Procedimiento:
1) Se resuelve el
sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, haciendo tres
combinaciones de 2 ecuaciones, para eliminar cualquiera de las
incógnitas, pero que esta incógnita sea la misma en las tres
combinaciones. Esto nos dará como resultado 3 ecuaciones con 3
incógnitas.
2) Formamos un
Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas y procedemos a hacer dos
combinaciones de 2 ecuaciones, para eliminar cualquiera de las
incógnitas, pero que esta incógnita sea la misma. El
resultado nos dará dos ecuaciones con 2 incógnitas.
3) Formamos un
sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas y procedemos a eliminar una
cualquiera de las incógnitas y encontrar el valor de la otra
incógnita.
4) Sustituimos el
valor de la incógnita obtenido en la otra ecuación del sistema de 2
ecuaciones con 2 incógnita y encontraremos el valor de la otra
incógnita.
5) Sustituimos el
valor de las 2 incógnitas obtenidas en una cualquiera de las 3
ecuaciones con 3 incógnitas para encontrar el valor de una tercera
incógnita.
6) Sustituimos el
valor de las 3 incógnitas obtenidas en una cualquiera de las 4
ecuaciones con 4 incógnitas para encontrar el valor de la cuarta
incógnita.
7) La solución
general será el valor de las cuatro incógnitas obtenidas.
_________________________________________
Ejemplo:
Resolver el sistema
x+y+z+u =
10 (1)
2x-y+3z-4u
= 9 (2)
3x+2y-z+5u
= 13 (3)
x-3y+2z-4u
= -3 (4)
>>
Combinando ecuaciones para encontrar 3 ecuaciones con 3 incógnitas:
>>
Combinamos la (1) y (2)
Para eliminar la
x, Multiplicamos (1) por 2 y la (2)
por -1:
2x+2y+2z+2u = 20
-2x+y -3z+4u = -9
.
3y - z+6u = 11 (5) Ecuación con 3 incógnitas.
>>
Combinamos la (1) y (3)
Para eliminar la
x, multiplicamos la (1) por 3 y la (3)
por -1:
3x+3y+3z+3u = 30
-3x-2y+ z -5u
= -13
. y+4z-2u = 17 (6) Ecuación con 3
incógnitas.
>>
Combinamos la (1) con la (4)
Para eliminar la
x, multiplicamos la (4) por -1 :
x + y + z +
u = 10
-x+3y- 2z+4u = 3
. 4y
- z+5u = 13 (7) Ecuación con 3 incógnitas.
>> Formamos
un Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:
3y-z+6u =
11 (5)
y+4z-2u =
17 (6)
4y-z+5u =
13 (7)
>>
Combinamos la (5) y (6)
Para eliminar la
z, multiplicamos la (5) por 4 :
12y-4z+24u = 44
. y+4z
- 2u = 17
13y
+22u = 61 (8) Ecuación con 2
incógnitas.
>>
Combinamos la (5) y (7)
Para eliminar la
z, multiplicamos la (7) por -1 :
3y - z+6u = 11
-4y+z-5u = -13
.-y
+ u = -2 (9) Ecuación con 2
incógnitas.
>> Formamos
un Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
13y+22u =
61 (8)
- y
+ u = -2 (9)
>>
Resolvemos este sistema multiplicando la (9) por 13 :
13y +22u =
61
-13y+13u = -26
. 35u = 35
u = 35/35
u = 1 <--
Solución.
>>
Sustituimos el valor de u en en la (9):
-y+u = -2
-y+(1) = -2
-y+1 = -2
-y = -2-1
-y = -3
y = 3 <--
Solución
>>
Sustituimos el valor de (y, u) en la ecuación de 3 incógnitas, la
(5) :
3y-z+6u = 11
3(3)-z+6(1) = 11
9-z+6 = 11
15-z = 11
-z = 11-15
-z = -4
z = 4
<-- Solución
>> Por
último sustituimos el valor de (y, z, u) en la ecuación de 4
incógnitas, en la (1) :
x+y+z+u = 10
x+(3)+(4)+(1) =
10
x+8 = 10
x = 10-8
x = 2 <--
Solución
La solución
General es : (x = 2 , y = 3 , z = 4 , u = 1)
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Ejercicio
192
1) Resolver
el sistema
. x + y + z +u = 4 (1)
. x +2y +3z -u = -1 (2)
3x +4y +2z +u
= -5 (3)
. x +4y +3z -
u = -7 (4)
>>
Combinamos las ecuaciones para encontrar 3 ecuaciones con 3
incógnitas.
>>
Combinamos la (1) y la (2)
Eliminamos la u,
únicamente sumando las ecuaciones:
x + y + z +u
= 4
x +2y +3z - u =
-1
2x+3y+4z = 3 (5) Ecuación con 3 incógnitas.
>>
Combinamos la (1) y la (3)
Eliminamos la u,
multiplicando la (3) por -1 :
. x + y + z +u = 4
-3x -4y -2z -u =
5
-2x -3y - z = 9 (6) Ecuación con 3 incógnitas.
>> Combinamos la (1) y la (4)
Eliminamos la u,
únicamente sumando:
x + y + z +u = 4
x +4y +3z - u =
-7
2x+5y +4z =
-3 (7) Ecuación con 3 incógnitas.
>> Formamos un Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:
2x +3y +4z = 3 (5)
-2x -3y -
z = 9 (6)
2x +5y +4z =
-3 (7)
>> Combinamos la
(5) y la (6)
Eliminamos la z,
multiplicando la (6) por 4 :
2x + 3y+4z = 3
-8x-12y-4z =
36
-6x -9y = 39 (8) Ecuación con 2 incógnitas
>>
Combinamos la (6) y la (7)
Eliminamos la z,
multiplicando la (6) por 4 :
-8x-12y -4z = 36
2x +5y +4z =
-3
-6x -7y = 33 (9) Ecuación con 2 incógnitas
>> Formamos
un Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
-6x-9y = 39 (8)
-6x-7y = 33
(9)
Eliminamos la
"x", multiplicando la (9) por -1 :
-6x -9y = 39
6x +7y = -33
. -2y = 6
y = 6/-2
y = -3 <--
Solución
>>
Sustituyendo el valor de "y" en la (8) :
-6x-9y = 39
-6x-9(-3) = 39
-6x+27 = 39
x = 39-27 /-6
x = -2
<-- Solución
>>
Sustituyendo el valor de (x, y) en la ecuación de 3 incógnitas (5)
:
2x+3y+4z = 3
2(-2)+3(-3)+4z =
3
-4-9+4z = 3
z = 3+13 /4
z = 4
<-- Solución
>>
Sustituyendo el valor de (x, y. z) en la ecuación de 4 incógnitas
(1) :
x +y +z +u = 4
(-2)+(-3)+(4)+u =
4
-2-3+4+u = 4
-1+u = 4
u = 4+1
u = 5 <--
Solución.
La Solución
General es (x = -2 , y = -3 , z = 4 ,
u = 5)
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2) resolver
el sistema
x + y+ z+
u = 10 (1)
2x- y-2z+2u
= 2 (2)
x -2y+3z -
u = 2 (3)
x+2y-4z+2u
= 1 (4)
>>
Combinando (1) y la (2)
Para eliminar la
"y", únicamente sumamos :
x +y + z + u
= 10
2x -y -2z +2u =
2
3x - z +3u = 12 (5) Ecuación con 3 incógnitas
>>
Combinando la (1) con la (3)
Eliminando la
"y", multiplicamos la (1) por 2 :
2x+2y+2z+2u = 20
. x-
2y+3z - u = 2
3x
+5z + u = 22 (6) Ecuación con 3 incógnitas
>>
Combinando la (2) y la (4)
Eliminando la
"y", multiplicamos la (2) por 2 :
4x -2y-4z+4u = 4
. x+2y-4z+2u = 1
5x -8z+6u = 5 (7) Ecuación con 3 incógnitas
>> Se forma
un Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:
3x -z+3u =
12 (5)
3x+5z+u =
22 (6)
5x -8z+6u =
5 (7)
>>
Combinando la (5) y la (6)
Eliminar la u,
multiplicando la (6) por -3 :
3x -
z +3u = 12
-9x -15z - 3u =
-66
-6x -16z = -54 (8) Ecuación con 2 incógnitas
>>
Combinando la (5) y la (7)
Eliminar la u,
multiplicando la (5) por -2 :
-6x+2z-6u = -24
5x -8z+6u
= 5
- x -6z
= -19 (9) Ecuación con 2 incógnitas
>> Formando
un Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
-6x -16z =
-54 (8)
- x -
6z = -19 (9)
>>
Eliminando la x, multiplicando la (9) por -6 :
- 6x -16z = -54
+6x+36z = 114
. 20z = 60
z = 60/20
z = 3 <--
Solución
>>
Sustituyendo el valor de z en la ecuación (8)
-6x-16z = -54
-6x-16(3) = -54
-6x-48 = -54
x = -54+48 /-6
x = -6/-6
x = 1 <--
Solución
>>
Sustituyendo el valor (x, z) en la ecuación con 3 incógnitas (5)
:
3x -z +3u = 12
3(1) -(3) +3u = 12
3-3 +3u = 12
3u = 12
u = 12/3
u = 4 <--
Solución
>>
Sustituyendo el valor de (x, z, u) en la ecuación con 4 incógnitas
(1) :
x+y+z+u = 10
(1)+y+(3)+(4) =
10
y+8 = 10
y = 10-8
y = 2 <--
Solución
La solución
General es : (x = 1 , y = 2 , z =3 ,
u = 4)
__________________________________________
