Sistemas numéricos de dos ecuaciones fraccionarias con dos incógnitas.

.                              

Para resolver este sistema debemos simplificar las ecuaciones hasta dejarlas de la forma ax±by=±c
y finalmente aplicar cualquiera de los métodos de eliminación aprendidos.
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Ejemplos:

a) Resolver el sistema  x - 3x+4 /7 = y+2 /3

.                                      2y - 5x+4 /11 = x+24 /2

Suprimiendo denominadores:

encontrando el mcm de 1, 7, 3, de laprimera ecuación, que es 21; 

y el mcm de 1, 11, 2, de la 2ª ecuación, que es 22.

Dividiendo el mcm entre cada uno de sus respectivos denominadores y el cociente se multiplica por su respectivo numerador.

(21)x - (3)(3x+4) = (7)(y+2)

(22)(2y) - (2)(5x+4) = (11)(x+24)

Efectuando operaciones, trasponiendo y reduciendo términos semajantes:

21x-9x-12 = 7y+14

44y-10x-8 = 11x+264  (Se efectuaron operaciones)

->

21x-9x-7y = 14+12

-10x-11x+44y = 264+8  (se transpusieron términos semejantes)

->

12x-7y = 26

-21x+44y = 272    Sistema simplificado.

Aplicando un método de eliminación (Reducción)

Multiplicando la 1ª ecuación por 7, y la 2ª por 4 para poder eliminar las “x”:

(12x-7y = 26)(7)

(-21x+44y = 272)(4)

Sumando las ecuaciones para eliminar las “x” y encontrar el valor de “y”:

. 84x –  49y =   182

-84x +176y = 1088

.          127y = 1270

y = 1270/127

y = 10

Sustituyendo el valor de “y” en  12x -7y = 26 :

12x -7(10) = 26

12x -70 = 26

12x = 26 +70

x = 96/12

x = 8

Solución sistema:  x = 8

.                               y = 10

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b) Resolver  x+y /x-y = -2/7

.           8x+y-1 /x-y-2 = 2

Suprimiendo denominadores en ambas ecuaciones; multiplicando cruzado:

7(x+y) = -2(x-y)

1(8x+y-1) = 2(x-y-2)

->

7x+7y = -2x+2y

8x+y-1 = 2x-2y-4

Transponiendo y reduciendo términos semejantes:

7x+2x+7y-2y = 0

8x-2x+y+2y = -4+1

->

9x+5y = 0

6x+3y = -3

->

9x+5y = 0

2x+ y = -1       Sistema Simplificado.

Aplicando un método de eliminación (reducción)

Multiplicando la 2ª ecuación por (-5) para eliminar las “y”:

9x+5y = 0

(2x+y = -1)(-5)

Sumando las ecuaciones para encontrar el valor de “x”:

.  9x +5y = 0

-10x -5y = 5

- x          = 5

x = -5

Sustituyendo el valor de “x” en   9x+5y = 0

9(-5) +5y = 0

-45 +5y = 0

5y = 45

y= 45/5

y = 9

Solución del sistema:   x = -5
.                                      y =  9

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Ejercicio 180.

Resolver los siguientes sistemas:


1) 3x/2 +y = 11
    x + y/2 = 7
->
1(3x) +2(y) = 2(11)
2(x) + 1(y) = 2(7)
->
3x +2y = 22
2x + y = 14      Sistema simplificado. 

Aplicando el método de eliminación:

Multiplicando la 2ª ecuación por (-2):

. 3x+2y = 22

-4x -2y = -28

-x         =  -6

x = 6

Sustituyendo el valor de “x”:

2x+y = 14

2(6) +y = 14

12 +y = 14

y = 14-12 -> y = 2

Conjunto solución:  x = 6
.                                 y = 2

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2)  5x/12 -y = 9
.     x - 3y/4 = 15

->
1(5x - 12(y) = 12(9)
4(x) - 1(3y) = 4(15)
->
5x -12y = 108
4x -3y = 60          Sistema simplificado.

Aplicando el método de eliminación:

Multiplicando la 1ª ecuación por -4 y la 2ª por 5:

(5x -12y = 108)(-4)
(4x -3y = 60)(5)
->

-20x+48y = -432
20 x -15y =  300

.        33y = -132

.            y = -132/33 -> y = -4

Sustituyendo el valor de “y”

4x-3y = 60

4x-3(-4) = 60

4x+12 = 60

4x = 60-12

x = 48/4

x = 12

Conjunto solución:  x = 12
.                                 y = -4

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3)  x/7 + y/3 = 5
.    3y - x/14 = 26

->
3(x) + 7(y) = 21(5)
14(3y) -1(x) = 14(26)
->
3x +7y = 105
42y -x = 364
->
3x +7y = 105
- x +42y = 364    Sistema simplificado.

Aplicando el método de eliminación:

Multiplicando la 2ª ecuación por 3:

3x +7y = 105
(- x +42y = 364)(3)
->

.  3x +   7y = 105

– 3x+126y = 1092

.        133y = 1197

y = 1197/133

y = 9

Sustituyendo el valor de “y”:

3x+7y = 105

3x+7(9) = 105

3x+63 = 105

3x = 105-63

x = 42/3

x = 14

Conjunto solución:  x = 14

.                                  y = 9

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4)  x/5 = y/4
.    y/3 = x/3 -1
->
4(x) = 5(y)
1(y) = 1(x) 3(-1)
->
4x = 5y
y = x-3
->
4x -5y = 0
-x+y = -3      Sistema Simplificado.

Aplicando el método de eliminación:

Multiplicando la 2º ecuación por 4:

4x-5y = 0
-4x+4y = -12
->

.  4x- 5y =   0

– 4x+4y = -12

.       – y = -12

.          y =  12

Sustituyendo el valor de “y”:

4x-5y = 0

4x-5(12) = 0

4x-60 = 0

x = 60/4

x = 15

Conjunto solución:  x= 15
.                                 y = 12

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5)  3/5x -1/4y = 2
.    2x = 5/2y

->
3/5x -1/4y = 2
2x -5/2y = 0
->
4(3)x -5(1)y = 20(2)
2(2x) -1(5)y = 2(0)
->
12x -5y = 40
4x -5y = 0        Sistema simplificado.

Aplicando el método de eliminación:

Multiplicando la 2ª ecuación por -1:

12x-5y = 40
-4x+5y = 0
->

12x-5y = 40

-4x+5y =  0

8x         = 40

x = 40/8 -> x = 5

Sustituyendo el valor de “x”:

4x-5y = 0

4(5)-5y = 0

20-5y = 0

y = -20/-5

y = 4

Conjunto Solución:  x = 5
.                                  y = 4

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6) 2/3x -3/4y = 1
.   1/8y -5/6x = 2
-> 
2/3x -3/4y = 1
-5/6x +1/8y = 2
->
4(2)x -3(3)y = 12(1)
4(-5)x +3(1)y = 24(2)
->
8x -9y = 12
-20x +3y = 48  Sistema simplificado.

Aplicando el método de eliminación:

Multiplicando la 1ª ecuación por 5 y la 2ª por 2:

40x -45y = 60
-40x +6y = 96
->

.  40x-45y = 60

– 40x+ 6y = 96

.       -39y = 156

.            y = 156/-39

.            y = -4

Sustituyendo el valor de “y”:

8x-9y = 12

8x-9(-4) = 12

8x+36 = 12

8x = 12-36

x = -24/8

x = -3

Conjunto solución:   x = -3
.                                  y = -4

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