Primer término, razón y número de términos de una progresión aritmética.

Primer término:  a = u-(n-1)r 

Razón: r = u-a / n-1

Número de términos: n = u-a+r /r 

Procedimiento:

Se encuentra el primer término, la razón y el número de términos por medio de su respectiva fórmula.

1) Se efectúan las operaciones necesarias para simplificar los números de la progresión, si fuera necesario.

2) Se hallan los elementos que intervienen en la fórmula.

3) Se aplica la fórmula respectiva.

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Fórmulas:

a = u-(n-1)r     <-- Primer término

r = u-a / n-1   <-- Razón

n = u-a+r /r    <-- Número de términos

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Ejemplos:

a) Hallar el primer término de una progresión aritmética sabiendo que el 11° término es 10 y la razón ½.

> Hallando los elementos:

u = 10  ;  r = ½  ;  n = 11

> Utilizando la fórmula para “a”:

a = u-(n-1)r

a = 10-(11-1)(1/2)

a = 10-(10)(1/2)

a = 10-(5)

a = 5   Solución.

b) Hallar la razón de una progresión aritmética cuyo primer término es –¾ y el 8° término es 3¹̷₈:

> Convirtiendo –¾ en octavos  = -⁶̷₈

.  convirtiendo 3¹̷₈ en octavos = ²⁵̷₈

> Hallando los elementos:

a = -⁶̷₈  ;  u = ²⁵̷₈  ;   n = 8

> Utilizando la fórmula para “r”:

r = u-a/n-1

r = ²⁵̷₈-(-⁶̷₈) /8-1

r = (²⁵̷₈+⁶̷₈) /7

r = ³¹̷₈ /7

r = ³¹̷₅₆  Solución.

c) ¿Cuántos términos tiene la progresión  ÷2.1²̷₃……….-4¹̷₃?

> Convirtiendo los elementos a fracciones impropias:

2 = ⁶̷₃

1²̷₃ = ⁵̷₃

-4¹̷₃ = -¹³̷₃

> Hallando los elementos:

u = -¹³/₃

a = ⁶̷₃

r = ⁵̷₃-⁶̷₃ = -¹̷₃

> Utilizando la fórmula:

n = u-a+r /r

n = -¹³/₃-(⁶̷₃)+(-¹̷₃)/-¹̷₃

n = (-¹³/₃-⁶̷₃-¹̷₃)/-¹̷₃

n = -²⁰̷₃ / -¹̷₃

n = 20  Solución.

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Ejercicio 287.

1) El 15° término de una progresión aritmética es 20 y la razón es ²̷₇.  Hallar el 1° término.

> Hallando los elementos:

u = 20    ;   n = 15   ;   r = ²̷₇

> Utilizando la fórmula:

a = u-(n-1)r

a = 20 -(15-1)(²̷₇)

a = 20 -(14)(²̷₇)

a = 20 -(4)

a = 16   Solución.

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2) El 32° término de una progresión aritmética es -18 y la razón es 3.  Hallar el 1° término.

> Hallando los elementos:

u = -18   ;   n = 32  ;   r = 3

> Utilizando  la fórmula:

a = u-(n-1)r

a = -18-(32-1)(3)

a = -18-(31)(3)

a = -18-(93)

a = -111    Solución.

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5) Hallar la razón de ÷3………8   donde 8 es el 6° término:

> Hallando los elementos:

a = 3   ;  u = 8   ;  n = 6

> Utilizando la fórmula:

r = u-a /n-1

r = 8-(3) /6-1

r = 8-3 /5

r = 5/5

r = 1   Solución.

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6) Hallar la razón de ÷-1………-4  donde -4 es el 10° término:

> Hallando los elementos:

u = -4    ;    a = -1      ;   n = 10

> Utilizando la fórmula:

r = u-a /n-1

r = -4-(-1) / 10-1

r = -4+1) / 9

r = -3 / 9

r = - ¹̷₃   Solución.

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11) ¿Cuántos términos tiene la progresión  ÷5.5¹̷₃ . ....18?

> Hallando los elementos:

u = 18   ;  a = 5   ;  r =  5¹̷₃- 5 = ¹̷₃

> Utilizando la fórmula:

n = u-a+r /r

n = 18-(5)+( ¹̷₃) /¹̷₃

n = 18-5+¹̷₃ /¹̷₃

n = ⁴⁰̷₃ /¹̷₃

n = 40   Solución.

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