Procedimiento:
1) Se utilizan
dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las incógnitas para
obtener como resultado una ecuación con 2 incógnitas.
2) se utiliza una
tercera ecuación con cualquiera de las dos ecuaciones utilizadas
anteriormente y se elimina la misma incógnita que se eliminó en la
combinación anterior, obteniendo otra ecuación con 2 incógnitas.
3) Se resuelve el
nuevo sistema formado por las dos ecuaciones con dos incógnitas,
para hallar el valor de las incógnitas. Utilizando el procedimiento
visto en "Ecuaciones Simultáneas de 1° Grado con 2
Incógnitas".
4) Con los
valores de las incógnitas obtenido se sustituyen en una de las tres
ecuaciones dadas de tres incógnitas para encontrar el valor de la
tercera incógnita.
Puedes utilizar
cualquiera de los métodos de eliminación; pero aquí en los
ejemplos y ejercicios utilizaré el método de Reducción o de Suma o
Resta.
______________________________________________
Ejemplo a)
Resolver el sistema:
. x+4y- z
= 6 (1)
2x+5y-7z =
-9 (2)
3x- 2y+
z = 2 (3)
>>
Utilizamos las ecuaciones (1) y (2), para eliminar la x.
Multiplicamos la
ecuación (1) por 2; y la ecuación (2) por -1; y quedaría el
sistema así:
2x+8y-2z = 12
-2x-5y+7z =
9 (se le cambió signo a esta ecuación al
multiplicar por -1)
.
3y+5z=21 ( 4) Ecuación con 2 incógnitas
>>
Utilizamos la ecuación (3) y cualquiera de las otras del sistema
dado, en este caso utilizaremos la ecuación (1), para eliminar la x.
Multiplicamos la
ecuación (1) por 3 y la ecuación (3)
por -1; y quedaría el sistema así:
3x+12y-3z =18
-3x+ 2y - z
= -2 (Se le cambio signo a la ecuación al multiplicar por
-1)
.
14y-4z = 16 (5) Ecuación con dos incógnitas.
>> Tomamos
las ecuaciones con 2 incógnitas y formamos un sistema:
. 3y+5z = 21
(4)
14y -4z
= 16 (5)
>> Para
resolverlo eliminamos la z multiplicando la ecuación (4)
por 4 y la ecuación (5) por 5.
12y+20z = 84
70y-20z = 80
(aquí no fue necesario cambiar los signos)
82y
= 164
y = 164/82
y = 2 <--
Solución
>>
Sustituimos el valor de "y" en la ecuación (5)
para encontrar el valor de z:
14y-4z = 16
14(2)-4z =16
28-4z = 16
z = 16-28 /-4
z = -12/-4
z = 3 <--
Solución
>> Por
último sustituimos el valor de "y" y el valor de "z" en
cualquiera de las tres ecuaciones dadas, para este ejemplo en la
ecuación (1); para a encontrar el valor de x.
x+4y-z = 6
x+4(2)-(3) = 6
x+8-3 = 6
x = 6-5
x = 1 <--
Solución
Solución
General: x = 1 , y = 2 , z = 3
______________________________________________
Ejemplo b)
Resolver el sistema
z-4 +
6x-19/5 = -y (1)
10 - x-2z/8
= 2y-1 (2)
4z+3y =
3x-y . (3)
>> En este
caso es necesario realizar algunas operaciones antes de proceder a
hacer combinaciones.
>> Quitando
denominadores:
5z-20+6x-19 = -5y
80-x+2z = 16y-8
4z+3y = 3x-y
>>
Transponiendo términos:
6x+ 5y+5z
= 39 (1)
- x-16y+2z
= -88 (2)
-3x+
4y+4z = 0 (3)
>>
Iniciamos las resolución de las ecuaciones utilizando la (1)
y la (2)
para eliminar la
x. Multiplicamos la (1) por 1 , y la (2)
por 6:
6x + 5y +
5z = 39
-6x-96y+12z =
-528 (no fue necesario cambiar signo a la ecuación)
. -91y+17z
= -489 (4) Ecuación con 2 incógnitas.
>>
Utilizamos la ecuación (3) y la combinamos con la (2),
para eliminar la x. Multiplicamos la (2) por -3:
3x +48y- 6z = 264 (Se le cambió signo a la ecuación, al multiplicar por -3)
-3x+ 4y+4z
= 0
.
52y -2z = 264 (5) Ecuación con 2 incógnitas.
>> Formamos
un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas con la (4) y
la (5)
-91y+17z =
-489 (4)
. 52y - 2z = 264 (5)
>>
Multiplicamos la (4) por 4 y la (5)
por 7:
- 364y+68z = -1956
. 364y -14z = 1848 (aquí no fue necesario cambiar el signo a la
ecuación)
. 54z = -108
z = -108/54
z = -2 <--
Solución
>>
Sustituimos el valor de "z" en la (5) para encontrar la
otra incógnita:
52y-2z = 264
52y-2(-2) = 264
52y+4 = 264
y = 264-4 /52
y = 260/52
y = 5 <--
Solución
>> Por
último sustituimos el valor de las incógnitas obtenidos, en la
ecuación (3), para encontrar el valor de la última
incógnita, que es x:
-3x+4y+4z = 0
-3x+4(5)+4(-2) =
0
-3x+20-8 = 0
-3x = -12
x = -12/-3
x = 4 <--
Solución
La solución
General es x = 4 , y = 5 , z = -2
______________________________________________
Ejemplo c)
Resolver el sistema
2x-5y =13
(1)
4y+z = -8
(2)
x-y-z =
-2 (3)
>>En este
sistema especial hay ecuaciones que no tienen las tres variables; en
este caso se utilizan ecuaciones que tengan las mismas incógnitas;
utilizaré la ecuación (2) y la ecuación (3):
. 4y+z = -8
x - y -z = -2
x+3y
= -10 (4) Ecuación de 2 incógnitas
>>
Combinamos la ecuación (4) con la ecuación (1):
2x - 5y =
13
. x
+3y = -10
>>
Multiplicamos la segunda ecuación por -2 para igualar los
coeficientes de x, pudiendo eliminar esta incógnita:
. 2x-5y = 13
-2x-6y = 20
.
-11y = 33
y = 33/-11
y = -3 <--
Solución.
>>
Sustituimos el valor de "y" en la ecuación (1), para
encontrar el valor de x:
2x-5y = 13
2x-5(-3) = 13
2x +15 = 13
x = 13-15 /2
x = -2/2
x = -1 <--
Solución.
>>
Sustituimos el valor de las incógnitas obtenidos ( x,y) en la
ecuación (3), que tiene tres incógnitas, para
encontrar el valor de z:
x-y-z = -2
(-1)-(-3)-z = -2
-1+3-z = -2
-z = -2-2
-z = -4
z = 4 <--
Solución.
La Solución
general es: x = -1 , y = -3 , z = 4
______________________________________________
Ejercicio
186
1) Resolver el sistema
x+y + z =
6 (1)
x -y+2z =
5 (2)
x -y -3z
= -10 (3)
>>
Utilizamos la ecuación (1) y (2)
x +y + z = 6
x -y +2z = 5
2x +3z
= 11 (4) Ecuación con 2 incógnitas.
>>
Utilizamos la ecuación (1) y (3)
x +y + z =
6
x - y -3z = -10
2x -2z = - 4 (5) Ecuación con 2 incógnitas.
>> Formamos
un nuevo sistema con las ecuaciones de 2 incógnitas (4)
y (5)
2x+3z = 11
(4)
2x -2z =
-4 (5)
>>
Multiplicamos toda la ecuación (5) por -1, y restamos
para eliminar la x:
2x +3z = 11
-2x+2z = 4
(Aquí se cambió el signo a la ecuación al multiplicarla por
-1)
.
5z = 15
z = 15/5
z = 3 <--
Solución
>>
Sustituimos el valor de "z" obtenido, en la ecuación (4)
para encontrar el valor de x:
2x+3z = 11
2x +3(3) = 11
x = 11-9 /2
x = 1 <--
Solución
>>Sustituimos
los valores obtenidos de (x, z) en la ecuación (1)
x+y+z = 6
(1)+y+(3) = 6
y+4 = 6
y = 6-4
y = 2 <--
Solución
La Solución
General es : x = 1 , y = 2 , z = 3
______________________________________________
2)
Resolver el sistema
x+y+z = 12
(1)
2x-y+z = 7
(2)
x+2y-z =
6 (3)
>>
Utilizamos la ecuación (1) y (2)
x +y +z = 12
2x -y +z = 7
3x +2z = 19 (4) Ecuación con 2 incógnitas.
>>
Utilizamos la ecuación (2) y (3)
2x-y+z = 7
x+2y-z = 6
>>
multiplicamos la ecuación (2) por 2 para igualar los
coeficientes de "y".
4x -2y +2z = 14
. x+2y -
z = 6
5x
+ z = 20 (5) Ecuación con 2 incógnitas
>> Formamos
un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
3x+2z = 19
(4)
5x + z =
20 (5)
>>
multiplicamos la (5) por -2 para poder eliminar la z.
. 3x+2z =
19
-10x-2z = -40
(se cambió signo a la ecuación al multiplicarla por -5)
- 7x = -21
x = -21/-7
x = 3 <--
Solución
Sustituimos el
valor de "x" en la ecuación (4)
para encontrar el
valor de z:
3x+2z = 19
3(3)+2z = 19
z = 19-9 /2
z = 5 <--
Solución
>>
Sustituimos los valores obtenidos (x, z ) en la ecuación (1)
para encontrar el
valor de la incógnita "y":
x+y+z = 12
(3)+y+(5) = 12
y = 12-8
y = 4 <--
Solución
La Solución
general es x = 3 , y = 4 , z = 5
______________________________________________
3)
Resolver el sistema
x - y
+z = 2 (1)
x +y
+z = 4 (2)
2x+2y-z =
-4 (3)
>>
Utilizamos las ecuaciones (1) y (2) para
eliminar la "y"
x -y +z = 2
x +y +z = 4
2x
+2z = 6 (4) Ecuación de 2 incógnitas.
>>
Utilizamos las ecuaciones (1) y (3) para
eliminar la "y", multiplicando la ecuación (1)
por 2:
2x -2y +2z = 4
2x +2y - z = -4
4x + z = 0 (5) Ecuación de 2 incógnitas.
>> Formamos
un sistema con las dos ecuaciones de 2 incógnitas:
2x+2z = 6
(4)
4x+ z =
0 (5)
>>
multiplicamos la ecuación (5) por -2 para eliminar la
z:
2x +2z = 6
-8x -2z = 0
-6x
= 6
x = 6/-6
x = -1 <--
Solución
>>
Sustituimos el valor de "x" obtenido, en la ecuación (4)
para encontrar el valor de z:
2x+2z = 6
2(-1)+2z = 6
-2+2z = 6
z = 6+2 /2
z = 4 <--
Solución
>>
Sustituimos en la ecuación (3) los valores obtenidos
de (x, z ) para encontrar el valor de "y":
2x+2y-z = -4
2(-1)+2y-(4) = -4
-2+2y-4 = -4
-6+2y = -4
y = -4+6 /2
y = 2/2
y= 1 <--
Solución.
La Solución
general es : x =-1 , y = 1 , z = 4
______________________________________________
15)
Resolver el sistema
x+y = 1
(1)
y+z = -1
(2)
z+x = -6
(3)
>>
Utilizamos las ecuaciones (1) y (2) y
multiplicamos la (1) por -1 para eliminar la "y":
-x -y
= -1
. +y +z
= -1
-x +z = -2 (4) Ecuación con 2 incógnitas
>>
Utilizamos las ecuaciones (3) y (4)
x + z = -6
-x + z = -2
- 2z
= -8
z = -8/2
z = -4 <--
Solución
>>
Sustituimos el valor de z en la ecuación (2) para
encontrar el valor de x:
y +z = -1
y +(-4) = -1
y -4 = -1
y = -1+4
y = 3 <--
Solución
>>
Sustituimos los valores obtenidos de "y" en la ecuación
(1) para encontrar el valor de x:
x+y = 1
x +(3) = 1
x = 1-3
x = -2 <--
Solución
La Solución
general es: x = -2 , y = 3 , z = -4
_______________________________________________
