Es la forma simplificada de la operación, en la que no se colocan las letras; pero si se consideran al final del producto.
Este tipo de operación se se aplica en los casos siguientes:
I) Cuando se multiplican dos polinomios que contengan una sola y misma letra y estén ordenados con relación a esa misma letra.
II) Cuando se multiplican dos polinomios homogéneos que contengan sólo dos letras comunes y estás estén ordenadas con relación a una y misma letra. Además la suma de los exponentes en cada término son iguales.
Ejemplo: x⁴ +x³y +x²y² +xy³ +y⁴ este polinomio es homogéneo porque la suma de los exponentes de cada término es 4.
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Procedimiento:
1) Se multiplican los coeficientes, con sus propios signos, del multiplicando por los coeficientes del multiplicador.
2) Se multiplica la literal del primer término del multiplicando, por la literal del primer término
del multiplicador, ambas con su respectivo exponente.
3) El resultado anterior será la literal que debe agregarse al primer coeficiente del producto de los coeficientes de los polinomios.
4) A partir del segundo término en adelante se disminuye una unidad en el exponente, si los polinomios fueron ordenados en orden descendente en relación a una misma letra. Y este resultado será la Solución.
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Ejemplos Caso I.
a) Multiplicar 3x³-2x²+5x-2 por 2x²+4x-3
> Multiplicando los coeficientes separados:
3 -2 +5 -2
2 +4 -3 .
6 - 4 +10 - 4
. +12 - 8 +20 - 8
. - 9 + 6 -15 +6
6 + 8 - 7 +22 -23 +6
> Multiplicando el primer término del multiplicando por el primer término del multiplicador, sin los coeficientes, para obtener el exponente del primer término del resultado;
-> (x³)(x²) = x⁵
> Al coeficiente del primer término del producto se le agrega x⁵ y como en los polinomios multiplicados el exponente de cada término disminuye una unidad, se hace lo mismo en los siguientes términos del producto:
-> 6x⁵ +8x⁴ -7x³ +22x² -23x +6 es la Solución.
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b) Multiplicar a⁴-6a²+2a-7 por a³-2a+4
> Multiplicando los coeficientes del multiplicando por los coeficientes del multiplicador. Como en el multiplicando falta un término con exponente 0, y en el multiplicador falta un término con el exponente 2; entonces agregamos un cero en su lugar correspondiente:
1 0 -6 +2 -7
. +1 0 -2 +4
1 0 -6 +2 - 7
. -2 0 +12 - 4 +14
. +4 0 - 24 + 8 -28
1 0 -8 +6 + 5 -28 +22 -28
> Multiplicando el primer término del multiplicando por el primer término del multiplicador, sin los coeficientes, para obtener el exponente del primer término del resultado;
-> (a⁴)(a³) = a⁷
> Agregando las literales a el resultado de los coeficientes:
1a⁷ 0a⁶ -8a⁵ +6a⁴ + 5a³ -28a² +22a -28
= a⁷ -8a⁵ +6a⁴ + 5a³ -28a² +22a -28 Solución.
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Ejemplos Caso II:
a) Multiplicar a⁴-5a³m+7a²m²-3m⁴ por 3a²-2m²
> Multiplicando los coeficientes de los polinomios:
1 -5 +7 0 -3
3 0 -2 .
3 -15 +21 0 - 9
. - 2 +10 -14 -0 +6
3 -15 +19 +10 -23 -0 +6
> Multiplicando el primer término del multiplicando por el primer término del multiplicador, sin los coeficientes, para obtener el exponente del primer término del resultado;
-> (a⁴)(a²) = a⁶
> Agregando las literales a el resultado de los coeficientes:
3a⁶ -15a⁵m +19a⁴m² +10a³m³ -23a²m⁴ -0am⁵ +6m⁶
= 3a⁶ -15a⁵m +19a⁴m² +10a³m³ -23a²m⁴ +6m⁶ Solución.
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Ejercicio 45.
Multiplicar por coeficientes separados:
2) x⁴+3x³-5x²+8 por x³-2x²-7
1 +3 -5 0 +8
1 -2 0 -7 .
1 +3 -5 0 + 8
. - 2 -6 +10 0 - 16
. - 7 -21 +35 0 -56
1 +1 -11 + 3 -13 +19 0 -56
(x⁴)(x³) = x⁷
-> x⁷ +x⁶ -11x⁵ +3x⁴ -13x³ +19x² -0x -56
= x⁷ +x⁶ -11x⁵ +3x⁴ -13x³ +19x² -56 Solución.
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3) a⁴+3a³b-2a²b²+5ab³-b⁴ por a²-2ab+b²
1 +3 -2 +5 -1
1 -2 +1 .
1 +3 -2 +5 - 1
- 2 -6 +4 -10 +2
1 +3 - 2 +5 -1
1 +1 - 7 +12 -13 +7 -1
(a⁴)(a²) = a⁶
-> 1a⁶ +1a⁵b - 7a⁴b² +12a³b³ -13a²b⁴ +7ab⁵ -1b⁶
= a⁶ +a⁵b -7a⁴b² +12a³b³ -13a²b⁴ +7ab⁵ -b⁶ Solución.
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4) m³+n³+6mn²-5m²n por m³-4mn²-n³
m³-5m²n+6mn²+n³ por m³-4mn²-n³ (ordenado en relación a m)
1 -5 +6 +1
1 0 -4 -1 .
1 -5 +6 +1
. -4 +20 -24 -4
. -1 + 5 -6 -1
1 -5 +2 +20 -19 -10 -1
(m³)(m³) = m⁶
-> m⁶ -5m⁵n +2m⁴n² +20m³n³ -19m²n⁴ -10mn⁵ -n⁶ Solución.
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6) a⁶-3a⁴-6a²+10 por a⁸-4a⁶+3a⁴-2a²
1 -3 -6 +10
1 -4 +3 -2 .
1 - 3 - 6 +10
. -4 +12 +24 -40
. 3 - 9 -18 +30
. -2 + 6 +12 -20
1 -7 + 9 +23 -52 +42 -20
(a⁶)(a⁸) = a¹⁴ ( en este caso los exponentes del 2º término en adelante disminuyen de dos en dos igual que en los polinomios dados.)
-> a¹⁴ -7a¹² +9a¹º +23a⁸ -52a⁶ +42a⁴ -20a² Solución.
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8) m¹² -7m⁸ +9m⁴ -15 por m¹⁶ -5m¹² +9m⁸ -4m⁴ +3
1 -7 +9 -15
1 -5 +9 -4 +3
1 -7 + 9 - 15
. -5 +35 - 45 + 75
. + 9 - 63 + 81 -135
. - 4 + 28 - 36 +60
. + 3 - 21 +27 -45
1 -12 +53 -127 +187 -192 +87 -45
(m¹²)(m¹⁶) = m²⁸ ( en este caso los exponentes del 2º término en adelante disminuyen de cuatro en cuatro igual que en los polinomios dados.)
-> m²⁸ -12m²⁴ +53m²º -127m¹⁶ +187m¹² -192m⁸ +87m⁴ -45 Solución.
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10) 6a⁵ -4a² +6a -2 por a⁴ -2a² +a -7
6 +0 +0 -4 +6 -2
1 +0 -2 +1 -7 .
6 +0 +0 - 4 + 6 - 2
. -12 -0 - 0 +8 -12 + 4
. +6 + 0 +0 - 4 + 6 -2
. -42 - 0 - 0 +28 -42 +14
6 +0 -12 +2 -36 +6 -16 +38 -44 +14
(a⁵)(a⁴) = a⁹
-> 6a⁹ +0a⁸ -12a⁷ +2a⁶ -36⁵ +6a⁴ -16a³ +38a² -44a +14
= 6a⁹ -12a⁷ +2a⁶ -36⁵ +6a⁴ -16a³ +38a² -44a +14 Solución.
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13) x¹º -5x⁶y⁴ +3x²y⁸ -6y¹º por x⁶ -4x⁴y² +y⁶ -5x²y⁴
x¹º + 0x⁸y² -5x⁶y⁴ +x⁴y⁶ +3x²y⁸ -6y¹º por x⁶ -4x⁴y² -5x²y⁴ +y⁶ (0rdenados)
1 +0 -5 +0 +3 -6
1 -4 -5 +1 -
1 +0 -5 + 0 + 3 - 6
. - 4 -0 +20 - 0 - 12 +24
. -5 - 0 +25 - 0 - 15 +30
. + 1 + 0 - 5 + 0 + 3 -6
1 - 4 -10 +21 + 28 -23 + 9 +33 -6
(x¹º)(x⁶) = x¹⁶
-> x¹⁶ -4x¹⁴y² -10x¹²y⁴ +21x¹ºy⁶ +28x⁸y⁸ -23x⁶y¹º +9x⁴y¹² +33x²y¹⁴ -6y¹⁶
Solución.
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16) xª⁺² -5xª -6xª⁻² por 6xª⁺¹ -4xª +2xª⁻¹ +xª⁻²
1 +0 -5 +0 -6
6 -4 +2 +1 .
6 + 0 -30 + 0 -36
. -4 - 0 +20 - 0 +24
. +2 + 0 -10 + 0 -12
, + 1 + 0 - 5 + 0 -6
6 -4 -28 +21 -46 +19 -12 -6
(xª⁺²)(xª⁺¹) = x²ª⁺³
-> 6x²ª⁺³ -4x²ª⁺² -28x²ª⁺¹ +21²ª -46²ª⁻¹ +19²ª⁻² -12²ª⁻³ -6²ª⁻⁴ Solución.
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17) a²ˣ⁺² -a²ˣ -3a²ˣ⁺¹ -5a²ˣ⁻¹ por 3a³ˣ⁻¹ -5a³ˣ +6a³ˣ⁺¹
= a²ˣ⁺² -3a²ˣ⁺¹ -a²ˣ -5a²ˣ⁻¹ por 6a³ˣ⁺¹ -5a³ˣ +3a³ˣ⁻¹ (ordenado)
1 -3 -1 -5
6 -5 +3 .
6 -18 - 6 -30
. - 5 +15 + 5 +25
. + 3 - 9 - 3 -15
6 -23 +12 -34 +22 -15
(a²ˣ⁺²)(a³ˣ⁺¹) = a⁵ˣ⁺³
-> 6a⁵ˣ⁺³ -23a⁵ˣ⁺² +12a⁵ˣ⁺¹ -34a⁵ˣ +22a⁵ˣ⁻¹ -15a⁵ˣ⁻² Solución.
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