Multiplicación de polinomios con exponentes negativos y fraccionarios.

.          

Notas: Para multiplicar polinomios primero hay que ordenar los términos en orden ascendente o descendente con relación a una letra, tomando en cuenta lo siguiente:

1°.  En el orden ascendente, el exponente entero negativo o el fraccionario negativo que irá primero será aquel que esté menos próximo a cero.  Ejemplo: -1 es menor que -1/2, porque está menos próximo a cero (0)

2°.  En el orden descendente, el exponente entero negativo o el fraccionario negativo que irá primero será aquel que esté más próximo a cero.  Ejemplo:  -3/7 es mayor que -3/8, porque está más próximo a cero (0)

________________________________________________

Veamos unos ejemplos de la multiplicación de polinomios:

a) 2x⁻¹ + 3x⁻¹⁄²y⁻¹⁄² + y⁻¹  por  x⁻¹- x⁻¹⁄²y⁻¹⁄²+ y⁻¹

>Ya están ordenados en orden ascendente en relación a la letra “x”.

2x⁻¹ + 3x⁻¹⁄²y⁻¹⁄² + y⁻¹

x⁻¹ - x⁻¹⁄²y⁻¹⁄² + y⁻¹           

2x⁻² + 3x⁻³⁄²y⁻¹⁄² +  x⁻¹y⁻¹

.       – 2x⁻³⁄²y⁻¹⁄² - 3x⁻¹y⁻¹   -  x⁻¹⁄²y⁻³⁄²

                           + 2x⁻¹y⁻¹ + 3x⁻¹⁄²y⁻³⁄² + y⁻²

2x⁻²  +  x⁻³⁄²y⁻¹⁄²                  +2x⁻¹⁄²y⁻³⁄² + y⁻²    Solución.

b) ab⁻¹ - a¹⁄³b + a²⁄³   por  a¹⁄³b⁻³ - b⁻² - a⁻¹⁄³b⁻¹

> Ordenando en orden descendente en relación a la letra “a”:

ab⁻¹ + a²⁄³ - a¹⁄³b

a¹⁄³b⁻³ - b⁻² - a⁻¹⁄³b⁻¹

a⁴⁄³b⁻⁴ + ab⁻³ - a²⁄³b⁻²

.          -  ab⁻³ - a²⁄³b⁻² + a¹⁄³b⁻¹

.                     - a²⁄³b⁻²  - a¹⁄³b⁻¹ + 1

a⁴⁄³b⁻⁴            -3a²⁄³b⁻²              + 1  Solución.

_____________________________________________________

Ejercicio 224.

Multiplicar, ordenando previamente:

1)  a⁻⁴+2+3a⁻²  por  a⁻⁴-a⁻²+1

a⁻⁴+3a⁻²+2

a⁻⁴ -a⁻² +1

a⁻⁸+3a⁻⁶+2a⁻⁴

.     -  a⁻⁶ -3a⁻⁴ - 2a⁻²

.                 a⁻⁴ +3a⁻² +2

a⁻⁸+2a⁻⁶               a⁻² +2  Solución.

2) x²-1+x⁻²  por  x²+2-x⁻²

x² -1 +x⁻²

x² +2 -x⁻²

x⁴ - x² +x⁰

.    2x²        -2 +2x⁻²

.           -x⁰           x⁻² -x⁻⁴

x⁴+ x²         -2  +3x⁻² -x⁻⁴   Solución.

3) x+x¹⁄³+2x²⁄³  por  x¹⁄³+x⁻¹⁄³-2

x +2x²⁄³+x¹⁄³

x¹⁄³  -2+x⁻¹⁄³

x⁴⁄³+2x +  x²⁄³

.     -2x - 4x²⁄³ - 2x¹⁄³

.           +  x²⁄³ + 2x¹⁄³+x⁰

x⁴⁄³        -2x²⁄³           +1  Solución.

_____________________________________________

Multiplicación de monomios con exponentes negativos y fraccionarios.

.                       

La Ley de los Exponentes en la multiplicación, dice que para multiplicar potencias de igual base, se multiplican los coeficientes, se copia la base(letra) y se suman los exponentes.  Esto se aplica también cuando las bases tienen exponentes negativos o fraccionarios.

_______________________________________________

Ejemplos:

1) a⁻⁴ * a

= a⁻⁴⁺¹ = a⁻³

2) a³ * a⁻⁵

= a³⁻⁵  = a⁻²

3) a⁻¹ * a⁻²

= a⁻¹⁻² = a⁻³

4) a³ * a⁻³

= a³⁻³ = a⁰ = 1

5) a¹⁄² * a³⁄⁴

= a¹⁄²⁺³⁄⁴ = a⁵⁄⁴

6) a⁻³⁄⁴ * a¹⁄²

= a⁻³⁄⁴⁺¹⁄² = a⁻¹⁄⁴

_______________________________________________

Ejercicio 223.

Multiplicar:

1) x² * x⁻³

= x²⁻³ = x⁻¹   Solución.

4) a¹⁄² * a

= a¹⁄²⁺¹ = a³⁄²   Solución.

10) 3n² * n⁻²⁄³

= 3n² ⁻²⁄³ = 3n⁴⁄³   Solución.

14) 3a²b¹⁄² * 2a⁻²b⁻¹⁄²

= 6a²⁻²b¹⁄² ⁻¹⁄² = 6a⁰b⁰ = 6*1*1 = 6  Solución.

17) m⁻²⁄³n¹⁄³ * m⁻¹⁄³n²⁄³

= m⁻²⁄³⁻¹⁄³n¹⁄³⁺²⁄³ = m⁻¹n  Solución.

________________________________________________

Valor numérico de expresiones algebraicas con exponentes cero, negativos o fraccionarios.,

.                 

Procedimiento:

1) Sustituir las letras por sus valores.

2) Hacer positivos los valores negativos.

3) Convertir factores fraccionarios en raíces.

4) Factorizar los exponentes de las cantidades subradicales.

5) Efectuar operaciones indicadas.

6) Simplificar.

Nota: Aplicar las reglas y procedimientos explicados en “Teoría de los Exponentes”

_______________________________________________

Ejemplos:

a)  Valor numérico de a⁻²b+a¹⁄²b³⁄⁴+x⁰ ; para a=4, b=16, x=3

>Se sustituyen las letras por sus valores:

(4⁻²)(16)+(4¹⁄²)(16³⁄⁴)+3⁰

>Se efectúan las operaciones indicadas:

(1/4²)(16)+(√4)(⁴√16³)+1

= (1/16)(16)+(2)(⁴√(2⁴)³)+1

= 1+(2)(2³)+1

= 1+(2)(8)+1

= 1+16+1 = 18  Solución.

b) Valor numérico de 3/a⁻¹⁄²b²⁄³+x⁻³⁄⁵y⁰-a⁻³b¹⁄³/2 +1/b⁰ ⁵√x⁴

para a=4, b=8, x=32, y=7

>Sustituyendo las letras por sus valores:

3/(4⁻¹⁄²)(8²⁄³) + (32⁻³⁄⁵)(7⁰) - (4⁻³)(8¹⁄³)/2  + 1/(8⁰)(⁵√32⁴)

>Haciendo positivos los valores negativos:

3(4¹⁄²)/8²⁄³ + 7⁰/32³⁄⁵ - 8¹⁄³/2(4³) + 1/(8⁰)(⁵√32⁴)

>Convirtiendo factores fraccionarios en raíces:

= 3(√4)/³√8² + 1/⁵√32³- ³√8/128 + 1/ 1(⁵√32⁴)

= (3)(2)/³√(2³)² + 1/⁵√(2⁵)³ - 2/128 + 1/ ⁵√(2⁵)⁴

= 6/2² + 1/2³ - 1/64 + 1/2⁴

= 6/4 + 1/8 – 1/64 + 1/16

= 3/2 + 1/8 -1/54 + 1/16 = 1. 43/64  Solución.

____________________________________________

Ejercicio 222.

Hallar el valor numérico de:

1) a⁻² + a⁻¹b¹⁄² + x⁰ :  para a=3, b=4

= 3⁻² + (3⁻¹)(4¹⁄²) + x⁰  (Toda cantidad elevada a la ⁰ es = 1)

= 1/3² + (1/3)(4¹⁄²) + 1

= 1/9 + (1/3)(√4) + 1

= 1/9 + (1/3)2 +1

= 1/9 + 2/3 +1 = 1. 7/9  Solución.

_______________________________________________

2) 3x⁻¹⁄² + x²y⁻³ + x⁰y¹⁄³  ;  Para x=4,  y=1

= 3(4⁻¹⁄²) + (4²)(1⁻³) + (4⁰)(1¹⁄³)

= 3/4¹⁄²) + 16/1³ + (1)( 1¹⁄³)

= 3/√4) +16/1 + (1)(³√1)

= 3/2 +16 + (1)(1)

= 3/2 +16 +1 = 37/2 = 18.½  Solución.

________________________________________________

3) 2a⁻³b + a⁻⁴/b⁻¹ + a¹⁄²b⁻³⁄⁴  ;  para a=4, b=16

= 2(4⁻³)(16) + 4⁻⁴ /16⁻¹ + (4¹⁄²)(16⁻³⁄⁴)

= 2(16) / 4³ + 16/4⁴ + 4¹⁄ ²/ 16³⁄⁴

= 32/64 + 16/256 + √4 / ⁴√16³

= ½ + 1/16 + 2 / ⁴√(2⁴)³

= ½ + 1/16 + 2/2³

= ½ + 1/16 + ¼ = 13/16   Solución.

________________________________________________

Expresiones con exponentes cero, negativos o fraccionarios.

.                              

Aplicar las reglas y procedimientos explicados en “Teoría de los Exponentes" 

Ejemplos:

a) Expresar con signo radical y exponentes positivos  a³⁄⁴/x⁻¹⁄²

1° Pasar el factor del denominador, que es negativo al numerador como positivo:

a³⁄⁴/x⁻¹⁄² = a³⁄⁴ x¹⁄²

2° Expresar con signo radical:

a³⁄⁴ x¹⁄² =  ⁴√a³ √x   Solución.

b) Expresar con exponentes fraccionarios positivos ³√a⁻² /3 √x⁻⁵

1° Expresar con exponentes fraccionarios:

³√a⁻² /3 √x⁻⁵  = a⁻²⁄³ /3 x⁻⁵⁄²

2° Pasar los factores negativos a positivos:

a⁻²⁄³ /3 x⁻⁵⁄² =  x⁵⁄² /3a²⁄³   Solución.

c) Hallar el valor de 125²⁄³

1°  Expresar con signo radical:

125²⁄³ = ³√125²

2°  Resolviendo la cantidad subradical y convirtiéndola a nueva potencia:

³√125²  =  ³√15625  = ³√5⁶

3°  Factorizando el exponente de la nueva cantidad subradical

³√5⁶ = ³√(5²)³

4°  Eliminando el exponente de la cantidad subradical y el índice de la raíz:

³√(5²)³ = 5² = 25   Solución.

d) Hallar el valor de (4/9)⁻⁵⁄²

1°  Expresar el exponente negativo en positivo:

(4/9)⁻⁵⁄² =  1/ (4/9)⁵⁄²

2°  Expresar la potencia del denominador como radical:

1/ (4/9)⁵⁄² =  1/ √(4/9)⁵

3°  Factorizando la cantidad subradical (4/9) :

1/ √(4/9)⁵ = 1/ √(2²/3²)⁵

4°  Eliminando el índice de la raíz y los exponentes de la fracción (2²/3²):

1/ √(2²/3²)⁵ = 1/(2/3)⁵

5°  Resolviendo las operaciones y simplificando:

1/(2/3)⁵ = 1/ 32/243 = 1 * 243/32 = 243/32  Solución.

_____________________________________________

Ejercicio 221.

 Expresar con signo radical y exponentes positivos:

1) x⁻¹⁄² = 1/ x¹⁄² = 1/√x  Solución.

2) 1/ a⁻¹⁄²b²⁄³ = a¹⁄² / b²⁄³ = √a / ³√b²  Solución.

3) 5a⁵⁄⁷b⁻¹⁄³ = 5a⁵⁄⁷ / b¹⁄³ = 5 ⁷√a⁵ / ³√b  Solución.

Expresar con exponentes positivos:

16) √a⁻³ = a⁻³⁄² = 1 / a³⁄²  Solución.

17) 2√x⁻³y⁻⁴ = 2x⁻³⁄²y⁻⁴⁄² = 2 / x³⁄²y⁴⁄² = 2 / x³⁄²y²  Solución.

18) a²⁄³ /√x⁻⁵ = a²⁄³ / x⁻⁵⁄² = a²⁄³x⁵⁄²  Solución.

Hallar el valor de:

25) 16³⁄² = √16³ = √(4²)³ = 4³ = 64  Solución.

28) 9⁻⁵⁄² = 1/ 9⁵⁄²= 1/√9⁵ = 1/ √(3²)⁵ = 1/3⁵ = 1/243  Solución.

29) (-27)²⁄³ = ³√-27² = ³√(-3³)² = -3² = 9  Solución.

_______________________________________________

Trasladar factores literales del numerador al denominador y viceversa, y expresar sin denominadores

a)     ;   b)     ;   c) 

Casos:

a) Trasladar factores literales del numerador al denominador de una expresión.

Ejemplo: Sea la expresión x³/y⁴ = 1/x⁻³y⁴

Se deja en el numerador el coeficiente de x³, que es 1, y x³ se traslada al denominador con el signo cambiado.

b) Trasladar factores literales del denominador al numerador de una expresión.

Ejemplo:  Sea la expresión  a²b/c³ = a²bc⁻³/1 = a²bc⁻³ (En este caso el coeficiente 1, en el denominador no se pone.)

.                                       xy²/3z⁻² =   xy²z²/3

c) Expresar sin denominadores. ( o lo que es lo mismo, trasladar el denominador al numerador)

Ejemplo:   2x²y³z⁴/x⁻¹y² =  2(x²)(x¹)(y³)(y⁻²)z⁴ = 2x³y¹z⁴ = 2x³yz⁴

_____________________________________________

Ejercicio 220.

•  Pasar los factores literales del numerador al denominador de:

1)  a²/b² 

= 1 /a⁻²b²  Solución.

3) 4mn²/x³

= 4 /m⁻¹n⁻²x³   Solución.

5) 3c⁻²⁄³/7

= 3 /7c²⁄³  Solución.

7) m⁻³/5 

=  1 /5m³    Solución.

•  Pasar los factores literales del denominador al numerador de:

14) 3a/b² 

= 3ab⁻²   Solución.

16) 4/ x⁻¹⁄²y² 

= 4x¹⁄²y⁻²   Solución.

17)  3a⁵/7x⁻⁵y⁻³⁄⁴ 

= 3a⁵x⁵y³⁄⁴ /7  Solución.

•  Expresar sin denominador :

21) 3a²b³/a⁻¹x

= 3(a²)(a)b³x⁻¹

= 3a³b³x⁻¹  Solución.

23) m⁻²n⁻¹x⁻¹⁄²/m⁻⁴n⁻⁵x⁻² 

= (m⁻²)(m⁴)(n⁻¹)(n⁵)(x⁻¹⁄²)(x²) 

=  m²n⁴x³⁄²   Solución.

Transformar expresión con exponentes negativos en una expresión con exponentes positivos.

.                

Exponente Negativo:  a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
_________________________________________

Pasar factores del numerador al denominador o viceversa.
Al pasar se le cambia signo al o los exponentes.
_________________________________________

Transformar una expresión con exponentes negativos en una expresión con exponentes positivos.

Procedimiento:

1) Se pasan los factores con exponentes negativos de la expresión, según donde se encuentren. Los factores con exponentes positivos se dejan en su mismo lugar.

2) Se simplifica.

__________________________________________

Ejemplos:

a) Expresar con exponentes positivos: x⁻¹y⁻²

x⁻¹y⁻²  

= 1/xy²  Solución.

(El coeficiente de la expresión original es 1, por lo tanto se deja como numerador de la expresión equivalente)

b) Expresar con exponentes positivos: 3ab⁻¹c⁻³

3ab⁻¹c⁻³
= 3a(1/b¹)(1/c³)
= 3a(1)(1) /bc³

= 3a/bc³  Solución.

(En este caso el coeficiente 3 se deja como numerador de la expresión equivalente y también la letra “a” por ser su exponente positivo)

c) Expresar con exponentes positivos:  x/2x¹⁄²y⁻⁴

x/2x⁻¹⁄²y⁻⁴
= (x)(x¹⁄²)y⁴/2 

= x³⁄²y⁴/2   Solución.

(En este caso la “x” en el numerador y el “2” en el denominador, no se cambian de lugar; además la “x” y “x¹⁄²,” que se subió, se multiplican, quedando simplificado como x³⁄²)

d) Expresar con exponentes positivos:  2a²b⁻⁵c⁻⁷/5a⁻³b⁻⁴c⁻⁶ 

2a²b⁻⁵c⁻⁷ / 5a⁻³b⁻⁴c⁻⁶
= (2a²)(a³)b⁴c⁶ / 5b⁵c⁷ 

= 2a⁵b⁴c⁶ / 5b⁵c⁷  (Se simplifican b⁴c⁶ del numerador con b⁵c⁷ del denominador)

= 2a⁵/5bc  Solución.

________________________________________________

Ejercicio 219.

Expresar con exponentes positivos y simplificar:

1) a²b⁻³
= a²/b³  Solución.

_______________________________________________

3) a⁻⁴b⁻¹⁄²

= 1/a⁴b¹⁄²  Solución.

_______________________________________________

6) a²b⁻¹c

= a²c/b  Solución.

_______________________________________________

11)  2a⁻²b⁻³ / a⁻⁴c⁻¹

= 2a⁴c / a²b³     Simplificando las “a”, quedaría así:

= 2a²c / b³  Solución.

_______________________________________________

13) 3m⁻⁴n⁻¹⁄² / 8m⁻³n⁻⁴

= 3m³n⁴ / 8m⁴n¹⁄²    Simplificando las “m” y las “n”, quedaría así:

= 3n⁷⁄² / 8m   Solución.

_______________________________________________

Exponente Fraccionario.

.                           

Exponente Fraccionario.

Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario equivale a una raíz cuyo índice es el denominador del exponente y la cantidad subradical la misma cantidad elevada a la potencia que indica el numerador del exponente.

aᵐ⁄ⁿ =  ⁿ√aᵐ     ;      a^²⁄³ = ^³√a^²

_________________________________________

Ejemplos:

a) Expresar con signo radical   x^³/⁵  ,  2a^¹/²  ,  x^²/³y^¹/⁴

x^³/⁵ =  ⁵√x³

2a^¹/² = 2 ^²√a^¹ = 2√a

x^²/³y^¹/⁴ = ³√x²  ^⁴√y

b) Expresar con exponente fraccionario:  ³√a    ,     2 ⁴√a³   ,    √x³  ⁵√y⁴

³√a =  a¹⁄³

2 ⁴√a³ =2a³⁄⁴

√x³  ⁵√y⁴ = x³⁄²y⁴⁄⁵

________________________________________

Ejercicio 218

1) Expresar con signo radical  x¹⁄³

=  ³√x¹

= ³√x  Solución

3) Expresar con signo radical  4a³⁄⁴ 

= 4 ⁴√a³  Solución

6) Expresar con signo radical  x³⁄²y¹⁄⁴z¹⁄⁵

= ²√x³ ⁴√y¹ ⁵√z¹ = √x³ ⁴√y ⁵√z

= √x² √x ⁴√y ⁵√z   [en este caso se factorizó el término de la cantidad subradical √x³,

porque su exponente es mayor que el índice de la raíz, quedando así (√x²)(√x)]

x √x ⁴√y ⁵√z      [aquí se eliminó el término anterior (√x²),

porque el índice de la raíz y el exponente son iguales], quedando solo “x”.

x √x ⁴√y ⁵√z   Solución

10) Expresar con signo radical  8mn⁸⁄³

= 8m ³√n⁸

= 8m ³√n⁶ ³√n²  (se factorizó el termino anterior ³√n⁸)

= 8mn² ³√n²   (se eliminó el índice de la raíz³ de ³√n⁶; dividiendo el exponente

de n⁶ entre el índice de la raíz³, quedando fuera de la raíz “n²”

Entonces la Solución es 8mn² ³√n²

13) Expresar con exponente fraccionario  √a⁵

= a⁵⁄²  Solución

17) Expresar con exponente fraccionario  2 ⁴√x⁵

= 2x⁵⁄⁴   Solución

18) Expresar con exponente fraccionario  √a³ ³√b⁵

= a³⁄²b⁵⁄³  Solución

24) expresar con exponente fraccionario   ᵐ√a ⁿ√b³ ʳ√cᵡ 

= a¹⁄ᵐ b³⁄ⁿ c ͯ ⁄ ͬ   Solución.

__________________________________________

Raíz cúbica de polinomios.

Procedimiento:

1) Se ordena el polinomio. (Si fuera necesario).

2) Se extrae la raíz cúbica de su primer término, que será el primer término de la raíz; este término se eleva al cubo y se resta del polinomio.

3) Se bajan los tres términos siguientes del polinomio y se divide el primero de ellos por el triplo del cuadrado del término ya hallado de la raíz; el cociente de esta división es el segundo término de la raíz.

4) Se forman tres productos;

1º. Triplo del cuadrado del primer término de la raíz por el segundo término de la raíz.

2º. Triplo del primer término por el cuadrado del segundo.

3º. Cubo del segundo término de la raíz.

Estos productos se restan (cambiándoles los signos) de los tres términos del polinomio que se habían bajado.

5) Se bajan los términos que faltan del polinomio y se divide el primer término del residuo por el primer término que resulte del triplo del cuadrado de la parte ya hallada de la raíz. El cociente es el tercer término de la raíz.

Se forman tres productos:

1º. Triplo del cuadrado del binomio que forman el 1º y 2º término de la raíz por el 3er. Término.

2º. Triplo de dicho binomio por el cuadrado del tercer término.

3º. Cubo del tercer término de la raíz.

Estos productos se restan (reduciendo antes términos semejantes si los hay) del residuo del polinomio. Si la diferencia es cero, la operación ha terminado. Si aún quedan términos en el residuo, se continúa el procedimiento anterior.

___________________________________________________

Veamos el siguiente ejemplo:

Hallar la raíz cúbica de x⁶-9x⁵+33x⁴-63x³+66x²-36x+8.

.    ____________________________

. ³√ x⁶ -9x⁵ +33x⁴ -63x³ +66x² -36x +8 | x² -3x -2                                               Solución .

.    - x⁶                                                       |³√x⁶ = x² ; 3(x²)² = 3x⁴

.          -9x⁵ +33x⁴ -63x³                           | -9x⁵ ÷ 3x⁴ = -3x

.           9x⁵  -27x⁴+27x³                           | 3x⁴(- 3x) = -9x⁵

.                      6x⁴ -36x³ +66x² -36x +8  |3(x²)(-3x)² = 3x²(9x²) = 27x⁴

.                     -6x⁴ +36x³ - 66x² +36x -8 | (-3x)³ = -27x³ .

.                                          0                     | 3(x²-3x)² = 3(x⁴-6x³+9x²) = 3x⁴-18x³+27x²

.                                                                 | 6x⁴ ÷ 3x⁴ = 2

.                                                                 | 3(x²-3x)²(2) = 3(x⁴-6x³+9x²)(2) = 6x⁴-36x³+54x²

.                                                                 | 3(x²-3x)(2)² = 3x²-9x(4) = 12x² -36x

.                                                                 | (2)³ = +8

.                                                                 | 6x⁴-36x³+66x² -36x +8

Ejercicio 216.

Hallar la raíz cúbica de:

1) 8-36y+54y²-27y³

.  ________________

³√ 8 -36y +54y² -27y³ |2 -3y        Solución .

   -8                                |³√8 = 2 ; 3(2)² = 12

.       -36y +54y² -27y³ | -36y ÷ 12 = -3y

.        36y -54y² +27y³ | 12(-3y) = -36y

.                      0             | 3(2)(-3y)² = +54y²

.                                     | (-3y)³ = -27y³

.                                     | -36y +54y² -27y³

____________________________________________

3) x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1

.  ________________________

³√ x⁶ +3x⁵ +6x⁴ +7x³ +6x² +3x +1| x² +x +1                                                 Solución.

.  -x⁶                                                 | ³√x⁶ = x² ; 3(x²)² = 3x⁴

.        +3x⁵ +6x⁴ +7x³                      | 3x⁵ ÷ 3x⁴ = x

.         -3x⁵ -3x⁴  -   x³                      | 3x⁴(x) = 3x⁵

.                   3x⁴ +6x³ +6x² +3x +1 | 3(x²)(x)² = 3x⁴

.                  -3x⁴ -6x³  -6x²  -3x  -1 | (x)³ = x³ .

.                                     0                 | 3(x²+x)² = 3[(x²)² +2(x²)(x) +(x)²] = 3x⁴+2x³+x²

.                                                        | 3x⁴ ÷ 3x⁴ = 1

.                                                        | 3(x²+x)²(1) = 3(x⁴+2x³+x²)(1) = 3x⁴+6x³+3x²

.                                                        | 3(x²+x)(1)² = +3x²+3x

.                                                        | (1)³ = +1

.                                                        | 3x⁴+6x³+6x²+3x+1

___________________________________________________________________

Raíz cuadrada de polinomios con términos fraccionarios.

El procedimiento es el mismo utilizado en la raíz cuadrada de polinomios enteros. Ver Ejercicio 214.

__________________________________________________

Ejemplo.

Hallar la raíz cuadrada de a⁴/16 -a³b/2 +9a²b²/10 +2ab³/5 +b⁴/25

. ________________________________.

√ a⁴/16 -a³b/2 +9a²b²/10 +2ab³/5 +b⁴/25 | a²/4 -ab -b²/5                                                 Solución.

.- a⁴/16                               .                           | √ a⁴/16 = a²/4 → a²/4 · a²/4= a⁴/16

.            - a³b/2 + 9a²b²/10                           | 2(a²/4) = 2a²/4 = a²/2 ;

.              a³b/2 -10a²b²/10                           | -a³b/2 ÷ a²/2= -a³b/2 · 2/ a²= -2a³b/2a²= -ab

.                            - a²b²/10 +2ab³/5 +b⁴/25| → (a²/2 -ab)(-ab)= -a³b/2 +a²b² = -a³b/2 +10a²b²/10

.                                a²b²/10 -2ab³/5 -b⁴/25| 2(a²/4 -ab) = 2a²/4 -2ab = a²/2 -2ab

.                                                    0                 | a²/2 -a²b²/10 ÷ a²/2 = -2a²b² 10a² = -b²/5

.                                                                       | 2(a²/4 -ab) = 2a²/4 -2ab = a²/2 -2ab

.                                                                       | (a²/2 -2ab -b²/5)(- b²/5) = -a²b²/10 +2ab³/5 +b⁴/25

.                                                                       |

Nota: Se cambió, por un equivalente, el segundo término de -a³b/2 +a²b² en +a³b/2 -10a²b²/10 para poder restarlo de su semejante +9a²b²/10.

________________________________________________

Ejercicio 215.

Hallar la raíz cuadrada de:

1) x⁴/4 -x³ +5x²/3 -4x/3 +4/9

.                                                 .

√ x⁴/4 -x³ +5x²/3 -4x/3 +4/9 |x²/2 -x +2/3                        Solución.

.- x⁴/4                  .                    | √ x⁴/4 = x²/2 → x²/2 · x²/2= x⁴/4

.          -x³ +5x²/3                      | 2(x²/2) = 2x²/2 = x²

.           x³  -  x²/3                      | -x³ ÷ x² = -x¹ = -x

.                  2x²/3 -4x/3 +4/9  | (x²-x)(-x) = -x³ +x²

.                 -2x²/3 +4x/3 -4/9  | 2(x²/2 -x) = 2x²/2 -2x = x² -2x

.                               0                | 2x²/3 ÷ x² = 2x3/3x2 = 2/3

.                                                 | (x²-2x+2/3)(2/3) = 2x²/3 -4x/3 +4/9

.                                                 |

__________________________________________________