Triángulo de Pascal.

El triángulo de Pascal representa los coeficientes de los términos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio.

El triángulo de Pascal se forma con líneas horizontales del  desarrollo  de  un  binomio ;  partiendo  de  la potencia 0, que es igual a la unidad (1) y las siguientes líneas según la potencia que se quiere desarrollar de un binomio.

El Binomio de Newton es una fórmula que sirve para calcular una potencia cualquiera de un binomio, cuyo exponente sea entero y positivo. 

Se utiliza para el cálculo los coeficientes de los términos del binomio; semejante a una sucesión de números combinatorios.

(a±b)ⁿ = 

En la fórmula anterior si el segundo término es negativo (a - b)ⁿ ; los signos del desarrollo se alternan + y - , sucesivamente hasta llegar al último término.

Esta fórmula sin desarrollarse puede escribirse como una regla, que variará según sea el exponente del binomio:

El Binomio de Newton tiene una gran relación con el Triángulo de Pascal, ya que cada fila del triángulo de Pascal corresponde a los coeficientes del desarrollo de la potencia respectiva del binomio de Newton:

Para el desarrollo del binomio se deben cumplir las siguientes leyes:

1) Cada desarrollo tiene un término más que el exponente del binomio.

2) El exponente de "a" en el primer término del desarrollo es igual al exponente del binomio, y en cada término posterior al primero disminuye 1.

3) El exponente de "b" en el segundo término del desarrollo es 1, y en cada término posterior a éste, aumenta en 1.

4) El coeficiente del primer término del desarrollo es 1 y el coeficiente del segundo término es igual al exponente de "a" en el primer término del desarrollo.

5) El coeficiente de cualquier término se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de "a" en dicho término anterior y dividiendo este producto por el exponente de "b" en ese mismo término aumentado en 1.

6) El último término del desarrollo es "b" elevado al exponente del binomio.

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Ejemplo.

Desarrollar (x²-3y⁵)⁶ por el triángulo de Pascal.

Formando el triángulo hasta la línea horizontal en que después del 1 viene el 6, que es el exponente del binomio.

    1     5      10      10        5       1

1     6     15      20      15       6       1   (coeficientes para el desarrollo de la fórmula del binomio) (a - b)⁶  

1  7    21     35      35      21      7   1  (coeficientes para el desarrollo de la fórmula del binomio) (a - b)⁷

Entonces:

(x²-3y⁵)⁶ = (x²)⁶  -6(x²)⁵(3y⁵) +15(x²)⁴(3y⁵)² -20(x²)³(3y⁵)³ +15(x²)²(3y⁵)⁴ -6(x²)(3y⁵)⁵ - (3y⁵)⁶

= x¹² -18x¹⁰y⁵ +135x⁸y¹⁰ -540x⁶y¹⁵ +1215x⁴y²⁰ -1458x²y²⁵ -729y³⁰  Solución.

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Ejercicio 211.

Desarrolla, hallando los coeficientes del binomio por medio del triángulo de Pascal.

1) (a + 2b)⁶ 

(a + 2b)⁶ 

= (a)⁶ +6(a)⁵(2b) +15(a)⁴(2b)² +20(a)³(2b)³ +15(a)²(2b)⁴ +6(a)(2b)⁵ +(2b)⁶ 

= a⁶ + 12a⁵b +60a⁴b² +160a³b³ +240a²b⁴ +192ab⁵ +64b⁶.  Solución.

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2) (2m² - 3n³)⁵ 

 (2m² - 3n³)⁵  

= (2m²)⁵ - 5(2m²)⁴(3n³) + 10(2m²)³(3n³)² - 10(2m²)²(3n³)³ + 5(2m²)(3n³)⁴ - (3n³)⁵

= 32m¹⁰ - 240m⁸n³ + 720m⁶n⁶ - 1080m⁴n⁹ + 810m²n¹² - 243n¹⁵.  Solución.

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3) (x² +y³)⁶  

(x² +y³)⁶ 

= (x²)⁶ + 6(x²)⁵(y³) + 15(x²)⁴(y³)² + 20(x²)³(y³)³ + 15(x²)²(y³)⁴ + 6(x²)(y³)⁵ + (y³)⁶

= x¹² + 6x¹⁰y³ + 15x⁸y⁶ + 20x⁶y⁹ + 15x⁴y¹² + 6x²y¹⁵ + y¹⁸.  Solución.

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4) (3 - y⁷)⁷  

(a ± b)⁷ ⇒ 1      7      21      35      35      21      7      1  (coeficientes para el desarrollo del binomio)

⇒ (3-y⁷)⁷ =

= (3)⁷ - 7(3)⁶(y⁷) + 21(3)⁵(y⁷)² - 35(3)⁴(y⁷)³ + 35(3)³(y⁷)⁴ - 21(3)²(y⁷)⁵ + 7(3)(y⁷)⁶ - (y⁷)⁷ 

= 2187 - 5103y⁷ + 5103y¹⁴ - 2835y²¹ + 945y²⁸ - 189y³⁵  +21y⁴² - y⁴⁹  Solución.

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5) (2x³ -3y⁴)⁶ 

(2x³ -3y⁴)⁶  

= (2x³)⁶ - 6(2x³)⁵(3y⁴) + 15(2x³)⁴(3y⁴)² - 20(2x³)³(3y⁴)³ + 15(2x³)²(3y⁴)⁴ - 6(2x³)(3y⁴)⁵ + (3y⁴)⁶

= 64x¹⁸ - 576x¹⁵y⁴ + 2160x¹²y⁸ - 4320x⁹y¹² + 4860x⁶y¹⁶ - 2916x³y²⁰ + 729y²⁴  Solución.

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6) (1/2 x² + y³)⁵  

(1/2 x² + y³)⁵ 

= (1/2x²)⁵ + 5(1/2x²)⁴(y³) + 10(1/2x²)³(y³)² + 10(1/2x²)²(y³)³ + 5(1/2x²)(y³)⁴ + (y³)⁵

= 1/32x¹⁰ + 5/16x⁸y³ + 5/4x⁶y⁶ + 5/2x⁴y⁹ + 5/2x²y¹² + y¹⁵  Solución.

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7) (a/3 - 3/b)⁶ 

(a/3 - 3/b)⁶ 

= (a/3)⁶ - 6(a/3)⁵(3/b) + 15(a/3)⁴(3/b)² - 20(a/3)³(3/b)³ + 15(a/3)²(3/b)⁴ - 6(a/3)(3/b)⁵ + (3/b)⁶

= 1/729a⁶ - 2a⁵/27b + 5a⁴/3b² - 20a³/b³ + 135a²/b⁴ - 486a/b⁵ +729/b⁶  Solución.

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8) (1 -x⁴)⁸ 

(a ± b)⁷ ⇒     1      7      21      35      35      21      7      1

(a ± b)⁸ ⇒ 1      8     28      56      70      56      28     8       1

⇒ (1 -x⁴)⁸ = 

= (1)⁸ - (1)⁷(x⁴) + (1)⁶(x⁴)² - (1)⁵(x⁴)³ + (1)⁴(x⁴)⁴ - (1)³(x⁴)⁵ + (1)²(x⁴)⁶ - (1)(x⁴)⁷ + (x⁴)⁸

= 1 - x⁴ + x⁸ - x¹² + x¹⁶ - x²⁰ + x²⁴ - x²⁸ + x³².   Solución.

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9) (2/3x - 3/2y)⁷

(2/3x - 3/2y)⁷ =

= (2/3x)⁷ - 7(2/3x)⁶(3/2y) + 21(2/3x)⁵(3/2y)² - 35(2/3x)⁴(3/2y)³ + 35(2/3x)³(3/2y)⁴ - 21(2/3x)²(3/2y)⁵ + 7(2/3x)(3/2y)⁶ - (3/2y)⁷ =

= 28/2187x⁷ - 224/243x⁶y + 56/9x⁵y² - 70/3x⁴y³ + 105/2x³y⁴ - 567/8x²y⁵ +

1701/32xy⁶ -2187/128y⁷  Solución.

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10)  (2/m - m²/2)⁷

⇒ (2/m - m²/2)⁷ =

(2/m)⁷ - 7(2/m)⁶(m²/2) + 21(2/m)⁵(m²/2)² - 35(2/m)⁴(m²/2)³ + 35(2/m)³(m²/2)⁴ - 21(2/m)²(m²/2)⁵ + 7(2/m)(m²/2)⁶ + (m²/2)⁷ =

= 128/m⁷ - 224/m⁴ + 168/m - 70m² + 35/2 m⁵ - 21/8 m³ + 7/32 m¹¹ - m¹⁴/128  Solución.

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11)  (x³ + mm)⁸ 

⇒ (x³ + mm)⁸ =

(x³)⁸ + 8(x³)⁷(mm) + 28(x³)⁶(mm)² + 56(x³)⁵(mm)³ + 70(x³)⁴(mm)⁴ + 56(x³)³(mm)⁵ + 28(x³)²(mm)⁶ + 8(x³)(mm)⁷ + (mm)⁸ =

= x²⁴ +8x²¹mn +28x¹⁸m²n² +56x¹⁵m³n³ +70x¹²m⁴n⁴ +56x⁹m⁵n⁵ +28x⁶m⁶n⁶ +8x³m⁷n⁷ + m⁸n⁸. Solución.

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12) (3 - b²/3)⁹ 

(a ± b)⁸ ⇒        1       8        28        56         70          56        28       8       1

(a ± b)⁹ ⇒  1         9      36        84        126       126        84        36      9         1

⇒ (3 - b²/3)⁹ =

(3)⁹ -  9(3)⁸(b²/3) + 36(3)⁷(b²/3)² - 84(3)⁶(b²/3)³ + 126(3)⁵(b²/3)⁴ - 126(3)⁴(b²/3)⁵  + 84(3)³(b²/3)⁶ - 36(3)²(b²/3)⁷ + 9(3)(b²/3)⁸ - (b²/3)⁹ =

=19683 -19683b² +8748b⁴ -2268b⁶ +378b⁸ -42b¹⁰ + 28b¹²/9 - 4b¹⁴/27 +b¹⁶/243 +b¹⁸/19683. Solución.

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13) (1 - 1/x)¹⁰

(a ± b)⁹  ⇒       1       9       36         84        126         126         84        36      9         1

(a ± b)¹⁰ ⇒ 1       10     45       120       210         252         210      120      45     10         1

⇒ (1 - 1/x)¹⁰ =

(1)¹⁰ - 10(1)⁹(1/x) + 45(1)⁸(1/x)² - 120(1)⁷(1/x)³ + 210(1)⁶(1/x)⁴ - 252(1)⁵(1/x)⁵ + 210(1)⁴(1/x)⁶ - 120(1)³(1/x)⁷ - 45(1)²(1/x)⁸ + 10(1)(1/x)⁹ - (1/x)¹⁰ =

= 1 - 10/x + 45/x² - 120/x³ + 210/x⁴ - 252/x⁵ + 210/x⁶ - 120/x⁷ + 45/x⁸ + 10/x⁹ - 1/x¹⁰.  Solución.

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14) (2m² -5n⁵)⁶

⇒ (2m² -5n⁵)⁶ =

(2m²)⁶ - 6(2m²)⁵(5n⁵) + 15(2m²)⁴(5n⁵)² - 20(2m²)³(5n⁵)³ + 15(2m²)²(5n⁵)⁴ - 6(2m²)(5n⁵)⁵ + (5n⁵)⁶ = 

= 64m¹² - 960m¹⁰n⁵ + 6000m⁸n¹⁰ - 20000m⁶n¹⁵ +37500m⁴n²⁰ - 37500m²n²⁵ +15625n³⁰.  Solución.

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15) (4 - x⁵/4)⁷

⇒ (4 - x⁵/4)⁷ =

(4)⁷ - 7(4)⁶(x⁵/4) + 21(4)⁵(x⁵/4)² - 35(4)⁴(x⁵/4)³ + 35(4)³(x⁵/4)⁴ - 21(4)²(x⁵/4)⁵  -  7(4)(x⁵/4)⁶ - (x⁵/4)⁷ =

16384 - 7168 x⁵ + 1344 x¹⁰ - 140 x¹⁵ + 35/4 x²⁰ - 21/64 x²⁵ + 7/1024 x³⁰ -1/16384 x³⁵. Solución.

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Resolución y gráfica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Es hallar el punto del espacio por el que pasan los tres planos correspondientes a las ecuaciones.

Procedimiento:

1) Se representan gráficamente los tres planos que corresponden a cada una de las ecuaciones del sistema hallando sus trazas.

2) Se traza la intersección de dos cualesquiera de ellos, que será una línea recta. 

3) Se traza la intersección del tercer plano con cualquiera de los anteriores, que será otra línea recta. 

4) Se busca un punto donde se intersecan las dos rectas halladas y ese será el punto común a los tres planos. 

Las coordenadas del punto común son la solución del sistema. 

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Ejemplo. Resolver gráficamente el sistema:  

Hallando las trazas de los tres planos para cada ecuación: 

Para 2x +2y +z = 12

Si y = 0, z = 0 -> 2x+2(0)+(0) =12 -> 2x = 12 -> x = 6   Punto (6, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+2y+(0)=12 -> 2y = 12 -> y = 6  Punto (0, 6, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+2(0)+z =12 -> z = 12   Punto (0, 0, 12)

Para x +y +z = 8

Si y = 0, z = 0 -> x+(0)+(0) =8 -> x = 8    Punto (8, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> (0)+y+(0)= 8 -> y = 8    Punto (0, 8, 0)

Si x = 0, y = 0 -> (0)+(0)+z =8 -> z = 8    Punto (0, 0, 8)

Para 3x +2y +5z = 30

Si y = 0, z = 0 -> 3x+2(0)+5(0) =30 -> 3x = 30 -> x = 10   Punto (10, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 3(0)+2y+5(0)=30 -> 2y = 30 -> y = 15    Punto (0, 15, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 3(0)+2(0)+5z =30 -> 5z = 30 -> z = 6      Punto (0, 0, 6)

Graficar los planos para cada una de las ecuaciones. 

Trazar la intersección del 1° plano ABC con el 2° DEF y resulta una recta MN 

Trazar la intersección del 2° plano DEF con el 3° plano GHI y resulta una recta RQ 

Ambas intersecciones MN y QR se cortan en el punto P, este punto pertenece a los 3 planos.

Las coordenadas de P de la figura son x = 2, y = 2 , z = 4, (2, 2, 4), que es la solución al sistema de ecuaciones dado.

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Ejercicio 191.

Resolver y representar gráficamente los sistemas:

1)

Para x +2y + z = 8

Si y = 0, z = 0 -> x+2(0)+(0) =8 -> x = 8    Punto (8, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> (0)+2y+(0)=8 -> 2y = 8 -> y = 4  Punto (0, 4, 0)

Si x = 0, y = 0 -> (0)+2(0)+z=8 -> z = 8   Punto (0, 0, 8)

Para 2x +2y + z = 9

Si y = 0, z = 0 -> 2x+2(0)+(0)=9 -> 2x = 9 -> x = 4.5   Punto (4.5, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+2y+(0)=9 -> 2y = 9 -> y = 4.5   Punto (0, 4.5, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+2(0)+z=9 -> z = 9    Punto (0, 0, 9)

Para 3x +3y +5z = 24

Si y = 0, z = 0 -> 3x+3(0)+5(0)=24 -> 3x = 24 -> x = 8    Punto (8, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 3(0)+3y+5(0) =24 -> 3y = 24 -> y = 8   Punto (0, 8, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 3(0)+3(0)+5z =24 -> 5z = 24 -> z = 4.8      Punto (0, 0, 4.8)

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2)   

Para x +y + z = 5

Si y = 0, z = 0 -> x+(0)+(0) =5 -> x = 5    Punto (5, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> (0)+y+(0)=5 -> y = 5   Punto (0, 5, 0)

Si x = 0, y = 0 -> (0)+(0)+z=5 -> z = 5   Punto (0, 0, 5)

Para 3x +2y + z = 8

Si y = 0, z = 0 -> 3x+2(0)+(0)=8 -> 3x = 8 -> x = 2.66   Punto (2.66, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 3(0)+2y+(0)=8 -> 2y = 8  -> y = 4   Punto (0, 4, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 3(0)+2(0)+z=8 -> z =  8    Punto (0, 0, 8)

Para 2x +3y +3z = 14

Si y = 0, z = 0 -> 2x+3(0)+3(0)=14 -> 2x = 14 -> x = 7    Punto (7, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+3y+3(0) =14 -> 3y = 14 -> y = 4.66   Punto (0, 4.66, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+3(0)+3z =14 -> 3z = 14 -> z = 4.66      Punto (0, 0, 4.66)

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3)  

Para 2x +2y +3z = 23

Si y = 0, z = 0 -> 2x+2(0)+3(0) =23 -> 2x = 23 -> x = 11.5   Punto (11.5, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+2y+3(0)=23 -> 2y = 23 -> y = 11.5   Punto (0, 11.5, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+2(0)+3z=23 -> 3z = 23 -> z = 7.66   Punto (0, 0, 7.66)

Para 2x +3y + 2z = 20

Si y = 0, z = 0 -> 2x+3(0)+2(0)=20 -> 2x=20 -> x = 10       Punto (10, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+3y+2(0)=20 -> 3y=20  -> y = 6.66   Punto (0, 6.66, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+3(0)+2z=20 -> 2z= 20 -> z = 10       Punto (0, 0, 10)

Para 4x +3y +2z = 24

Si y = 0, z = 0 -> 4x+3(0)+2(0)=24 -> 4x=24 -> x = 6     Punto (6, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 4(0)+3y+2(0) =24 -> 3y=24 -> y = 8    Punto (0, 8, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 4(0)+3(0)+2z =24 -> 2z=24 -> z = 12   Punto (0, 0, 1)

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4) 

Para 2x +2y +3z = 24

Si y = 0, z = 0 -> 2x+2(0)+3(0) =24 -> 2x = 24 -> x = 12   Punto (12, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+2y+3(0)=24 -> 2y = 24 -> y = 12   Punto (0, 12, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+2(0)+3z=24 -> 3z = 24 -> z = 8   Punto (0, 0, 8)

Para 4x +5y + 2z = 35

Si y = 0, z = 0 -> 4x+5(0)+2(0)=35 -> 4x=35 -> x = 8.75  Punto (8.75, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 4(0)+5y+2(0)=35 -> 5y=35  -> y = 7      Punto (0, 7, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 4(0)+5(0)+2z=35 -> 2z= 35 -> z = 11.5  Punto (0, 0, 11.5)

Para 3x +2y +z = 19

Si y= 0, z = 0 -> 3x+2(0)+(0)=19 -> 3x=19 -> x = 6.33  Punto (6.33, 0, 0)

Si x= 0, z = 0 -> 3(0)+2y+(0) =19 -> 2y=19 -> y = 9.5   Punto (0, 9.5, 0)

Si x= 0, y = 0 -> 3(0)+2(0)+z =19 -> z=19 -> z = 19    Punto (0, 0, 19)

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5)

Para 3x +4y +5z = 35

Si y=0, z=0 -> 3x+4(0)+5(0) =35 -> 3x=35 -> x=11.66   Punto (11.66, 0,0)

Si x = 0, z = 0 -> 3(0)+4y+5(0)=35 -> 4y=35 -> y= 8.75 Punto (0, 8.75, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 3(0)+4(0)+5z=35 -> 5z=35 -> z=7        Punto (0, 0, 7)

Para 2x +5y + 3z = 27

Si y = 0, z = 0 -> 2x+5(0)+3(0)=27 -> 2x=27 -> x=13.5  Punto (13.5, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 -> 2(0)+5y+3(0)=27 -> 5y=27 -> y=5.4    Punto (0, 5.4, 0)

Si x = 0, y = 0 -> 2(0)+5(0)+3z=27 -> 3z= 27 -> z=9       Punto (0, 0, 9)

Para 2x +y +z = 13

Si y= 0, z = 0 -> 2x+(0)+(0)=13 -> 2x=13 -> x=6.5      Punto (6.5, 0, 0)

Si x= 0, z = 0 -> 2(0)+y+(0) =13 -> y=13 -> y=13        Punto (0, 13, 0)

Si x= 0, y = 0 -> 2(0)+(0)+z =13 -> z=13 -> z=13         Punto (0, 0, 13)

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6) 

Para 3x +4y +5z = 35

Si y=0, z=0 -> 3x+4(0)+5(0) =42 -> 3x=42 -> x=14   Punto (14, 0, 0)

Si x= 0, z= 0 -> 3(0)+4y+5(0)=42 -> 4y=42 -> y=10.5 Punto (0, 10.5, 0)

Si x  0, y= 0 -> 3(0)+4(0)+5z=22 -> 5z=42 -> z=8.4    Punto (0, 0, 8.4)

Para 3x +4y + 3z = 33

Si y= 0, z= 0 -> 3x+4(0)+3(0)=33 -> 3x=33 -> x=11  Punto (11, 0, 0)

Si x= 0, z= 0 -> 3(0)+4y+3(0)=33 -> 4y=33 -> y=8.25   Punto (0, 8.25, 0)

Si x= 0, y= 0 -> 3(0)+4(0)+3z=33 -> 3z= 33 -> z=11     Punto (0, 0, 11)

Para 2x +5y +2z = 29

Si y= 0, z= 0 -> 2x+5(0)+2(0)=29 -> 2x=29 -> x=14.5   Punto (14.5, 0, 0)

Si x= 0, z= 0 -> 2(0)+5y+2(0) =29 -> 5y=29 -> y=5.8    Punto (0, 5.8, 0)

Si x= 0, y= 0 -> 2(0)+5(0)+2z =29 -> 2z=29 -> z=14.5  Punto (0, 0, 14.5)

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