1) Se iguala
el trinomio a cero y se hallan las raíces de la ecuación x₁ , x₂.
2) Se
descompone el trinomio en tres factores:
a) El
coeficiente de x².
b) “x”
menos una de las raíces.
c) “x”
menos la otra raíz.
3) Se simplifican los paréntesis.
4) Se dividen los factores entre el coeficiente de x².
3) Se simplifican los paréntesis.
4) Se dividen los factores entre el coeficiente de x².
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Ejemplos:
a)
Descomponer en factores el trinomio 6x²+5x-4
> Igualando
a cero el trinomio
6x²+5x-4 =
0
> Hallando
las raíces de la ecuación:
x =
[-(5)±√(5)²-4(6)(-4)]/2(6)
x =
[-5±√25+96]/12
x =
[-5±√121]/12
x = [-5±11]/12
–>
x₁ =
(-5+11)/12 = 6/12 = ½
x₂ =
(-5-11)/12 = -16/12 = -4/3
>
Descomponiendo la ecuación en factores:
6x² +5x -4
=
6(x-1/2)(x-(-4/3)
= 6(x-1/2)(x
+4/3)
>
Simplificando los paréntesis y dividiendo
Los factores
entre el coeficiente de x²
= 6(2x-1)(3x
+4)
.
6
>
Eliminando el 6 del numerador y el denominador:
(2x -1)(3x
+4) Solución.
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b)
Descomponer en factores el trinomio 24x²+26x+5
> Igualando
a cero el trinomio:
24x²+26x+5
= 0
> Hallando
las raíces de la ecuación:
x =
[-(26)±√(26)²-4(24)(5)]/2(24)
x =
[-26±√676-480]/48
x =
[-26±√196]/48
x =
[-26±14]/48
–>
x₁ =
(-26+14)/48 = -12/48 = – ¼
x₂ =
(-26-14)/48 = -40/48 = – 5/6
>
Descomponiendo la ecuación en factores:
24x²+26x+5
= 0
=
24[x-(-1/4)][x-(-5/6)]
= 24(x +1/4)(x
+5/6)
>
Simplificando los paréntesis
=
24(4x+1)(6x+5)
>
Dividiendo los factores entre el coeficiente de x²
= 24(4x+1)(6x+5)
.
24
(4x+1)(6x+5)
Solución.
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c)
Descomponer en factores el trinomio 4+7x-15x²
> Ordenando
el trinomio e igualándolo a cero y
cambiando el
signo a los términos.
-15x²+7x+4 =
0
15x²-7x-4
= 0
> Hallando
las raíces de la ecuación:
x =
[-(-7)±√(-7)²-4(15)(-4)]2(15)
x =
[7±√49+240]/30
x =
[7±√289]/30
x = [7±17]/30
–>
x₁ =
(7+17)/30 = 24/30 = 4/5
x₂ =
(7-17)/30 = -10/30 = – 1/3
>
Descomponiendo la ecuación en factores:
-15x²+7x+4
= 0
=
-15[x-(4/5)][x-(-1/3)
= -15(x
-4/5)(x +1/3)
>
Simplificando los paréntesis y dividiendo
Entre el
coeficiente de x²
= -15(5x-4)(
3x+1)
.
15
>
Eliminando el 15 del numerador y el denominador:
=
-(5x-4)(3x+1)
=
(-5x+4)(3x+1) <–
* Ver nota
=
(4-5x)(1+3x) Solución.
*
Nota: Como el primer factor –(5x+4), tiene un signo
“-“ antes del paréntesis, se elimina cambiándole el signo a lo
que está dentro y luego se cambia de orden de los elementos para
dejar de primero el elemento positivo; como consecuencia se
cambia el orden de los elementos del otro factor (3x+1), pero estos
sin cambiarles el signo.
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Ejercicio
280.
Descomponer en
factores, hallando las raíces:
1)
x²-16x+63
> Igualando
a cero el trinomio:
x²-16x+63
= 0
> Hallando
las raíces de la ecuación:
x =
[-(-16)±√(-16)²-4(1)(63)]/2(1)
x =
[16±√256-252]/2
x = [16±√4]/2
x = [16±2]/2
–>
x₁ =
(16+2)/2 = 18/2 = 9
x₂ =
(16-2)/2 = 14/2 = 7
>
Descomponer la ecuación en factores:
x²-16x+63 =
0
= 1(x-9)(x-7)
= (x-9)(x-7)
Solución.
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3)
x²-26x-155
>
Igualando el trinomio a cero:
x²-26x-155
= 0
> Hallando
las raíces de la ecuación:
x =
[-(-26)±√(-26)²-4(1)(-155)]/2(1)
x =
[26±√676+620]/2
x =
[26±√1296]/2
x = [26±36]/2
–>
x₁ =
(26+36)/2 = 62/2 = 31
x₂ =
(26-36)/2 = -10/2 = -5
>
Descomponiendo el trinomio en factores:
x²-26x-155
=
1(x-31)(x-(-5))
=
(x-31)(x+5) Solución.
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8)
12x²-25x+12
> Igualando
el trinomio a cero:
12x²-25x+12
= 0
> Hallando
las raíces de la ecuación:
x =
[-(-25)±√(-25)²-4(12)(12)]/2(12)
x =
[25±√(625-576]/24
x =
[25±√49]/24
x = [25±√7]/24
–>
x₁ =
(25+7)/24 = 32/24 = 4/3
x₂ =
(25-7)/24 = 18/24 = ¾
>
Descomponiendo el trinomio en factores:
12x²-25x+12
= 12(x –
4/3)(x – 3/4)
>
Simplificando los paréntesis y dividiendo
Entre el
coeficiente de x²:
12(3x-4)(4x-3)
.
12
>
Eliminando 12 del numerador y el denominador:
(3x-4)(4x-3)
Solución.
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11)
30x²-61x+30
> Igualando
el trinomio a cero:
30x²-61x+30
= 0
> Hallando
las raíces de la ecuación:
x =
[-(-61)±√(-61)²-4(30)(30)]/2(30)
x =
[61±√3721-3600]/60
x =
[61±√121]/60
x = [61±11]/60
–>
x₁ =
(61+11)/60 = 72/60 = 6/5
x₂ =
(61-11)/60 = 50/60 = 5/6
>
Descomponiendo el trinomio en factores:
30x²-61x+30
30(x -6/5)(x
-5/6)
>
Simplificando el paréntesis y dividiendo
entre el
coeficiente de x²
30(5x-6)(6x-5)
.
30
>
Eliminando el 30 del numerador y el denominador:
(5x-6)(6x-5)
Solución.
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16)
4+13x-12x²
> Ordenando
el trinomio e igualándolo a cero:
-12x²+13x+4 =
0
12x²-13x-4
= 0
> Hallando
las raíces de la ecuación:
x =
[-(-13)±√(-13)²-4(12)(-4)]/2(12)
x =
[13±√169+192]/24
x =
[13±√361]/24
x = [13±19]/24
–>
x₁ =
(13+19)/24 = 32/24 = 4/3
x₂ =
(13-19)/24 = -6/24 = – ¼
>
Descomponiendo el trinomio en factores:
-12x²+13x+4
-12(x –
4/3)(x –(-1/4)
>
Simplificando los paréntesis y dividiendo
entre el
coeficiente de x²
-12(3x-4)(4x+1)
.
12
>
Eliminando el 12 del numerador y el denominador:
-(3x-4)(4x+1)
>
Resolviendo el signo menos antes del primer factor
(-3x+4)(4x+1)
> Cambiando
el orden de los elementos de los factores.
para dejar
como primer elemento un positivo:
(4-3x)(1+4x)
Solución.
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