Para este caso hallamos el m.c.d. de dos polinomios como en el Ejercicio 113. y luego buscamos el m.c.d. del tercer polinomio y del m.c.d encontrado; y así sucesivamente, según la cantidad de polinomios del problema planteado. El m.c.d. solución será el último m.c.d encontrado.
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Ejemplo.
Hallar por divisiones sucesivas, el m.c.d de 2x³-11x²+10x+8 , 2x³+x²-8x-4 y 6ax²+11ax+4a.
m.c.d. de 2x³-11x²+10x+8 y 2x³+x²-8x-4
. 1 .
2x³+x²-8x-4 | 2x³-11x²+10x+ 8
. -2x³- x²+ 8x+ 4
. -12x²+18x+12 → ÷ -6 = 2x²-3x -2
. x+2 .
2x²-3x -2 | 2x³+ x²- 8x- 4
. -2x³+3x²+2x
. 4x²- 6x- 4
. -4x²+6x+4
. 0
→ el m.c.d. de 2x³-11x²+10x+8 y 2x³+x²-8x-4 es 2x²-3x -2
Buscando el m.c.d. de 2x²-3x -2 y 6ax²+11ax+4a.
Antes le sacamos el factor común al tercer polinomio:
6ax²+11ax+4a.= a(6x²+11x+4)
. 3 .
2x²-3x -2 | 6x²+11x+ 4
. -6x²+ 9x+ 6
. 20x+10 → ÷ 10 = 2x+1
. x-2 :
2x+1 | 2x²-3x -2
. -2x²- x
. -4x -2
. 4x+2
. 0
→ el m.c.d. de 2x³-11x²+10x+8 , 2x³+x²-8x-4 y 6ax²+11ax+4a es 2x+1
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Ejercicio 114.
Hallar, por divisiones sucesivas, el m.c.d. de:
1) x³-2x²-5x+6 , 2x³-5x²-6x+9 y 2x²-5x-3
. 2 .
x³-2x²-5x+6 | 2x³- 5x² - 6x+ 9
. -2x³+4x²+10x-12
. - x² + 4x- 3 → ÷ -1 = x² -4x +3
. x+2 .
x² -4x +3 | x³- 2x²-5x+6
. -x³+4x²-3x
. 2x²-8x+6
. -2x²+8x- 6
. 0
→ el m.c.d de los 2 primeros polinomios es x² -4x +3
. 2 .
x² -4x +3 | 2x²- 5x-3
. -2x²+8x-6
. 3x-9 → ÷ 3 = x-3
. x-1 .
x-3 | x²-4x +3
. -x²+3x
. - x+3
. x- 3
. 0
→ el m.c.d de los tres polinomios es x-3.
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2) 2x³-x²y-2xy²+y³ , 8x³+6x²y-3xy²-y³ y 6x²-xy-y²
. 4 .
2x³-x²y-2xy²+y³ | 8x³+ 6x²y- 3xy²- y³
. -8x³+ 4x²y+8xy²-4y³
. 10x²y+5xy²-5y³ → ÷ 5y = 2x²+xy-y²
. x .
2x²+xy-y² | 2x³- x²y-2xy²+y³
. -2x³- x²y- xy²
. -2x²y- xy²+y³ → ÷ -y = 2x² +xy -y²
1 .
2x² +xy -y² | 2x²+xy-y²
. -2x²- xy+y²
. 0
→ El m.c.d. de los primeros dos polinomios es 2x² +xy -y²
. 3 .
2x² +xy -y² | 6x²- xy- y²
. -6x²-3xy+3y²
. -4xy+2y² → ÷ -2y = 2x-y
. x+y .
2x-y | 2x²+xy-y²
. -2x²+xy
. 2xy- y²
. -2xy+y²
. 0
→ El m.c.d. de los tres polinomios es 2x-y.
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3) x⁴+x³-x²-x , 2x³+2x²-2x-2 y 5x³-5x²+2x-2
Sacando el factor común de x⁴+x³-x²-x = x(x³+x²-x-1)
. 2 .
x³+x²-x-1 | 2x³+2x²- 2x- 2
. -2x³- 2x²+2x+2
. 0
→ El m.c.d. de los primeros dos polinomios es x³+x²-x-1
. 5 .
x³+x²-x-1 | 5x³- 5x²+2x -2
. -5x³- 5x²+5x+5
. -10x²+7x+3 → ÷ -1 = 10x²-7x-3
y, (x³+x²-x-1) (10) = 10x³+10x²-10x-10
. x .
10x²-7x-3 | 10x³+10x²-10x-10
. -10x³+ 7x²+ 3x
. 17x²- 7x-10
→ (17x²-7x-10)(10) = 170x²-70x-100
y, (10x²-7x-3)(17) = 170x²-119x-51
. 1 .
170x²-70x-100 | 170x²-119x- 51
. -170x²+ 70x+100
. - 49x+ 49 → ÷ -49 = x-1
. 170x+100
x -1 | 170x² - 70x- 100
. -170x²+170x
. 100x- 100
. -100x+100
. 0
→ El m.c.d. de los tres polinomios es x -1
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4) 3a⁴-9a³x+4a²x²-3ax³+2x⁴ , a⁴+3a³x+a²x²-3ax³-2x⁴ y 4a³+8a²x-ax²-2x³
. 3 .
a⁴+3a³x+a²x²-3ax³-2x⁴ | 3a⁴-9a³x+4a²x²- 3ax³+2x⁴
. -3a⁴-9a³x- 3a²x²+9ax³+6x⁴
. a²x²+6ax³+8x⁴ → ÷ x²=a²+6ax+8x²
. a²-3ax+11x² .
a²+6ax+8x² | a⁴+3a³x+ a²x² - 3ax³- 2x⁴
. -a⁴- 6a³x- 8a²x²
. -3a³x - 7a²x² - 3ax³
. 3a³x+18a²x²+24ax³
. 11a²x²+21ax³- 2x⁴
. -11a²x²- 66ax³-88x⁴
. -45ax³-90x⁴ = -45x³(a+2x)
. a+4x .
a +2x | a²+6ax+8x²
. -a²- 2ax
. 4ax+8x²
. -4ax- 8x²
. 0
→ El m.c.d. de los dos primeros polinomios es a+2x.
. 4a²-x² .
a+2x | 4a³+8a²x-ax²-2x³
. -4a³- 8a²x
. -ax²-2x³
. ax²+2x³
. 0
→ El m.c.d. de los tres polinomios es a+2x.
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