El Trinomio de la
forma x² ± bx ± c, debe cumplir las siguientes condiciones:
1) El
coeficiente del 1° término debe ser 1.
2) El
1° término debe ser una letra cualquiera elevada al cuadrado.
3) El
2° término tiene la misma letra que el 1° con exponente 1 y su
coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.
4) El
3° término es una cantidad cualquiera positiva o negativa, sin
letra como el 1° y el 2° término.
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Procedimiento
para factorar x² ± bx ± c
1°) Se
descompone el trinomio en 2 factores binomios, cuyo 1° término en
ambos factores, es la raíz cuadrada del primer término del
trinomio. (x )(x )
2°) En
el 1° factor después de la letra se escribe el signo del 2°
término del trinomio ( x+ ), y en el 2° factor
después de la letra se escribe el signo que resulta de multiplicar
el signo del 2° término del trinomio por el signo del 3° término
del trinomio. (+)(+) = + –> (x+ )
3°) Si
los factores binomios tienen el mismo signo después
de la letra (x+ )(x+ ) se buscan 2
números cuya suma sea igual al valor absoluto del coeficiente del 2°
término del trinomio; y cuyo producto sea igual al valor absoluto
del coeficiente del 3° término del trinomio. Y estos 2
números se colocan como 2° términos dentro de los factores
binomios.
4°) Si
los 2 factores binomios tienen signos distintos después
de la letra (x+ )(x- ) ó (x-
)(x+ ) se buscan 2 números cuya diferencia sea
el valor absoluto del coeficientes del 2° término del trinomio; y
cuyo producto sea igual al valor absoluto del coeficiente del
3°término del trinomio. El mayor de estos 2 números es el
2° término del primer factor binomio y el menor es el 2° término
del 2° factor binomio.
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Ejemplos:
a) Factorar
x² +5x +6
1°) Descomponer
el trinomio en dos factores binomios:
–> raíz
cuadrada de x² = x –> (x )(x )
2°) Signos de
los binomios:
.
1° binomio : signo del 2° término del trinomio es “+”
.
2° binomio : producto de los signos del 2° y 3° términos del
trinomio (+)(+) = “+” –-> (x+ )(x+
)
3°) Como los
signos de los binomios son iguales:
.
números buscados: 3 y 2 porque :
.
3+2 = 5 que es igual al 2° término del
trinomio.
.
(3)(2) = 6 que es igual al 3° término del
trinomio. –> (x+3)(x+2), Solución
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b) Factorar
x² -7x +12
1°) Descomponer
el trinomio en dos factores binomios:
–> raíz
cuadrada de x² = x –> (x )(x )
2°) Signos de
los binomios:
.
1° binomio : signo del 2° término del trinomio es “-“
.
2° binomio : producto de los signos del 2° y 3° términos del
trinomio (-)(+) = “-“ –> (x- )(x-
)
3°) Como los
signos de los binomios son iguales:
.
números buscados : 4 y 3 porque:
.
-4 -3 = -7 que es igual al 2° término del
trinomio.
.
(-4)(-3) = 12 que es igual al 3° término
del trinomio –> (x-4 )(x-3 ), Solución.
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c) Factorar
x² +2x -15
1°) Descomponer
el trinomio en dos factores binomios:
–> raíz
cuadrada de x² = x –> (x )(x )
2°) Signos de
los binomios:
.
1° binomio: signo del 2° término del trinomio es : “+”
.
2° binomio: producto de los signos del 2° y 3° términos del
trinomio (+)(-) = ” -” –> (x +)(x -)
3°) Como los
signos de los binomios no son iguales:
.
números buscados : 5 y -3 porque:
. 5
-3 = 2 que es igual al 2° término del trinomio.
.
(5)(-3) = -15 que es igual al 3° término del
trinomio –> (x +5)(x -3) , Solución.
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d) Factorar
x² -5x -14
1°) Descomponer
el trinomio en 2 factores binomios:
–> raíz
cuadrada de x² = x –> (x )(x )
2°) Signos de
los binomios:
.
1° binomio: signo del 2° término del trinomio es : “-“
.
2° binomio: producto de los signos del 2° y 3° términos del
trinomio (-)(-) = ” +” –> (x –
)(x +)
3°) Como los
signos de los binomios son iguales:
.
Números buscados : -7 y 2 porque:
.
-7 +2 = -5 que es igual al 2° término del
trinomio.
.
(-7)(2) = -14 que es igual al 3° término
del trinomio. –> (x -7)(x +2), Solución.
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EJERCICIO
98.
1) Factorar
x² +7x +10
Raíz cuadrada de
x² = x
El signo del
2°término del trinomio es “+”
El producto de
los signos del 2° y 3° términos del trinomio es (+ )(+ ) = “+”
Los números
buscados : 5 y 2 porque
5 +2 = 7
y (5)(2) = 10 –>
x² +7x
+10 = (x +5)(x +2), que es
la Solución.
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2) Factorar
x² -5x +6
Raíz cuadrada de
x² = x
El signo del 2°
término del trinomio es “-“
El producto de
los signos del 2° y 3° términos del trinomio es (- )(+ ) = “-“
Los números
buscados : -3 y -2
porque
-3 -2 = -5
y (-3)(-2) = 6 –>
x² -5x +6 =
(x -3)(x -2), que es la Solución.
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3) Factorar
x² +3x -10
Raíz cuadrada de
x² = x
El signo del 2°
término del trinomio es ” + “
El producto de
los signos del 2° y 3° términos del trinomio es (+)(-)= ”
– “
Los números
buscados : 5 y -2 porque
5-2 = 3
y (5)(-2) = –10 –>
x² +3x -10 =
(x+5)(x-2), que es la Solución.
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8) Factorar
x² -6 -x (ordenado es = x² -x -6)
Raíz cuadrada de
x² = x
Signo del 2°
término del trinomio es ” – “
Producto de los
signos del 2° y 3° términos del trinomio : (-)(-) = ”
+ “
Números
buscados: -3 y 2
porque
-3 +2 = -1x
= -x y (-3)(2) = -6 –>
x² -x -6 =
(x-3)(x+2), que es la Solución.
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22)
Factorar 28 +a² -11a (ordenado es) =
a² -11a +28
Raíz cuadrada de
a² = a
Signo del 2°
término del trinomio es ” – “
Producto de los
signos del 2° y 3° términos del trinomio: (-)(+) = ”
– ”
Números
buscados: -7 y -4
porque
-7 -4 = -11
y (-7)(-4) = 28 –>
a² -11a
+28 = (a-7)(a-4) , que es
la Solución.
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46)
Factorar n² +43n +432
Raíz cuadrada de
n² = n
Signo del 2°
término del trinomio es ” + “
Producto de los
signos del 2° y 3° términos del trinomio: (+)(+) = ”
+ “
Números
buscados: 27 y 16
porque
27 + 16 = 43
y (27)(16) = 432 –>
n² +43n +432
= (n+27)(+16) , que es
la Solución.
Nota: Para
buscar los números, cuando las coeficientes del 2° y 3° términos
del trinomio, son más grandes, se puede hacer descomponiendo el 3°
término del trinomio en sus factores primos, así:
432 | 2
216 | 2
108 | 2
54 | 2
27 | 3
9 | 3
3 | 3
1 —|
–> (2^4)(3^3) = (16)(27)
= 432 y también 16 +27 =
43
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48)
Factorar m² -8m -1008
Raíz cuadrada de
m² = m
Signo del 2°
término del trinomio es ” – “
Producto de los
signos del 2° y 3° término del trinomio es: (-)(-) = ”
+ “
Números
buscados: -36 y 28
porque
-36 +28 = -8
y (-36)(28) = -1008 –>
m² -8m -1008
= (m-36)(m+28) , que es
la Solución.
Nota: En
este caso también para encontrar los números buscados, se
descompone el 3° término del trinomio en sus factores primos; como
se explicó en el problema 46.
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