El procedimiento para resolver este tipo de raíces es el mismo que se usa para resolver la raíz cuadrada de polinomios enteros. (Ver Ejercicio 214),
Ejemplo.
Hallar la raíz cuadrada de x⁻⁴ +13x⁻² +6x⁻³ +4 +12x⁻¹
= x⁻⁴ +6x⁻³ +13x⁻² +12x⁻¹ +4 (ordenado)
. .
√ a -2a ³/⁴ +a ¹/² +4a ¹/⁴ -4 +4a ⁻¹/² | a ¹/² -a ¹/⁴ +2a ⁻¹/⁴ . Solución.
. -a | √a = a¹/² ⇒ (a¹/²(a¹/²) = a
. -2a ³/⁴ +a ¹/² | (-2a ³/⁴) ÷ 2(a¹/²) = (-2a ³/⁴) ÷ (2a¹/²) = -a¹/⁴
. -2a ³/⁴ +a ¹/² | (2a¹/²-a¹/⁴)(-a¹/⁴) = -2a³/⁴ +a¹/²
. 0 4a ¹/⁴ -4 +4a ⁻¹/² | 2(a ¹/² -a ¹/⁴ ) = 2a ¹/² -2a ¹/⁴ ⇒(4a ¹/⁴) ÷ (2a ¹/² ) = 2a ⁻¹/⁴
. -4a ¹/⁴ +4 -4a ⁻¹/² | (2a ¹/² -2a ¹/⁴ +2a ⁻¹/⁴)(2a ⁻¹/⁴) = 4a ¹/⁴-4+4a ⁻¹/²
. 0 |
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Ejercicio 229.
Hallar la raíz cuadrada de:
1) x⁻⁴ +13x⁻² +6x⁻³ +4 +12x⁻¹
= x⁻⁴ +6x⁻³ +13x⁻² +12x⁻¹ +4 (ordenado)
. .
. .
√ x⁻⁴ +6x⁻³ +13x⁻² +12x⁻¹ +4 | x⁻² +3x⁻¹ +2 Solución.
. -x⁻⁴ | √x⁻⁴ = x⁻² ⇒ (x⁻²)(x⁻²) = x⁻⁴
. 6x⁻³ +13x⁻² | (6x⁻³) ÷ 2(x⁻²) = (6x⁻³) ÷ (2x⁻²) = 3x⁻¹
. -6x⁻³ - 9x⁻² | (2x⁻² +3x⁻¹)(3x⁻¹) = 6x⁻³ +9x⁻²
. 4x⁻² +12x⁻¹ +4 | 2(x⁻² +3x⁻¹) = 2x⁻² +6x⁻¹ ⇒ (4x⁻²) ÷ (2x⁻²) = 2
. -4x⁻² - 12x⁻¹ - 4 | (2x⁻² +6x⁻¹ +2)(2) = 4x⁻² +12x⁻¹ +4
. 0 |
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2) m + 11 +6m⁻¹/² +6m¹/²+m⁻¹
= m +6m¹/² + 11 +6m⁻¹/² +m⁻¹ (ordenado)
.
√ m +6m¹/² + 11 +6m⁻¹/² +m⁻¹ | m¹/² +3 +m⁻¹/². Solución.
. -m . | √m = m¹/² ⇒ (m¹/²)(m¹/²) = m
. 6m¹/² + 11 | 6m¹/² ÷ 2(m¹/²) = 6m¹/² ÷ 2m¹/² = 3
. - 6m¹/² - 9 | (2m¹/² +3)(3) = 6m¹/² +9
. 2 +6m⁻¹/² +m⁻¹ | 2(m¹/² +3) = 2m¹/² +6 ⇒ 2 ÷ 2m¹/² = m⁻¹/²
. -2 - 6m⁻¹/² -m⁻¹ | (2m¹/² +6 +m⁻¹/²)(m⁻¹/²) = 2 +6m⁻¹/² +m⁻¹
. 0 |
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3) 9a ⁴/³ +25a ²/³ -6a -8a¹/³ +16
= 9a ⁴/³ -6a +25a ²/³ -8a¹/³ +16 (ordenado).
.
√ 9a ⁴/³ -6a +25a ²/³ -8a¹/³ +16 | 3a²/³ -a¹/³ +4 . Solución.
. -9a ⁴/³ . | √9a ⁴/³ = 3a ²/³ ⇒ (3a ²/³)(3a ²/³) = 9a ⁴/³
. -6a +25a ²/³ | -6a ÷ 2(3a²/³) = -6a ÷ 6a²/³ = -a¹/³
. 6a - a ²/³ | (6a²/³ -a¹/³)(-a¹/³) = -6a +a²/³
. 24a ²/³- 8a¹/³ +16 | 2(3a²/³ -a¹/³) = 6a²/³ -2a¹/³ ⇒ 24a ²/³ ÷ 6a²/³ = 4
. - 24a ²/³ +8a¹/³ - 16 | (6a²/³ -2a¹/³ +4)(4) = 24a²/³ -8a¹/³ +16
. 0 |
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4) a² +4a ⁷/⁴ -2a ³/² -12a ⁵/⁴ + 9a
.
√ a² +4a ⁷/⁴ -2a ³/² -12a ⁵/⁴ + 9a | a +2a ³/⁴ -3a¹/². Solución.
. -a² | √a² = a ⇒ (a)(a) = a²
. 4a ⁷/⁴ -2a ³/² | 4a ⁷/⁴ ÷ 2(a) = 4a ⁷/⁴ ÷ 2a = 2a ³/⁴
. - 4a ⁷/⁴ -4a ³/² | (2a +2a ³/⁴)(2a ³/⁴) = 4a ⁷/⁴ +4a ³/²
. - 6a ³/² -12a ⁵/⁴ + 9a | 2(a +2a ³/⁴) = 2a +4a ³/⁴ ⇒ - 6a ³/² ÷ 2a = -3a ¹/²
. 6a ³/² +12a ⁵/⁴ - 9a | (2a +4a ³/⁴ -3a ¹/²)(-3a ¹/²) = -6a ³/² -12a ⁵/⁴ +9a
. 0 |
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5) mn⁻²/³ -4m¹/²n⁻¹/³ +6 -4m⁻¹/²n¹/³ +m⁻¹n²/³
.
√ mn⁻²/³ -4m¹/²n⁻¹/³ +6 - 4m⁻¹/²n¹/³ +m⁻¹n²/³ | m¹/²n⁻¹/³ -2 +m⁻¹/²n¹/³. Solución.
. -mn⁻²/³ | √mn⁻²/³ = m¹/²n⁻¹/³ ⇒
. -4m¹/²n⁻¹/³ +6 | (m¹/²n⁻¹/³)(m¹/²n⁻¹/³) = mn⁻²/³
. 4m¹/²n⁻¹/³ - 4 | -4m¹/²n⁻¹/³ ÷ 2(m¹/²n⁻¹/³) = -2
. 2 - 4m⁻¹/²n¹/³ +m⁻¹n²/³ | (2m¹/²n⁻¹/³ -2)(-2) = -4m¹/²n⁻¹/³ +4
. -2 +4m⁻¹/²n¹/³ -m⁻¹n²/³ | 2(m¹/²n⁻¹/³ -2) = 2m¹/²n⁻¹/³ -4 ⇒
. 0 | 2 ÷ 2m¹/²n⁻¹/³ = m⁻¹/²n¹/³
. | [2(m¹/²n⁻¹/³ -2)+m⁻¹/²n¹/³](m⁻¹/²n¹/³)=
. | (2m¹/²n⁻¹/³ -4+m⁻¹/²n¹/³)(m⁻¹/²n¹/³)=
. | 2 -4m⁻¹/²n¹/³ +m⁻¹n²/³
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6) a⁴/⁵ -8a³/⁵ +10a²/⁵ +24a¹/⁵ +9
.
√ a⁴/⁵ -8a³/⁵ +10a²/⁵ +24a¹/⁵ +9 | a²/⁵ -4a¹/⁵ -3 Solución.
. -a⁴/⁵ | √a⁴/⁵ = a²/⁵ ⇒ (a²/⁵)(a²/⁵) = a⁴/⁵
. -8a³/⁵ +10a²/⁵ | -8a³/⁵ ÷ 2(a²/⁵) = -8a³/⁵ ÷ 2a²/⁵ = -4a¹/⁵
. 8a³/⁵ -16a²/⁵ | (2a²/⁵ --4a¹/⁵)(-4a¹/⁵)= -8a³/⁵ +16a²/⁵
. - 6a²/⁵ +24a¹/⁵ +9 | -6a²/⁵ ÷ 2(a²/⁵ -4a¹/⁵) = -6a²/⁵ ÷ 2a²/⁵ ⇒ -3
. 6a²/⁵ -24a¹/⁵ - 9 | [2(a²/⁵ -4a¹/⁵)-3](-3) = (2a²/⁵ -8a¹/⁵-3)(-3) =
. 0 | -6a²/⁵ +24a¹/⁵+9
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Hallar la raíz cúbica de:
7) a⁻³ -6a⁻⁵/² +21a⁻² -44a⁻³/²+63a⁻¹ -54a⁻¹/²+27
.
∛ a⁻³ -6a⁻⁵/² +21a⁻² -44a⁻³/² +63a⁻¹ -54a⁻¹/² +27 | a⁻¹ -2a⁻¹/² +3 Solución.
. -a⁻³ | ∛a⁻³ ⇒ a⁻¹ ⇒ (a⁻¹)³ = a⁻³
. -6a⁻⁵/² +21a⁻² -44a⁻³/² | 3(a⁻¹)² = 3a⁻² ⇒ -6a⁻⁵/² ÷ 3a⁻² = -2a⁻¹/²
. 6a⁻⁵/² -12a⁻² + 8a⁻³/² | (3a⁻²)(-2a⁻¹/²) = -6a⁻⁵/²
. 9a⁻² -36a⁻³/² +63a⁻¹ - 54a⁻¹/² +27 | 3(a⁻¹)(-2a⁻¹/²)² = (3a⁻¹)(4a⁻¹) = 12a⁻²
. -9a⁻² +36a⁻³/² -63a⁻¹ +54a⁻¹/² - 27 | (-2a⁻¹/²)³ = -8a⁻³/² .
. 0 | 3(a⁻¹ -2a⁻¹/²)² = 3(a⁻²-4a⁻³/²+4a⁻¹) =
. | 3a⁻²-12a⁻³/²+12a⁻¹ ⇒ 9a⁻² ÷ 3a⁻² = 3
. | 3(a⁻¹ -2a⁻¹/²)²(3) = 9a⁻²-36a⁻³/²+36a⁻¹
. | 3(a⁻¹ -2a⁻¹/²)(3)² = 27a⁻¹ -54a⁻¹/²
. | (3)³ = 27 .
.
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8) x² -6x⁴/³+15x²/³-20+15x⁻²/³-6x⁻⁴/³+x⁻²
.
∛ x² -6x⁴/³+15x²/³-20+15x⁻²/³-6x⁻⁴/³+x⁻² | x²/³ -2 +x⁻²/³ Solución.
. -a⁻³ | ∛x² ⇒ x²/³ ⇒ (x²/³)³ = x²
. -6x⁴/³+15x²/³-20 | 3(x²/³)² = 3x⁴/³ ⇒ -6x⁴/³ ÷ 3x⁴/³ = -2
. 6x⁴/³ -12x²/³+ 8 | 3(x²/³)²(-2) = -6x⁴/³
. 3x²/³ -12 +15x⁻²/³ -6x⁻⁴/³+x⁻² | 3(x²/³)(-2)² = 12x²/³
. - 3x²/³+12 - 15x⁻²/³+6x⁻⁴/³- x⁻² | (-2)³ = -8 .
. 0 | 3(x²/³ -2)² = 3x⁴/³ -12x²/³+12 ⇒ 3x²/³ ÷ 3x⁴/³ = x⁻²/³
. | 3(x²/³-2)²(x⁻²/³) = 3x²/³ -12+12x⁻²/³
. | 3(x²/³-2)(x⁻²/³)² = 3x⁻²/³-6x⁻⁴/³
, | (x⁻²/³)³ = x⁻² .
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9) a³/² +3a⁵/⁴ -5a³/⁴ +3a¹/⁴ -1
.
∛ a³/² +3a⁵/⁴ +0 -5a³/⁴ +3a¹/⁴ -1 | a¹/² +a¹/⁴ -1 Solución.
. -a⁻³ | ∛x² ⇒ x²/³ ⇒ (x²/³)³ = x²
. 3a⁵/⁴ +0 -5a³/⁴ | 3(a¹/²)² = 3a ⇒ 3a⁵/⁴ ÷ 3a = a¹/⁴
. -3a⁵/⁴ -3a - a³/⁴ | 3(a¹/²)²(a¹/⁴) = 3a⁵/⁴
. -3a - 6a³/⁴ +3a¹/⁴ - 1 | 3(a¹/²)(a¹/⁴)² = 3a
. 3a +6a³/⁴ - 3a¹/⁴ +1 | (a¹/⁴)³ = a³/⁴ .
. 0 |3(a¹/² +a¹/⁴)² = 3(a+2a³/⁴+a¹/²) = (3a+6a³/⁴+3a¹/²) ⇒
. | -3a ÷ 3a = -1 .
. | 3(a¹/² +a¹/⁴)²(-1) = -3a -6a³/⁴ -3a¹/²
. | 3(a¹/² +a¹/⁴)(-1)² = 3a¹/² +3a¹/⁴
. | (-1)³ = -1 .
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