Para comprobar si el cociente de una divisón de dos polinomios es correcto, basta con multiplicar dicho cociente por el divisor y el resultado deberá ser igual al dividendo.
En ocasiones para efectuar la prueba o comprobación, se puede multiplicar el divisor por el cociente, para hacer más sencilla la multiplicación.
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Ejemplos:
a) Dividir 2x³ -2 -4x entre 2 +2x.
> Primero ordenar tanto el divisor como el dividendo:
2x³ -4x -2 ÷ 2x +2
Resolviendo la división:
. x² -x-1
2x+2 | 2x³ -4x -2
. -2x³ -2x²
. -2x² - 4x
. 2x² +2x
. -2x -2
. 2x +2
. 0
Comprobación:
x² -x -1
2x+2 .
2x³ - 2x² -2x
. +2x² -2x -2
2x³ -4x -2 -> = 2x³ -4x -2
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b) Dividir x¹²+x⁶y⁶-x⁸y⁴-x²y¹º entre x⁸+x⁶y²-x⁴y⁴-x²y⁶
> Ordenando los polinomios:
x¹²-x⁸y⁴+x⁶y⁶-x²y¹º ÷ x⁸+x⁶y²-x⁴y⁴-x²y⁶
> Efectuando la división:
. x⁴ -x²y² +y⁴ .
x⁸+x⁶y²-x⁴y⁴-x²y⁶ | x¹² -x⁸y⁴ + x⁶y⁶ - x²y¹º
. -x¹² -x¹ºy² +x⁸y⁴ + x⁶y⁶
. -x¹ºy² +2x⁶y⁶
. x¹ºy² +x⁸y⁴ - x⁶y⁶ - x⁴y⁸
. x⁸y⁴ + x⁶y⁶ - x⁴y⁸ - x²y¹º
. -x⁸y⁴ - x⁶y⁶ +x⁴y⁸ +x²y¹º
. 0
Comprobación:
x⁸+x⁶y²-x⁴y⁴-x²y⁶
x⁴ -x²y² +y⁴ .
x¹² +x¹ºy²- x⁸y⁴-x⁶y⁶
x¹² +x¹ºy²- x⁸y⁴-x⁶y⁶
. -x¹ºy²- x⁸y⁴+x⁶y⁶+x⁴y⁸
. +x⁸y⁴+x⁶y⁶- x⁴y⁸ -x²y¹º
x¹² - x⁸y⁴+x⁶y⁶ -x²y¹º
-> = x¹² - x⁸y⁴ +x⁶y⁶ -x²y¹º
Nota: En este caso se aplicó la propiedad conmutativa de la multiplicación.(Se multiplicó el divisor por el cociente). Como recordarás el cambio de orden de los factores no altera el producto.
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Ejercicio 55.
Dividir los siguientes polinomios y comprobar el cociente:
2) x⁵+12x²-5x entre x²-2x+5
. x³+2x²-x
x²-2x+5 | x⁵ +12x²-5x
. -x⁵+2x⁴ -5x³
. 2x⁴ -5x³+12x²
. -2x⁴+4x³ -10x²
. - x³ + 2x² -5x
. x³ - 2x²+5x
. 0
Comprobación.
x³+2x²-x
x²-2x+5
x⁵+2x⁴- x³
. -2x⁴-4x³+ 2x²
. 5x³+10x²-5x
x⁵ +12x²-5x = x⁵+12x²-5x Solución.
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5) x⁶+6x³-2x⁵-7x²-4x+6 entre x⁴-3x²+2
. x²-2x+3 .
x⁴-3x²+2 | x⁶- 2x⁵ +6x³ -7x² -4x+6
. -x⁶ +3x⁴ -2x²
. - 2x⁵+3x⁴+6x³ -9x² +6
. 2x⁵ - 6x³ +4x
. 3x⁴ -9x² +6
. -3x⁴ +9x² - 6
. 0
Comprobación:
x²-2x+3
x⁴-3x²+2
x⁶-2x⁵+3x⁴
. - 3x⁴+6x³-9x²
. 2x²-4x+6
x⁶-2x⁵ +6x³-7x² -4x+6 = x⁶-2x⁵+6x³-7x²-4x+6 Solución.
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8) 3x³y-5xy³+3y⁴-x⁴ entre x²-2xy+y²
= -x⁴+3x³y-5xy³+3y⁴ ÷ x²-2xy+y² (ordenado el dividendo)
. -x²+xy+3y² .
x²-2xy+y² | -x⁴+3x³y -5xy³+3y⁴
. x⁴- 2x³y+ x²y²
. x³y+ x²y²-5xy³
. -x³y+2x²y²- xy³
. 3x²y²-6xy³+3y⁴
. -3x²y²-6xy³+3y⁴
. 0
Comprobación:
-x²+xy+3y²
x²-2xy+y²
-x⁴+ x³y+3x²y²
. 2x³y- 2x²y² - 6xy³
. - x²y² + xy³+3y⁴
-x⁴+3x³y -5xy³+3y⁴ = -x⁴+3x³y-5xy³+3y⁴ Solución.
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13) 5a³x²-3x⁵-11ax⁴+3a⁴x-2a⁵ entre 3x³-a³+2ax²
= -2a⁵+3a⁴x+5a³x²-11ax⁴-3x⁵ ÷ -a³+2ax²+3x³ (ordenados)
. 2a²-3ax-x² .
-a³+2ax²+3x³ | -2a⁵+3a⁴x+5a³x² -11ax⁴ -3x⁵
. 2a⁵ -4a³x² -6a²x³
. 3a⁴x+ a³x² -6a²x³
. -3a⁴x +6a²x³ +9ax⁴
. a³x² - 2ax⁴
. -a³x² +2ax⁴+3x⁵
. 0
Comprobación:
2a²-3ax-x²
-a³+2ax²+3x³
-2a⁵+3a⁴x+ a³x²
. 4a³x²- 6a²x³- 2ax⁴
. +6a²x³- 9ax⁴ -3x⁵
-2a⁵+3a⁴x+5a³x² -11ax⁴ -3x⁵
-> = -2a⁵+3a⁴x+5a³x²-11ax⁴-3x⁵ Solución.
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16) m⁶-m⁵+5m³-6m+9 entre m⁴+3-m²+m³
= m⁶-m⁵+5m³-6m+9 ÷ m⁴+m³-m²+3 (ordenado el divisor)
. m²-2m+3 .
m⁴+m³-m²+3 | m⁶- m⁵ +5m³ +6m+9
. -m⁶- m⁵+ m⁴ - 3m²
. - 2m⁵+ m⁴+5m³- 3m²
. +2m⁵+2m⁴-2m³ - 6m
. 3m⁴+3m³- 3m²
. -3m⁴- 3m³+3m² - 9
. 0
Comprobación:
m²-2m+3
m⁴+m³-m²+3
m⁶-2m⁵+3m⁴
. + m⁵ -2m⁴+3m³
. - m⁴+2m³- 3m²
. +3m²-6m+9
m⁶- m⁵ +5m³ -6m+9
= m⁶-m⁵+5m³-6m+9 Solución.
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19) 4y³-2y⁵+y⁶-y⁴-4y+2 entre y⁴+2-2y²
= y⁶-2y⁵-y⁴+4y³-4y+2 ÷ y⁴-2y²+2
. y²-2y+1 .
y⁴-2y²+2 | y⁶ - 2y⁵ - y⁴+4y³ -4y+2
. -y⁶ +2y⁴ -2y²
. - 2y⁵ + y⁴+4y³-2y²
. +2y⁵ -4y³ +4y
. y⁴ -2y² +2
. -y⁴ +2y² - 2
. 0
Comprobación:
y²-2y+1
y⁴-2y²+2
y⁶-2y⁵+ y⁴
. -2y⁴+4y³- 2y²
. +2y²-4y+2
y⁶-2y⁵ - y⁴+4y³ -4y+2
= y⁶-2y⁵-y⁴+4y³-4y+2 Solución.
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22) 24x⁵-52x⁴y+38x³y²-33x²y³-26xy⁴+4y⁵ entre 8x³-12x²y-6xy²+y³
. 3x²-2xy+4y² .
8x³-12x²y-6xy²+y³ | 24x⁵-52x⁴y+38x³y²-33x²y³ -26xy⁴+4y⁵
. -24x⁵+36x⁴y+18x³y²- 3x²y³
. - 16x⁴y+56x³y²-36x²y³
. 16x⁴y- 24x³y²-12x²y³ + 2xy⁴
. +32x³y² -48x²y³- 24xy⁴
. -32x³y²+48x²y³+24xy⁴-4y⁵
. 0
Comprobación:
3x²-2xy+4y²
8x³-12x²y-6xy²+y³
24x⁵-16x⁴y+32x³y²
. -36x⁴y+24x³y²- 48x²y³
. - 18x³y²+12x²y³-24xy⁴
. + 3x²y³- 2xy⁴+4y⁵
24x⁵-52x⁴y+38x³y² -33x²y³- 26xy⁴+4y⁵ Solución.
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28) x¹¹-5x⁹y²+8x⁷y⁴-6x⁵y⁶-5x³y⁸+3xy¹⁰ entre x⁵-2x³y²+3xy⁴
. x⁶-3x⁴y²-x²y⁴+y⁶ .
x⁵-2x³y²+3xy⁴ | x¹¹- 5x⁹y²+8x⁷y⁴ -6x⁵y⁶ -5x³y⁸+3xy¹⁰
- -x¹¹+2x⁹y²- 3x⁷y⁴
. -3x⁹y²+5x⁷y⁴
. +3x⁹y²- 6x⁷y⁴+9x⁵y⁶
. - x⁷y⁴+3x⁵y⁶
. + x⁷y⁴- 2x⁵y⁶+3x³y⁸
. + x⁵y⁶- 2x³y⁸
. - x⁵y⁶+2x³y⁸- 3xy¹⁰
. 0
Comprobación:
x⁶-3x⁴y²-x²y⁴+y⁶
x⁵-2x³y²+3xy⁴ .
x¹¹- 3x⁹y²- x⁷y⁴+ x⁵y⁶
. - 2x⁹y²+6x⁷y⁴+2x⁵y⁶-2x³y⁸
. +3x⁷y⁴- 9x⁵y⁶-3x³y⁸+3xy¹⁰
x¹¹- 5x⁹y²+8x⁷y⁴- 6x⁵y⁶-5x³y⁸+3xy¹⁰ Solución.
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33) a⁵+b⁵ entre a+b
. a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴ .
a+b | a⁵ +b⁵
. -a⁵ -a⁴b
. -a⁴b
. a⁴b+a³b²
. +a³b²
. -a³b²-a²b³
. -a²b³
. +a²b³+ab⁴
. +ab⁴
. -ab⁴-b⁵
. 0
Comprobación.
a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴
a + b
a⁵- a⁴b+a³b²- a²b³+ab⁴
. +a⁴b- a³b²+a²b³- ab⁴+b⁵
a⁵ +b⁵
-> = a⁵ +b⁵ Solución.
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38) x³+y³+3x²y+3xy²-1 entre x²+2xy+y²+x+y+1
= x³+3x²y+3xy²+y³-1 ÷ x²+2xy+y²+x+y+1
. x+y-1 .
x²+2xy+y²+x+y+1 | x³+3x²y +3xy² +y³ -1
. -x³- 2x²y-x²-xy- xy² -x
. x²y-x²- xy+2xy²-x
. -x²y - xy- 2xy² -y -y² - y³
. -x²-2xy -x - y - y²
. x²+2xy +x +y +y² +1
. 0
Comprobación:
x²+2xy+y²+x+y+1
x +y -1
x³+2x²y+ xy² +x²+ xy+x
. x²y+2xy² + xy +y+y²+y³
. -x²-2xy -x- y -y² -1
x³+3x²y+2xy² +y³ -1
-> = x³+3x²y+2xy²+y³ -1 Solución.
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