Resta de Monomios.

Para restar monomios se le cambia el signo al sustraendo (o sea al que resta), y luego se opera como suma de monomios; tomando en cuenta la ley de signos para la suma.

Cuando los términos no son semejantes, solo se deja indicada la suma.

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Ejercicio 20 del Libro.   

     De: ...   Restar ...

1) De -8 restar 5

--> -8 -(5)

= -8 -5 = -13

2) De -7 restar 4

--> -7 -(4)

= -7 -4 = -11

3) De 8 restar 11

--> 8 -(-11)

= 8 -11 = -3

4) De -8 restar -11

--> -8 -(-11)

= -8 +11 = 3

-----------------------------------------------------------------------------------------------

6) De 2a  restar  3b    

--> 2a – (3b) 

=  2a- 3b

----------------------------------------------------------------------------------------------- 

12) De -7xy restar -5yz 

-->    -7xy -(-5yz) 

= -7xy +5yz

-----------------------------------------------------------------------------------------------

16) De 11a^3m^2  restar  -7a^3m^2  

--> 11a^3m^2 – ( -7a^3m^2 ) =

= 11a^3m^2 +7a^3m^2 

= 18a^3m^2

-----------------------------------------------------------------------------------------------

24) De 54b^(n-1) restar -86b^(n-1) 

-->  54b^(n-1) -(-86b^(n-1) 

=  54b^(n-1) + 86b^(n-1) 

= 140b(n-1)

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Recuerda:

- Términos semejantes son cuando tienen la misma literal y el mismo exponente.

- Cuando las variables, no son semejantes, solamente se deja indicada la

operación.

- En la resta de monomios de términos semejantes, se operan solamente los coeficientes y las variables se copian al resultado con su respectivo exponente.

- Aplicar la ley de signos para la suma.

Suma de polinomios y su valor numérico.

Procedimiento:

1) Se efectúa la suma algebraica normalmente, 

2) Por separado se indican las operaciones, sustituyendo el valor dado para cada para cada variable.

3) Por separado se indican el resultado las operaciones verticales y horizontales. 

El total vertical debe ser igual al total horizontal.

4) Se comprueba el resultado algebraico (si es que te lo piden), sustituyendo el valor de la variable(s) dada(s) y este debe ser igual al total de la columna vertical y horizontal de la suma numérica. 

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Ejercicio 19 del Libro

Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numérico del resultado,

para:    a = 2 ,   b= 3 ,   c = 10 ,   x = 5 ,    y = 4 ,  m =  2/3 ,  n = 1/5

Sumar:

1) 4x – 5y  ;  -3x + 6y – 8  ;  -x + y.

Suma Algeb    Sustituyendo       Suma vertical y horizontal

4x – 5y                  4(5)   –  5(4)                20  – 20      = 0       

-3x + 6y – 8         -3(5)  + 6(4) - 8           -15  + 24 - 8 = 1

-  x +   y        .       – (5)  +  (4)                 – 5   +  4       =  -1

      + 2y – 8                                                  0   +  8 - 8 = 0  

Comprobando:

2y -8 

= 2(4) -8

= 8 -8

= 0     ( Este resultado es igual al resultado del procedimiento numérico).

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2) x^2 -5x +8 ;  -x^2 +10x -30 ;  -6x^2 +5x -50

   x^2  -  5x + 8        (5)^2 -   5(5) + 8        25 -25+ 8 =     8

-  x^2 +10x -30       -(5)^2 +10(5) -30       -25+50-30 =    -5

-6x^2 +  5x -50     -6(5)^2 +  5(5) -50     -150+25-50 = -175

-6x^2 +10x-72                                         -150+50-72 = -172

Comprobando:

-6x^2 +10x-72 

= -6(5^2) + 10(5) -72

= -6(25) + 50 -72

=-150 +50 -72

= -172

 --------------------------------------------------------------------------------------------

5) nx + cn – ab ;  -ab + 8nx - 2cn ;  -ab + nx -5

    nx  –  ab +   cn          (1/5)5 – 2(3) +   10(1/5)        1 –  6 +  2         =  -  3

  8nx  –  ab –2cn         8(1/5)5 – 2(3) –2(10)(1/5)       8 –  6  – 4         =  -  2

    nx   –  ab           -5     (1/5)5 – 2(3)                   -5   1 –   6          - 5 =  - 10

10nx   - 3ab - cn -5                                                  10 - 18 – 2  -  5 = - 15

Comprobando:

10nx   - 3ab - cn -5 

= 10(1/5)(5) -3(2)(3) -(10)(1/5) -5

= 10 -18 -2 -5

= -15 

---------------------------------------------------------------------------------------------

Recuerda:

- Valores semejantes son cuando tienen la misma literal y el mismo exponente.

- Cuando las variables, no son semejantes, solamente se deja indicada la

operación.

Suma de polinomios con coeficientes fraccionarios.

                                    

Procedimiento:

Igual que los ejercicios de Suma de Polinomios Enteros, (Ejercicio 17), se procede así:

• Se ordenan los polinomios por su grado exponencial mayor.
• Se copia el 1er.  polinomio ordenado
• Se copia el 2º. polinomio ordenado, colocando los términos semejantes debajo de los del 1er. polinomio.
• Se suman los términos semejantes de los polinomios, tomando en cuenta la ley de los signos de la suma.

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Ejercicio  18

Sumar:

1)  ½ x^² + 1/3 xy ;  ½ xy + ¼ y^²

.1/2x^2  + 1/3xy

.            + 1/2xy + 1/4y^2 

 1/2x^2 + 5/6xy +1/4y^2

--------------------------------------------------------------------------

2)  a^² + ½ ab ; -1/4 ab + ½ b^² ; -1/4 ab – 1/5 b^²

.a^²  + 1/2ab

.       -  1/4ab  +   1/2b^2

.        -  1/4ab  -    1/5b^2

.a^²        0      + 3/10b^2 = a^2 + 3/10b^2

--------------------------------------------------------------------------

3) x^² + 2/3 xy  ;  -1/6 xy + y^²  ;  -5/6 xy + 2/3 y^²

.x^2 + 2/3xy

.        - 1/6xy +    y^2

.        - 5/6xy +2/3y^2 .

. x^2 - 1/3xy +5/3y^2

--------------------------------------------------------------------------

8) x^⁴ –x^² +5 ; 2/3 x^³ –3/8 x – 3 ; - 3/5 x^⁴ +5/6 x^³ –¾ x

.      x^4                 -x^2            +5

.             +2/3x^3           -3/8x   -3

-3/5x^4  +5/6x^3           -3/4x     .

  2/5x^4 +3/2x^3  -x^2  - 9/8x  +2 

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Para entender estos ejercicios de Suma de Polinomios, es necesario que ya sepas como se resuelve la Suma de Monomios. De lo contrario puedes ver Suma de monomios (Ejercicio 15) , en este mismo sitio.

Recuerda aplicar bien la Ley de Signos para la Suma.

Suma de Polinomios. Ejercicio 17.

Sumar:

1)   x² + 4x ; -5x + x²  

x²      +  4x

x²      –  5x  .

2x²   –   x

• Se ordenan los polinomios por su grado exponencial mayor.
• Se copia el 1er.  polinomio ordenado
• Se copia el 2º. polinomio ordenado, colocando los términos semejantes debajo de los del 1er. polinomio.
• Se suman los términos semejantes de los polinomios, tomando en cuenta la ley de los signos de la suma.

------------------------------------------------------------------------------------------

3)   x³  +  2x  ;  -x²  +  4

x³                +  2x

          -  x²               +  4

x³      - x²  +  2x    +  4

•  Se ordenan los polinomios por su grado. Cuando un término y otro, no son consecuentes en su grado,
• se deja espacio o espacios de acuerdo a los términos que faltan entre ambos.
• En este caso como entre x³ y 2x , falta “x²", entonces se deja un espacio entre ambos al copiarlos.
• Aquí entre x² y 4, falta el término “x”, por lo que se deja un espacio entre ambos al copiarlos.
• Se procede a sumar los términos semejantes de los polinomios.

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5)   -x² + 3x  ;  x^3 + 6

x³                              +6

          - x²   +3x               

x³  - x²  + 3x    +  6

Este caso es similar al anterior; solamente hay que tomar como 1er. polinomio, el 2º. que nos presenta el ejercicio o sea x³ +6. (Por tener el término de mayor grado)

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6)   x² – 4x  ¸ -7x + 6  ¸ 3x² – 5

.  x²   -  4x

.          -  7x  +  6

. 3x²           -   5

4x²  - 11x  +  1

Este caso ya vienen ordenados. Sólo se colocan semejantes debajo de semejantes, tomando como base el primer polinomio.

-------------------------------------------------------------------------------------------

8) 3x +x³  ;  -4x² +5   ;  -x³ +4x² -6

.  x³             +3x

.         -4x²         +5

.-x³  +4x²         -6

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.  0        0    +3x   -1

En este caso se ordenó el primer sumando 3x +x³ de acuerdo al término de mayor grado que es x³;

además x³ sumado con -x³ se eliminan, igual que -4x² sumado con 4x²; por ser igual su coeficiente y la letra, pero de signo distinto.

------------------------------------------------------------------------------------------

11)   -7x² + 5x – 6 ; 8x – 9 + 4x² ; -7x + 14 – x²

.                - 7x²   + 5x    - 6

.                   4x²   + 8x    – 9

.                  -  x²   – 7x    +14

.                - 4x²   + 6x    - 1

Este caso los polinomios tienen 3 términos y se ordena de acuerdo al término común con el mayor grado (x²).

-------------------------------------------------------------------------------------------

15)   x³ + xy² + y³ ; -5x²y + x³ – y³ ; 2x³ – 4xy² – 5y³

.                     x³               +   xy²  +  y³

.                     x³  – 5x²y               -   y³

.                  2x³                - 4xy² – 5y³

.                 4x³ - 5x²y - 3xy² - 5y³

En este caso los polinomios tienen 3 términos y se ordenan de acuerdo al término común con el mayor grado (x³).  Sólo el 2° polinomio viene desordenado.

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Recuerda:

• Aplicar la ley de signos para la suma.
• Términos semejantes son los que tienen la misma literal y el mismo exponente.
• Se operan únicamente los coeficientes de acuerdo a su signo, y la literal solamente se copia.

Suma de Polinomios. Ejercicio 16

Procedimiento.

Dada la suma de los polinomios:  a -b,  2a +3b -c,  -4a +5b  se puede proceder de dos maneras :

Primera.

1°  Se colocan los términos de los sumandos, unos a continuación del anterior con sus propios signos, así:  a -b +2a +3b -c -4a +5b

2°  Se ordenan por términos semejantes siempre unos a continuación de los otros:  a +2a -4a -b +3b +5b -c

3°  Se procede a sumar los términos semejantes, lo que quedaría así:

-a +7b -c  Resultado o Solución..

Segunda.

1°  Se colocan el primer sumando y a continuación debajo el segundo sumando y luego el tercer sumando.  Colocando siempre los términos semejantes uno abajo del otro.  Los que no tienen semejantes quedarán solos.

.    a  –  b

.  2a +3b -c

– 4a +5b      .

.  -a +7b -c    Esta es la Solución.

En los problemas del Ejercicio 16, que publico, están desarrollados de la segunda manera.  Pero puedes desarrollarlos de la primera, a efecto de la entrega de la tarea.

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Ejercicio 16 del Libro.

1) Sumar 3a +2b -c  ,  2a +3b +c

. 3a +2b -c

. 2a +3b +c

. 5a +5b          <– Solución.

Nota:  -c   y   +c  se anulan, porque son semejantes en número y letra, pero tienen signo distinto.

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2) Sumar  7a -4b +5c   ,   -7a +4b -6c

. 7a -4b +5c

-7a+4b  -6c

.             – c       <–  Solución.

Nota:  En este caso se anulan  7a  y -7a   además  -4b y +4b,  porque tienen signo distinto.

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3) Sumar  m+n-p  ;   -m-n+p

. m+n -p

-m -n +p

.      0           <– Solución.

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4) Sumar 9x -3y +5,  -x -y +4,   -5x +4y -9

. 9x -3y +5

. -x  – y +4

-5x +4y -9

3x                       <– Solución.

Nota:  se anulan la suma de las “y” porque -3 -1 +4=0 , también se anulan los valores independientes (sin variable) porque  +5 +4 -9 = 0

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5)  Sumar a+b-c  ;   2a+2b-2c  ;  -3a-b+3c

.  a +  b – c

. 2a+2b- 2c

 -3a – b+3c

.       2b             <–  Solución.

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6) Sumar p+q+r  ;  -2p-6q+3r  ;  p+5q-8r

.  p +  q+ r

-2p -6q+3r

.  p+5q -8r

.           -4r     <– Solución.

_______________________________________________

7) Sumar -7x-4y+6z  ;  10x-20y-8z  ;  -5x+24y+2z

– 7x – 4y +6z

10x-20y – 8z

– 5x+24y+2z

-2x                        <–  Solución.

_______________________________________________

14) Sumar  2a +3b ,  6b -4c ,  -a +8c

2a  +3b

.     +6b  – 4c

– a           +8c

. a +9b +4c     <–  Solución.

Nota: Aquí lo importante es colocar los términos de los sumandos debajo de sus semejantes, si el sumando no tiene término semejante con el sumando de arriba, se deja el espacio.

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16) Sumar 2a +3b ,  5c -4 ,  8a +6 ,  +7c -9

2a  +3b

.              + 5c  – 4

8a                    +6

.              + 7c – 9

10a +3b +12c -7    <-  Solución.

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21) Sumar

5a^x -3a^m -7a^n,   -8a^x +5a^m -9a^n,  -11a^x +5a^m +16a^n

.  5a^x   -3a^m  – 7a^n

– 8a^x   +5a^m  – 9a^n

-11a^x  +5a^m +16a^n

-14a^x +7a^m                           <– Solución.

Nota: Los términos “a” elevados a la “n” (a^n) se anulan porque su suma es igual a cero.

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Suma de monomios.

.                                   

Ejercicio 15 del Libro.

Sumar:

1)   m,  n    

=  m + n   Solución.

(Como no son semejantes sólo se colocan las literales con el signo en medio)

 ----------------------------------------------------------

(En el 2, 3, 4 y 15 los términos no son semejantes solo se indica la operación con su mismo signo)

2)   m,  -n   

=  m +(-n) 

= m – n    Solución.

 ----------------------------------------------------------

3)   -3a ,  4b  

= 4b +(-3a) 

= 4b – 3a   Solución.

 ----------------------------------------------------------

4)   5b,  -6a  

 = 5b +(-6a) 

= 5b – 6a   Solución.

 ----------------------------------------------------------

5)   7,  -6   

= 7 +(-6) 

=  7 – 6 =  1    Solución.

(En esta suma como son signos distintos, se restan)

 ----------------------------------------------------------

15) 1/2a, -2/3b 

 = 1/2a -2/3b   Solución.

 ----------------------------------------------------------

17) 1/3b , 2/3b  

= 1/3b +2/3b 

= 3/3b 

= 1b =  b  Solución.

(Son términos semejantes por lo que se suman)

----------------------------------------------------------

29) 2a, -b, 3a  

=  (2a + 3 a) – b  

=  5a – b 

(Se suman los términos semejantes  por ser de  igual signo y a la par del resultado se agrega el otro término no semejante, dejando indicada la operación )

50) 3/4a²b, 1/2ab², -1/4a²b, 1/2ab², a²b, -5/6ab²

> Agrupando los términos semejantes:

= (3/4a²b -1/4a²b +a²b)+(1/2ab² +1/2ab² -5/6ab²)

>  Sumando los términos semejantes:

= (3/4 -1/4 +1)a²b +(1/2 +1/2 -5/6)ab²

= 3/2a²b + 1/6ab²   Solución.

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Recuerda:

- Términos semejantes son cuando tienen la misma literal y el mismo exponente.

- Cuando los términos desconocidos, no son semejantes, solamente se deja indicada la operación.

- Aplicar la ley de signos para la suma, que dice que se suman cuando los signos son iguales y se restan cuando los  signos son distintos.

Reducción de un polinomio con términos semejantes de diversas clases.

.                        

Procedimiento:

1. Se reducen por separado los términos semejantes de cada clase, por ejemplo (2x+5x-3x) , (4y-2y-y)
2. A cada clase de aplica la reducción que corresponda según si son signos iguales o distintos.
3. Con los resultados de cada clase se forma la solución final.  ________________________________

Ejemplos: 

A) 5a-6b+8c+9a-20c-b+6b-c 

–> 5a+9a = (5+9)a = 14a

.      -6b-b+6b = (-6-1+6)b = -b

.      8c-20c-c = (8-20-1)c = -13c

Solución:  14a-b-13c

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B) 2/5x^4  -1/2x^3y  +3x^4  -y^4  +5/6y^4  -0.3x^4   -3/5x^3y  -6  +x^3y  -14  +2 1/3y^4

–> 2/5x^4 +3x^4 -3/10x^4 = 31/10x^4

.      -1/2x^3y -3/5x^3y +x^3y = -1/10x^3y

.      -y^4 +5/6y^4 +7/3y^4 = 13/6y^4

.      -6-14 = -20

Solución:  31/10x^4 -1/10x^3y +13/6y^4 -20

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Ejercicio 10 del Libro.

Reducir los polinomios:

1) 7a -9b +6a -4b 

–> 7a +6a = (7+6)a = 13a

.       -9b -4b = (-9 -4)b = -13b

Solución:  13 -13b

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3) 5x -11y -9 +20x -1 -y 

–> 5x +20x = (5+20)x = 25x

.      -11y -y = (-11 -1)y = -12y

.      -9 -1 = -10

Solución:  25x -12y -10

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4)  -6m +8n +5 -m -n -6m -11  

–> -6m -m -6m= (-6-1-6)m = -13m

.      8n -n = (8 -1)n = 7n

.      5 -11 = -6

Solución:  -13m +7n -6 

Recordando:  Se suman por separado los monomios semejantes de cada clase (m,  n,   #) y con los totales de cada uno se forma la solución, que es un polinomio (-13m +7n -6)

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7) 15a^2 -6ab -8a^2 +20 -5ab -31 +a^2 -ab

–> 15a^2 -8a^2 +a^2 = (15-8+1)a^2 = 8a^2

.      -6ab -5ab -ab = (-6-5-1)ab = -12ab

.      20 -31 = -11

Solución:  8a^2 -12ab -11

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11) Reducir m^2+71mn-14m^2-65mn+m^3-m^2-115m^2+6m^3

m^3+6m^3 = 7m^3

m^2 -m^2 -14m^2 -115m^2= -129m^2

71mn -65mn = 6mn

Solución:   7m^3 -129m^2 +6mn

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12)  Reducir   x^4y -x^3y^2 +x^2y -8x^4y -x^2y -10 +x^3y^2 -7x^3y^2 -9 +21x^4y -y^3 +50

–> x^4y  -8x^4y +21x^4y = (1-8+21)x^4y = 14x^4y

.      -x^3y^2  +x^3y^2 -7x^3y^2 = (-1+1-7)x^3y^2 = -7x^3y^2

.      x^2y -x^2y = (1-1)x^2y =0x^2y = 0

.      -y^3 = -y^3

.      -10 -9 +50 = 31

Solución:  14x^4y -7x^3y^2 -y^3 +31

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Reducción de más de 2 términos semejantes de signos distintos.

.                             

Regla:

Se reducen a un solo término todos los coeficientes positivos, se reducen a un solo término todos los coeficientes negativos y a los dos resultados obtenidos se restan poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y luego se escribe la parte literal.

Ejemplos:

>) 5a -8a +a -6a +21a = (5 +1 +21)a +(-6 -8)a = 27a -14a = (27-14)a = 13a

>) -2/5bx^2 +1/5bx^2 +3/4bx^2 -4bx^2 +bc^2 =

= (-2/5 -4)bx^2 + (1/5 +3/4 +1)bx^2 = -22/5bx^2 +39/20bx^2 =

= (-22/5 +39/20)bx^2 = -39/20bx^2

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Ejercicio 9 del Libro.

Reducir:

1) 9a -3a +5a

= (9 +5)a+(-3)a

= 14a -3a

= (14-3)a

= 11a   Solución.

2) -8x +9x -x = 0

(-8 -1)x+(9)x

= -9x +9x

= (-9 +9)x

= 0x = 0   Solución.

3) 12mn -23mn -5mn

= (12)mn + (-23 -5)mn

= 12mn -28mn

= (12-28)mn

= -16mn   Solución.

7) -5a^x +9a^x -35a^x

= (-5 -35)a^x + (9)a^x

= -40a^x +9a^x

= (-40 + 9)a^x

= -31a^x   Solución.

10) -3/5m +1/4m -1/2m

=(-3/5 -1/2)m + (1/4)m

= -11/10m + 1/4m

= (-11/10 + 1/4)m

= -17/20m   Solución.

18) -72ax +87ax -101ax +243ax

= (-72 -101)ax + (87 +243)ax

= -173ax + 330ax

= (-173 + 330)ax

= 157ax   Solución.

23) 3/5a^2b -1/6a^2b +1/3a^2b -a^2b

= (3/5 +1/3)a^2b + (-1/6 -1)a^2b

= 14/15a^2b - 7/6a^2b

= (14/15 -7/6)a^2b

= -7/30a^2b   Solución.

24) Reducir  -5/6ab^2  -1/6ab^2  +ab^2  -3/8ab^2 

= (-5/6 -1/6  -3/8)ab^2 + 1ab^2

= (-11/8  +1)ab^2  

= -3/8ab^2   Solución

27) -mn +14mn -31mn -mn +20mn

= (-1 -31 -1)mn + (14 +20)mn 

= -33mn +34mn

= (-33 + 34)mn

= 1mn = mn   Solución.

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Reducción de 2 términos semejantes de distinto signo.

.                                  

Regla:

Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplos:

2a -3a = -a   –> ( 2-3 = – 1)    ;   signo mayor ( – )  ;  literal ( a ) –> -1a = -a

18x -11x = 7x –> (18-11= 7)  ;  signo mayor (+)  ;  literal (x) –> 7x

-20ab+11ab = -9ab –> (-20+11=-9) ; signo mayor (-) ; literal (ab) –> -9ab

-8y +13y = 5y  –> (-8+13 = 5)  ; signo mayor (+) ;  literal (y) –> 5y

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Ejercicio 8 del Libro.

Reducir:

1) 8a -6a
signo mayor (+)  ;  literal (a)

(8 -6)a = 2a   Solución.

4) 15ab -9ab
signo mayor (+)  ; literal (ab)

(15-9)ab = 6ab   Solución.

6) -7b +7b
signo mayor (no hay) , literal (b)

(-7+7)b = 0b = 0   Solución.

9) 40x^3y-51x^3y
signo mayor (-)  ;  literal x^3y

(40-51)x^3y = -11x^3y   Solución.

26) 5/6mn -7/8mn
signo mayor (-)  ;  literal (mn)

(5/6 -7/8)mn = -1/24mn   Solución.

37) -5mn +3/4mn
signo mayor (-)  ;  literal (mn)

(-5 +3/4)mn = -17/4mn   Solución.
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Prof.  Jorge A. Carrillo M.
jorgecarrillom2@gmail.com

Reducción de 2 o más términos semejantes del mismo signo.



Regla General:  

Se suman los coeficientes poniendo delante del total el mismo signo o signo común y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplos:  

-5b -7b = -12b  –> 5 + 7 = 12   ; signo común ( – )  ;  literal ( b ) –> -12b 

5x + x +2x = 8x –>  5+1+2 = 8  :  signo común ( + )  :  literal ( x )  –> 8x

Recuerda que cuando la cantidad está sola o al principio, el signo positivo ( + ) no se pone; se sobreentiende que es positivo.

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Ejercicio 7 del Libro.

Reducir:

1) x +2x

= ( 1+2 )x

= 3x  Solución.

2) 8a +9a

= ( 8+9 )a

= 17a  Solución.

3) 11b +9b

 = ( 11+9 )b

= 20b   Solución.

4) -b -5b

= -( 1+5 )b

= – 6b   Solución.

5) -8m -m  

= -(8 +1)m

= -9m   Solución.

6) -9m -7m  

= -(9 +7)m

= – 16m   Solución.

7) 4a^2 +5a^2 

= (4 +5)a^2

= 9a^2   Solución.

8) 6a^(x+1) + 8a^(x+1) 

= (6+8)a^(x+1)

= 14a^(x+1)   Solución.

12) 3/5ab + 1/10ab  

= (3/5 + 1/10)ab

= 7/10ab   Solución.

15) -5/6a^2b -1/8a^2b  

= -(5/6 + 1/8)a^2b

= – 23/24a^2b   Solución.

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jorgecarrillom2@gmail.com

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