Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes fraccionarios.

 Ejemplos:

a)  De 1/2a²-3/5b²  restar la suma de  3/4a²+1/6b²-1/8ab con -1/8a²+1/12b²-7/8ab

Suma:

3/4a²  -1/8ab +  1/6b²

-1/8a² -7/8ab +1/12b²

5/8a²    -   ab +  1/4b²   Total  (sustraendo)

Resta: 

1/2a²           -  3/5b²

-5/8a² + ab  -  1/4b²

-1/8a² + ab -17/20b²  Solución. 

______________________________________

b)  Restar la suma de 3/5m³-1/8mn²+6 con 3/4m²n+1/6mn²-3/8n³  de la suma de 

2/3m³+1/2n³-2/5mn² con 3/4m²n+1/3mn²-1/5:

Minuendo:

2/3m³                -  2/5mn² +1/2n³

.         +3/4m²n +  1/3mn²             -1/5

2/3m³ +3/4m²n  -1/15mn² +1/2n³ -1/5  Total.

Sustraendo:

3/5m³                -  1/8mn²           +6

.         +3/4m²n +  1/6mn² -3/8n³    .

3/5m³ +3/4m²n +1/24mn² -3/8n³ +6  Total.

Resta:

. 2/3m³ +3/4m²n   - 1/15mn²  +1/2n³  - 1/5

- 3/5m³ - 3/4m²n  -  1/24mn²  +3/8n³  -   6

1/15m³                -13/120mn² +7/8n³ -31/5  Solución.

______________________________________

Ejercicio 29.

Ordenar los polinomios de mayor a menor exponente, cuando sea necesario.

2)  De 1/2a³ +3/5a²  restar la suma de 3/8a -6 con 3/5a² -5/6a³

Suma:

-5/6a³ +3/5a² 

.                     +3/8a -6

-5/6a³ +3/5a² +3/8a -6  Total (sustraendo)

Resta:

1/2a³ +3/5a² 

5/6a³ -3/5a² -3/8a +6

4/3a³            -3/8a +6   Solución.

_____________________________________

3) Restar 1/5a -1/6b de la suma de a+3b con 6 -2/5a -2/3b.

Suma:

.     a  + 3b

-2/5a -2/3b +6

. 3/5a -7/3b +6  Total (Minuendo)

Resta:

3/5a -7/3b +6

1/5a -1/6b   .

2/5a -5/2b +6   Solución.

_____________________________________

4) Restar la suma de 1/3x³ +1/5 -3/7x² con 6 -2/9x +1/14x²  de  -5/6x³

Suma:

1/3x³ -  3/7x²           + 1/5 

         +1/14x² -2/9x +    6

1/3x³ - 5/14x² -2/9x +31/5 Total (sustraendo)

Resta:

-5/6x³

-1/3x³ +5/14x² +2/9x -31/5

-7/6x³ +5/14x² +2/9x -31/5  Solución. 

______________________________________

6)  Restar la suma de -1/2x +2/3y -1/4z con 3 -2/5z -1/9y  de  5/9y -2/5.

Suma:

-1/2x +2/3y -   1/4z

.          -1/9y -   2/5z +3

-1/2x +5/9y -13/20z +3  Total (sustraendo)

Resta:

.       +5/9y                - 2/5

1/2x - 5/9y +13/20z  -    3

1/2x            +13/20z -17/5  Solución.

_____________________________________

8) De la suma de 1/2a -2/9b con 1/3b -3/5c  restar la suma de 

2/3b +1/5c  con -1/10c -5/9b.

Minuendo:

1/2a  -2/9b

.       +1/3b -3/5c

1/2a +1/9b -3/5c  Total.

Sustraendo:

. 2/3b + 1/5c

- 5/9b -1/10c 

. 1/9b +1/10c   Total.

Resta:

1/2a +1/9b -  3/5c

.         -1/9b -1/10c

1/2a             -7/10c  Solución.

______________________________________

9) Restar la suma de 1/3a³ +1/8a² +1/5 con -3/4a -3/5a² -1/10 de la suma de

1/4a² -2/3a +1/4 con -29/40a² +1/3a³ -1/8.

Minuendo:

1/3a³ -29/40a²           -1/8

.             1/4a² -2/3a +1/4

1/3a³ -19/40a² -2/3a +1/8  Total.

Sustraendo:

1/3a³ +   1/8a²          +  1/5

.            -3/5a² -3/4a - 1/10

1/3a³ -19/40a² -3/4a +1/10  Total.

Resta:

. 1/3a³ -19/40a²  - 2/3a +  1/8

-1/3a³ +19/40a² + 3/4a - 1/10

.                        +1/12a +1/40  Solución.

_____________________________________

13) De 5 restar la suma de 1/2x +1/3y; 3/4y -1/6z; 2/5z +1/4m; -1/2m +1/3n +3/8

Suma:

1/2x +   1/3y

.       +   3/4y - 1/6z

.                    +2/5z    +1/4m

.                                  -1/2m +1/3n  +3/8

1/2x +13/12y +7/30z -1/4m +1/3n   +3/8  Total (sustraendo)

Resta.

.                                                                5

-1/2x -13/12y -7/30z +1/4m -1/3n    -   3/8

-1/2x -13/12y -7/30z +1/4m -1/3n   +37/40   Solución.

_______________________________________

14) Restar 3/8 -1/12a³ +a⁴ de la suma de 

1/2a³ -3/5a +5/6a⁴; -3/8a +5 -2/3a²;  -3/4a³+1/6a² -2/3;  -3/8a⁴ +1/6a³ +39/40a +3/11.

Suma:

.  5/6a⁴  + 1/2a³             -     3/5a

                           -2/3a²  -    3/8a  +   5

              - 3/4a³ +1/6a²                 - 2/3

-  3/8a⁴  + 1/6a³             +39/40a +3/11

11/24a⁴ -1/12a³ - 1/2a²                +152/33  Total. (minuendo)

Resta:

. 11/24a⁴ - 1/12a³ - 1/2a² +   152/33

.        -a⁴ + 1/12a³             -         3/8

-13/24a⁴               - 1/2a² +1117/264  Solución.

________________________________________

Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros. Ejer. 28.

Ejemplo: 

Restar la suma de 5x⁴y²+6x²y⁴-5y⁶ con -3x⁶+x²y⁴-11y⁶ de

la suma de x⁶+2x²y⁴-y⁶ con -4x⁴y²+3x²y⁴+3y⁶

> Suma de 5x⁴y²+6x²y⁴-5y⁶ con -3x⁶+x²y⁴-11y⁶ (sustraendo)

.       +5x⁴y² +6x²y⁴ - 5y⁶

-3x⁶             +  x²y⁴ -11y⁶

-3x⁶ +5x⁴y² +7x²y⁴ -16y⁶  Total.

> Suma de x⁶+2x²y⁴-y⁶ con -4x⁴y²+3x²y⁴+3y⁶ (minuendo)

x⁶            +2x²y⁴   -y⁶

.   -4x⁴y² +3x²y⁴ +3y⁶

x⁶ -4x⁴y² +5x²y⁴ +2y⁶  Total.

-> restamos al total del minuendo el total del sustraendo:

. x⁶ -4x⁴y² + 5x²y⁴ + 2y⁶

3x⁶ -5x⁴y² - 7x²y⁴ +16y⁶

4x⁶ -9x⁴y² - 2x²y⁴ +18y⁶  Solución.

______________________________________

Ejercicio 28.

Recuerda ordenar los polinomios de acuerdo a una letra, en orden descendente de mayor exponente.

1)  De la suma de x²+5 con 2x-6 restar la suma de x-4 con -x+6

= (x²+5) + (2x-6) - (x-4) +(-x+6)

> Suma de  x²+5 con 2x-6  (minuendo)

x²       +5

.   +2x -6

x² +2x -1 Total.

> Suma de x-4 con -x+6  (Sustraendo)

x  - 4

-x +6

.    +2  Total 

->  restamos:

x² +2x - 1

.           - 2

x² +2x - 3   Solución.

_____________________________________

5) De la suma de ab +bc +ac con -7bc +8ac -9 

restar la suma de 4ac-3bc+5ab con 3bc+5ac-ab.

-> Suma de ab +bc +ac con -7bc+8ac-9 (minuendo)

ab +  ac + bc

.    +8ac -7bc -9

ab +9ac -6bc -9  Total.

-> Suma de 4ac-3bc+5ab con 3bc+5ac-ab (sustraendo)

5ab+4ac-3bc

-ab+5ac+3bc

4ab+9ac   Total.

-> ab +9ac -6bc -9 - (4ab+9ac)

,  ab +9ac -6bc -9

-4ab - 9ac           .

-3ab         -6bc -9  Solución.

______________________________________

7) De la suma de x⁴+x²-3; -3x+5-x³; -5x²+4x+x⁴

restar la suma de -7x³+8x²-3x+4 con x⁴-3.

-> Suma de x⁴+x²-3; -3x+5-x³; -5x²+4x+x⁴ (minuendo)

. x⁴      +  x²        -3

.     -x³        - 3x +5

. x⁴      -5x² +4x     .

2x⁴ -x³ -4x² +  x +2  Total. 

-> Suma de -7x³+8x²-3x+4 con x⁴-3. (sustraendo)

    -7x³ +8x² -3x +4

x⁴                        -3

x⁴ -7x³ +8x² -3x +1  Total.

->  Restamos:

2x⁴   -x³ -   4x² +  x +2

-x⁴ +7x³ -   8x² +3x -1

. x⁴ +6x³ -12x² +4x +1   Solución.

_____________________________________

10) Restar la suma de 3x²-y² con  -11xy+9y²-14 

de la suma de x²-3xy-y² con 9y²-8xy+19x²

-> Suma de 3x²-y² con  -11xy+9y²-14 (sustraendo)

3x²           -   y²

.     -11xy +9y² -14

3x² -11xy +8y² -14  Total.

-> Suma de x²-3xy-y² con 9y²-8xy+19x²  (minuendo)

.   x² -3xy -  y²

19x² -8xy +9y²

20x² -11xy +8y²  Total.

-> Restemos:

20x² - 11xy +8y²

- 3x² +11xy - 8y² +14

17x²                     +14   Solución.

______________________________________

14) Restar la suma de x⁵-y⁵; -2x⁴y+5x³y²-7x²y³-3y⁵;  6xy⁴-7x³y²-8

de la suma de -x³y²+7x⁴y+11xy⁴ con -xy⁴-1.

-> Suma de x⁵-y⁵; -2x⁴y+5x³y²-7x²y³-3y⁵;  6xy⁴-7x³y²-8 (sustraendo)

x⁵                                           - y⁵

.   -2x⁴y +5x³y² -7x²y³           -3y⁵

.             -7x³y²            +6xy⁴        -8

x⁵ -2x⁴y -2x³y² -7x²y³ +6xy⁴ -4y⁵ -8  Total.

-> Suma de -x³y²+7x⁴y+11xy⁴ con -xy⁴-1  (minuendo)

7x⁴y -x³y² +11xy⁴

.                 -    xy⁴ -1

7x⁴y -x³y² +10xy⁴ -1  Total.

-> restando:

      +7x⁴y -  x³y²             +10xy⁴          -1 

-x⁵ +2x⁴y +2x³y² +7x²y³ -   6xy⁴ +4y⁵ +8

-x⁵ +9x⁴y +  x³y² +7x²y³ +  4xy⁴ +4y⁵ +7  Solución.

_______________________________________

Sumas y restas combinadas de polinomios con coeficientes enteros.

En estos casos es necesario realizar las operaciones según lo pidan en la enunciado del problema. Por ejemplo:

"de xⁿ restar la suma de de x más y"  (aquí primero se efectúa la suma, que será el sustraendo, y luego la resta) [xⁿ - (x+y)]

"de la suma de x más y, restar x" (aquí se efectúa la suma, que será el minuendo; y luego la resta) [(xⁿ+y) -x)]

______________________________________

Ejemplos:

a) De a² restar la suma de 3ab-6  y   3a²-8ab+5

= a² - [(3ab -6) +(3a²-8ab +5)]

= a² - (3a² +3ab -8ab -6 +5)

= a² - (3a² -5ab -1)

= a² -3a² +5ab +1 = -2a² +5ab +1  Solución.

________________________

b) De x³-4x²y+5y³ restar la suma de -x³+5x²y-6xy²+y³ con -6x²y+9xy²-16y³

> Realizando la suma:

= -x³+5x²y-6xy²+y³ + (-6x²y+9xy²-16y³) = -x³+5x²y-6x²y-6xy²+9xy²+y³-16y³

= -x³ -x²y +3xy² -15y³ Total 

> Efectuando la resta, cambiando los signos al total de la suma, que será el sustraendo::

  x³  -4x²y            +5y³

. x³ +  x²y -3xy² +15y³

.2x³ -3x²y -3xy² +20y³   Solución.

________________________

c)  De la suma de x³ +4x²-6  y  -5x²-11x+5 restar x⁴-1

-> x³ +4x²-6  +  (-5x²-11x+5)

=  x³ +4x² -5x² -11x -6 +5 = x³ -x² -11x -1  Total 

-> la resta es:

.      x³ -x² -11x -1

-x⁴                    +1

-x⁴ +x³ -x² -11x     Solución.

_______________________________________

Ejercicio 27.

Realizar las operaciones que se indican en el enunciado del problema:

1) De a² restar la suma de ab+b² con a²-5b²

Suma de ab+b² + (a²-5b²) = a² +ab +b² -5b² = a² +ab -4b²  Total.

Resta de 

. a² 

- a² -ab +4b²

.     - ab +4b²  Solución.

______________________________________

3) De -7x²y  restar la suma de 4xy²-x³ con 5x²y+y³

La suma de 4xy²-x³ +(5x²y+y³) = -x³ +5x²y +4xy² +y³  Total

Resta de 

.    -7x²y

x³ - 5x²y  -4xy²  -y³

x³ -12x²y -4xy² -y³  Solución.

_______________________________________

5) de 6a restar la suma de 8a+9b-3c con -7a-9b+3c

La suma de 8a+9b-3c+(-7a-9b+3c) = 8a-7a +9b-9b -3c+3c = a Total

Resta de

6a - (a) = 6a -a = 5a  Solución.

_________________________________________

8) De x²-5ax+3a² restar la suma de 9ax-a² con 25x²-9ax+7a²

Suma = 9ax-a² +(25x²-9ax+7a²) = 25x²+9ax-9ax-a²+7a² = 25x²+6a²  Total

 Resta de

.    x² -5ax +3a²

-25x²          -6a²

-24x² -5ax  -3a²   Solución.

__________________________________________

15) De la suma de a+b con a-b restar 2a-b

Suma = a+b +(a-b) = a +a +b -b = 2a  Total.

Resta de

2a - (2a-b) = 2a-2a +b = b  Solución. 

___________________________________________

18)  De la suma de 4a² +8ab -5b² con a² +6b² -7ab  restar  4a² +ab -b²

Suma de 4a² +8ab -5b² +(a² +6b² -7ab) = 4a²+a² +8ab-7ab -5b²+6b² = 5a²+ab+b² Total

Resta de 

. 5a² +ab + b²

-4a²  - ab + b²

.   a²        +2b²  Solución.

___________________________________________

21) De la suma de n⁴-6n⁵+n² con 7n³-8n-n²-6  restar -3n⁴-n⁶-8n³+19

Suma de n⁴-6n⁵+n² +(7n³-n²-8n-6) = -6n⁵+n⁴+7n³+n²-n²-8n-6 = -6n⁵+n⁴+7n³-8n-6 Total.

Resta de

.    -6n⁵ +  n⁴ +  7n³ -8n -  6

n⁶         +3n⁴ +  8n³        -19

n⁶ -6n⁵ + 4n⁴ +15n³ -8n - 25  Solución.

____________________________________________

23)  Restar 5-m⁴ de la suma de -5m²+4m³-2m con -7m³+8m+4

Suma:  4m³-5m²-2m +(-7m³+8m+4) = 4m³-7m³-5m²-2m+8m+4 = -3m³-5m²+6m+4 Total

Resta:

.    -3m³-5m²+6m+4

m⁴                         -5

m⁴ -3m³-5m²+6m -1  Solución.

____________________________________________

26) Restar  a⁴-3a³+5 de la suma de 5a³+14a²-19a+8;  a⁵+9a-1  y  -a⁴+3a²-1

Suma:

.       +5a³+14a²-19a+8

a⁵                      + 9a -1

.  -a⁴         +3a²         -1

a⁵-a⁴ +5a³+17a²-10a+6 Total

Resta de:

a⁵ -  a⁴ +5a³+17a²-10a+6

.   -  a⁴ +3a³                 -5

 a⁵-2a⁴ +8a³+17a²-10a+1  Solución.

_______________________________________

29) Restar la suma de x⁵+y⁵ con 3x⁴y+21x³y²+18x²y³-y⁵ 

de x⁵+32x⁴y-26x³y²+18x²y³-2xy⁴+y⁵

Suma: 

x⁵                                     +y⁵ 

.   +3x⁴y+21x³y²+18x²y³ - y⁵ 

x⁵ +3x⁴y+21x³y²+18x²y³          Total

Resta de:

. x⁵+32x⁴y-26x³y²+18x²y³-2xy⁴+y⁵

- x⁵ -  3x⁴y-21x³y²-18x²y³              .

.       29x⁴y-47x³y²             -2xy⁴+y⁵   Solución.

_________________________________________