. 3²̷₁₅….

> Convirtiendo las fracciones a un mismo denominador:

÷35/15. 47/15….

> Encontrando los elementos para la suma:

a = 35/15  ;  n =11   ;  r = 12/15

> Encontrando el valor de “u”:

u = 35/15+(11-1)(47/15 – 35/15)

u = 35/15+(10)(12/15)

u = 35/15+120/15

u = 155/15 = 31/3

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = (35/15+155/15)(11)/2

S = (190/15)(11) /2

S = 418/3 /2 = 69²̷₃   Solución

Primer término, razón y número de términos de una progresión aritmética.

Primer término:  a = u-(n-1)r 

Razón: r = u-a / n-1

Número de términos: n = u-a+r /r 

Procedimiento:

Se encuentra el primer término, la razón y el número de términos por medio de su respectiva fórmula.

1) Se efectúan las operaciones necesarias para simplificar los números de la progresión, si fuera necesario.

2) Se hallan los elementos que intervienen en la fórmula.

3) Se aplica la fórmula respectiva.

_____________________________________________

Fórmulas:

a = u-(n-1)r     <-- Primer término

r = u-a / n-1   <-- Razón

n = u-a+r /r    <-- Número de términos

_____________________________________________ 

Ejemplos:

a) Hallar el primer término de una progresión aritmética sabiendo que el 11° término es 10 y la razón ½.

> Hallando los elementos:

u = 10  ;  r = ½  ;  n = 11

> Utilizando la fórmula para “a”:

a = u-(n-1)r

a = 10-(11-1)(1/2)

a = 10-(10)(1/2)

a = 10-(5)

a = 5   Solución.

b) Hallar la razón de una progresión aritmética cuyo primer término es –¾ y el 8° término es 3¹̷₈:

> Convirtiendo –¾ en octavos  = -⁶̷₈

.  convirtiendo 3¹̷₈ en octavos = ²⁵̷₈

> Hallando los elementos:

a = -⁶̷₈  ;  u = ²⁵̷₈  ;   n = 8

> Utilizando la fórmula para “r”:

r = u-a/n-1

r = ²⁵̷₈-(-⁶̷₈) /8-1

r = (²⁵̷₈+⁶̷₈) /7

r = ³¹̷₈ /7

r = ³¹̷₅₆  Solución.

c) ¿Cuántos términos tiene la progresión  ÷2.1²̷₃……….-4¹̷₃?

> Convirtiendo los elementos a fracciones impropias:

2 = ⁶̷₃

1²̷₃ = ⁵̷₃

-4¹̷₃ = -¹³̷₃

> Hallando los elementos:

u = -¹³/₃

a = ⁶̷₃

r = ⁵̷₃-⁶̷₃ = -¹̷₃

> Utilizando la fórmula:

n = u-a+r /r

n = -¹³/₃-(⁶̷₃)+(-¹̷₃)/-¹̷₃

n = (-¹³/₃-⁶̷₃-¹̷₃)/-¹̷₃

n = -²⁰̷₃ / -¹̷₃

n = 20  Solución.

____________________________________________

Ejercicio 287.

1) El 15° término de una progresión aritmética es 20 y la razón es ²̷₇.  Hallar el 1° término.

> Hallando los elementos:

u = 20    ;   n = 15   ;   r = ²̷₇

> Utilizando la fórmula:

a = u-(n-1)r

a = 20 -(15-1)(²̷₇)

a = 20 -(14)(²̷₇)

a = 20 -(4)

a = 16   Solución.

____________________________________________

2) El 32° término de una progresión aritmética es -18 y la razón es 3.  Hallar el 1° término.

> Hallando los elementos:

u = -18   ;   n = 32  ;   r = 3

> Utilizando  la fórmula:

a = u-(n-1)r

a = -18-(32-1)(3)

a = -18-(31)(3)

a = -18-(93)

a = -111    Solución.

_________________________________________________

5) Hallar la razón de ÷3………8   donde 8 es el 6° término:

> Hallando los elementos:

a = 3   ;  u = 8   ;  n = 6

> Utilizando la fórmula:

r = u-a /n-1

r = 8-(3) /6-1

r = 8-3 /5

r = 5/5

r = 1   Solución.

_________________________________________________

6) Hallar la razón de ÷-1………-4  donde -4 es el 10° término:

> Hallando los elementos:

u = -4    ;    a = -1      ;   n = 10

> Utilizando la fórmula:

r = u-a /n-1

r = -4-(-1) / 10-1

r = -4+1) / 9

r = -3 / 9

r = - ¹̷₃   Solución.

_________________________________________________

11) ¿Cuántos términos tiene la progresión  ÷5.5¹̷₃ . ....18?

> Hallando los elementos:

u = 18   ;  a = 5   ;  r =  5¹̷₃- 5 = ¹̷₃

> Utilizando la fórmula:

n = u-a+r /r

n = 18-(5)+( ¹̷₃) /¹̷₃

n = 18-5+¹̷₃ /¹̷₃

n = ⁴⁰̷₃ /¹̷₃

n = 40   Solución.

_____________________________________________

Término enésimo de una progresión aritmética.

.   12º término (u) de ÷11.6.1....  = -44 

El término enésimo (u) es igual al primer término (a) más el producto del número de términos menos 1 (n-1) por la razón (r).

u = a+(n-1)r

Símbolo de una Progresión Aritmética (÷)

__________________________________________________

Ejemplos:

a) Hallar el 15° término de ÷ 4.7.10….

Los elementos son:

a = 4   ;   n = 15   ;    r = 3

Como cada término siguiente va en aumento o sea creciente la razón se suma (4+3=7)

Utilizando la fórmula:

u = a+(n-1)r

u = 4+(15-1)3

u = 4+(14)(3)

u = 4+42

u = 46   Solución: enésimo término.

b) Hallar el 23° término de ÷ 9.4.-1….

Los elementos son:

a = 9  ;  n = 23  ;  r = -5

Como cada término siguiente va disminuyendo o sea decreciente, la razón es resta (9-5=4)

Utilizando la fórmula:

u = a+(n-1)r

u = 9+(23-1)-5

u = 9+(22)(-5)

u = 9+(-110)

u = -101    Solución.

c) Hallar el 38° término de  ÷2/3. 3/2. 7/3….

Los elementos son:

a = 2/3  ;   n = 38   ;   r = 5/6

En este caso la razón se encuentra restando el segundo término del primero: 3/2 -2/3 = 5/6, 

y luego se comprueba la razón sumando al primer término la razón; al segundo término se suma la misma razón y así sucesivamente: 2/3 + 5/6 = 3/2;   y   3/2 + 5/6 = 7/3

Utilizando la fórmula:

u = a+(n-1)r

u = 2/3+(38-1)(5/6)

u = 2/3 + (37)(5/6)

u = 2/3 + 185/6

u = 63/2

u = 31 ½   Solución.

___________________________________________

Ejercicio 286.

1) Hallar el 9° término de ÷7.10.13

> Hallando los elementos:

a = 7  ;  n = 9  ;  r = 3

> Utilizando la fórmula:

u = a+(n-1)r

u = 7+(9-1)(3)

u = 7+(8)(3) = 7+24

u = 31  Solución.

__________________________________________

4) Hallar el 63° término de  ÷3.10.17….

> Hallando los elementos:

a = 3  ;  n = 63  ;  r = 7

> Utilizando la fórmula:

u = 3+(63-1)(7)

u = 3+(62)(7) = 3+434

u = 437   Solución

__________________________________________

7) Hallar el 13° término de ÷3.-1.-5….

> Hallando los elementos:

a = 3  ;  n = 13  ;  r = -4

> Utilizando la fórmula:

u = 3+(13-1)(-4)

u = 3+(12)(-4) = 3+(-48)

u = -45   Solución

__________________________________________

11) Hallar el 12° término de  ÷½. ¾.1….

> Hallando los elementos:

a = ½   ;   n = 12   ;  r = ¼

> Utilizando la fórmula:

u = ½+(12-1)(¼)

u = ½+(11)(¼) = ½+11/4

u = 13/4 = 3¼   Solución.

__________________________________________

16) Hallar el 36° término de  ÷7/9. 1/3….

> Convirtiendo las fracciones a un mismo denominador:

1/3 por 3/3 = 3/9

y la progresión sería:  ÷7/9. 3/9….

> Hallando los elementos:

a = 7/9  ;  n = 36   ;  r = -4/9

> Utilizando la fórmula:

u = 7/9+(36-1)(-4/9)

u = 7/9+(35)(-4/9)

u = 7/9+(-140/9)

u = -133/9 = -14⁷̷₉  Solución

_________________________________________

Descomponer un trinomio en factores, hallando las raíces.

Descomponer un trinomio en factores, hallando las raíces.

1) Se iguala el trinomio a cero y se hallan las raíces de la ecuación x₁ , x₂.

2) Se descompone el trinomio en tres factores:

a) El coeficiente de x².

b) “x” menos una de las raíces.

c) “x” menos la otra raíz.

3) Se simplifican los paréntesis.  

4) Se dividen los factores entre el coeficiente de x².

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Ejemplos:

a) Descomponer en factores el trinomio  6x²+5x-4

> Igualando a cero el trinomio

6x²+5x-4 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(5)±√(5)²-4(6)(-4)]/2(6)

x = [-5±√25+96]/12

x = [-5±√121]/12

x = [-5±11]/12

–>

x₁ = (-5+11)/12 = 6/12 = ½

x₂ = (-5-11)/12 = -16/12 = -4/3

> Descomponiendo la ecuación en factores:

6x² +5x -4

= 6(x-1/2)(x-(-4/3)

= 6(x-1/2)(x +4/3)

> Simplificando los  paréntesis y dividiendo

Los factores entre el coeficiente de x²

= 6(2x-1)(3x +4)

.            6

> Eliminando el 6 del numerador y el denominador:

(2x -1)(3x +4)     Solución.

_________________________________________

b) Descomponer en factores el trinomio 24x²+26x+5

> Igualando a cero el trinomio:

24x²+26x+5 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(26)±√(26)²-4(24)(5)]/2(24)

x = [-26±√676-480]/48

x = [-26±√196]/48

x = [-26±14]/48

–>

x₁ = (-26+14)/48 = -12/48 = – ¼

x₂ = (-26-14)/48 = -40/48 = – 5/6

> Descomponiendo la ecuación en factores:

24x²+26x+5 = 0

= 24[x-(-1/4)][x-(-5/6)]

= 24(x +1/4)(x +5/6)

> Simplificando los paréntesis

= 24(4x+1)(6x+5)

> Dividiendo los factores entre el coeficiente de x²

= 24(4x+1)(6x+5)

.          24

(4x+1)(6x+5)    Solución.

________________________________________

c) Descomponer en factores el trinomio 4+7x-15x²

> Ordenando el trinomio e igualándolo a cero y

cambiando el signo a los términos.

-15x²+7x+4 = 0

15x²-7x-4 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(-7)±√(-7)²-4(15)(-4)]2(15)

x = [7±√49+240]/30

x = [7±√289]/30

x = [7±17]/30

–>

x₁ = (7+17)/30 = 24/30 = 4/5

x₂ = (7-17)/30 = -10/30 = – 1/3

> Descomponiendo la ecuación en factores:

-15x²+7x+4 = 0

= -15[x-(4/5)][x-(-1/3)

= -15(x -4/5)(x +1/3)

> Simplificando los paréntesis y dividiendo

Entre el coeficiente de x²

= -15(5x-4)( 3x+1)

.          15

> Eliminando el 15 del numerador y el denominador:

= -(5x-4)(3x+1)

= (-5x+4)(3x+1)          <– * Ver nota

= (4-5x)(1+3x)     Solución.

* Nota: Como el primer factor –(5x+4), tiene un signo “-“ antes del paréntesis, se elimina cambiándole el signo a lo que está dentro y luego se cambia de orden de los elementos para dejar de primero el elemento positivo; como  consecuencia se cambia el orden de los elementos del otro factor (3x+1), pero estos sin cambiarles el signo.   

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Ejercicio 280.

Descomponer en factores, hallando las raíces:

1) x²-16x+63

> Igualando a cero el trinomio:

x²-16x+63 =  0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(-16)±√(-16)²-4(1)(63)]/2(1)

x = [16±√256-252]/2

x = [16±√4]/2

x = [16±2]/2

–>

x₁ = (16+2)/2 = 18/2 = 9

x₂ = (16-2)/2 = 14/2 = 7

> Descomponer la ecuación en factores:

x²-16x+63 =  0

= 1(x-9)(x-7)

= (x-9)(x-7)     Solución.

_________________________________________

3) x²-26x-155

 > Igualando el trinomio a cero:

x²-26x-155 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(-26)±√(-26)²-4(1)(-155)]/2(1)

x = [26±√676+620]/2

x = [26±√1296]/2

x = [26±36]/2

–>

x₁ = (26+36)/2 = 62/2 = 31

x₂ = (26-36)/2 = -10/2 = -5

> Descomponiendo el trinomio en factores:

x²-26x-155

= 1(x-31)(x-(-5))

= (x-31)(x+5)   Solución.

_________________________________________

8) 12x²-25x+12

> Igualando el trinomio a cero:

12x²-25x+12 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(-25)±√(-25)²-4(12)(12)]/2(12)

x = [25±√(625-576]/24

x = [25±√49]/24

x = [25±√7]/24

–>

x₁ = (25+7)/24 = 32/24 = 4/3

x₂ = (25-7)/24 = 18/24 = ¾

> Descomponiendo el trinomio en factores:

12x²-25x+12

= 12(x – 4/3)(x – 3/4)

> Simplificando los paréntesis y dividiendo

Entre el coeficiente de x²:

12(3x-4)(4x-3)

.          12

> Eliminando 12 del numerador y el denominador:

(3x-4)(4x-3)   Solución.

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11) 30x²-61x+30

> Igualando el trinomio a cero:

30x²-61x+30 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(-61)±√(-61)²-4(30)(30)]/2(30)

x = [61±√3721-3600]/60

x = [61±√121]/60

x = [61±11]/60

–>

x₁ = (61+11)/60 = 72/60 = 6/5

x₂ = (61-11)/60 = 50/60 = 5/6

> Descomponiendo el trinomio en  factores:

30x²-61x+30

30(x -6/5)(x -5/6)

> Simplificando el paréntesis y dividiendo

entre el coeficiente de x²

30(5x-6)(6x-5)

.         30

> Eliminando el 30 del numerador y el denominador:

(5x-6)(6x-5)   Solución.

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16) 4+13x-12x²

> Ordenando el trinomio e igualándolo a cero:

-12x²+13x+4 = 0

12x²-13x-4 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(-13)±√(-13)²-4(12)(-4)]/2(12)

x = [13±√169+192]/24

x = [13±√361]/24

x = [13±19]/24

–>

x₁ = (13+19)/24 = 32/24 = 4/3

x₂ = (13-19)/24 = -6/24 = – ¼

> Descomponiendo el trinomio en factores:

-12x²+13x+4

-12(x – 4/3)(x –(-1/4)

> Simplificando los paréntesis y dividiendo

entre el coeficiente de x²

-12(3x-4)(4x+1)

.        12

> Eliminando el 12 del numerador y el denominador:

-(3x-4)(4x+1)

> Resolviendo el signo menos antes del primer factor

(-3x+4)(4x+1)

> Cambiando el orden de los elementos de los factores.

para dejar como primer elemento un positivo:

(4-3x)(1+4x)    Solución.

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Dada la suma y el producto de dos números, hallar los números.

1) Se construye la ecuación x²+bx+c = 0 :  donde le 1° término será x²; el 2° término será la suma de los números con el signo cambiado, y el 3° término será el producto de los números con su propio signo.

2) Si al construir x²+bx+c = 0 , la suma y/o el producto de los números, es o son fracciones, toda la ecuación se debe dividir entre el m.c.m. de los denominadores, con lo que la ecuación cambiará a la forma ax²+bx+c = 0.

3) Para ambos casos, es recomendable usar la fórmula general o por medio de factorización.

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Ejemplos:

a) La suma de dos números es 4 y su producto es -396, hallar los números:

> Construyendo la ecuación:

x² -4x -396 = 0

> Aplicando la fórmula:

x = [-(b)±√(b)²-4ac]/2(a)

x = [-(-4)±√(-4)²-4(1)(-396)]/2(1)

x = [4±√16+1584]/2

x = [4±√1600]/2

x = (4±40)/2

–>

x₁ = (4+40)/2 = 44/2 = 22

x₂ = (4-40)/2 = -36/2 = -18

b) La suma de dos números es -35/4 y su producto 6.  Hallar los números.

> Construyendo la ecuación:

x²+35/4x+6 = 0

> Convirtiendo la ecuación a la forma ax+bx+c = 0:

x²+35/4x+6 = 0 ÷ 4

4x²+35x+24 = 0

> Resolviendo por la fórmula:

x = [-(35)±√(35)²-4(4)(24)]/2(4)

x = [-35±√1225-384]/8

x = [-35±√841]/8

x = [-35±29]/8

–>

x₁ = (-35+29)/8 = -6/8 = – ¾

x₂ = (-35-29)/8 = -64/8 = -8

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Ejercicio 279.

(Aquí utilizaré la fórmula en algunos casos y en otros la fórmula y la factorización, para que veas cual es más fácil y menos laboriosa)

Encontrar dos números sabiendo que

1) La suma es 11 y el producto es 30.

> Construyendo la ecuación:

x²-11x+30 = 0

> Resolviendo por fórmula:

x = [-(-11)±√(11)²-4(1)(30)]/2(1)

x = [11±√121-120]/2

x = [11±√1]/2

x = [11±1]/2

–>

x₁ = (11+1)/2 = 12/2 = 6

x₂ = (11-1)/2 = 10/2 = 5

> Resolviendo por factorización:

x²-11x+30 = 0

(x-6)(x-5) = 0

> Igualando los factores a cero:

x-6 = 0  –>  x₁ = 6

x-5 = 0  –>  x₂ = 5

__________________________________________________

2) La suma es -33 y el producto 260.

> Construyendo la ecuación:

x²+33x+260 = 0

> Resolviendo por la fórmula:

x = [-(33)±√(33)²-4(1)(260)]/2(1)

x = [-33±√1089-1040]/2

x = [-33±√49]/2

x = [-33±7]/2

–>

x₁ = (-33+7)/2 = -26/2 = -13

x₂ = (-33-7)/2 = -40/2 = -20

> Resolviendo por factorización:

x²+33x+260 = 0

(x+13)(x+20) = 0

> Igualando los factores a cero:

x+13 = 0  –>  x₁ = -13

x+20 = 0  –>  x₂ = -20

__________________________________________________ 

6) La suma es 3/2 y su producto -1

> Construyendo la ecuación:

x² -3/2x -1 = 0

Convirtiendo a la forma ax²+bx+c = 0

x² -3/2x -1 = 0 ÷ 2

2x ²-3x -2 = 0

> Resolviendo por la fórmula:

x = [-(-3)±√(-3)²-4(2)(-2)]/2(2)

x = [3±√9+16]/4

x = [3±√25]/4

x = [3±5]/4

–>

x₁ = (3+5)/4 = 8/4 = 2

x₂ = (3-5)/4 = -2/4 = – ½

> Resolviendo por factorización:

2x²-3x-2 = 0

(2x)²-3(2x)-4 = 0

(2x-4)(2x+1) = 0

.   2        1

(x-2)(2x+1) = 0

> Igualando los factores a cero:

x-2 = 0 –>  x₁ = 2

2x+1 = 0  –>  x₂ = – ½

__________________________________________________

8) La suma es ¼ y su producto -3/8

> Construyendo la ecuación:

x² -1/4x -3/8 = 0

> Convirtiendo la ecuación a la forma ax²+bx+c = 0

 x² -1/4x -3/8  ÷ 8

8x² -2x -3 = 0

> Resolviendo por la fórmula:

x = [-(-2)±√(-2)²-4(8)(-3)]2(8)

x = [2±√4+96]/16

x = [2±√100]/16

x = [2±10]/16

–>

x₁ = (2+10)/16 = 12/16 = ¾

x₂ = (2-10)/16 = -8/16 = – ½

> Resolviendo por factorización:

8x² -2x -3 = 0

(8x)² -2(8x)-24 = 0

(8x-6)(8x+4) = 0

.   2        4

(4x-3)(2x+1) = 0

> Igualando los factores a cero:

4x-3 = 0   –>  x₁ =  ¾

2x+1 = 0  –>  x₂ = – ½