Raíz cuadrada de polinomios con términos fraccionarios, usando la forma de exponentes negativos.

Cuando los polinomios tienen términos fraccionarios y en su denominador hay variables con exponente; es necesario trasladar esas variables al numerador, para tener solamente términos enteros.  Esto con el fin de facilitar la extracción de la raíz cuadrada de dicho polinomio.

Para ello las variables elevadas a un exponente positivo se debe trasladar con su mismo coeficiente y exponente, pero con el signo del exponente cambiado; igual si las variables están elevadas a un término con exponente negativo se deben trasladar con su mismo coeficiente y variable, pero con el signo del exponente cambiado. 

________________________________________

Veamos unos ejemplos:

Hallar la raíz cuadrada de: 

Trasladando los términos con exponentes en los denominadores, a efecto de extraer la raíz cuadrada al polinomio, ya con términos enteros.

Polinomio ya expresado con términos enteros, se simplifica si es necesario, y se procede a extraerle la raíz cuadrada de:

4a²x⁻² -8ax⁻¹ +16 -12a⁻¹x +9a⁻²x²

Extrayendo la raíz cuadrada de:

.                                                         .

√ 4a²x⁻² -8ax⁻¹ +16 -12a⁻¹x +9a⁻²x²  | 2ax⁻¹ -2 +3a⁻¹x .  Solución.

. -4a²x⁻²                                              | √4a²x⁻² = 2ax⁻¹ ⇒ (2ax⁻¹)(2ax⁻¹) = 4a²x⁻²

.             -8ax⁻¹ +16                            | -8ax⁻¹ ÷ 2(2ax⁻¹) = -8ax⁻¹ ÷ 4ax⁻¹) = -2

.              8ax⁻¹   - 4                            | [2(2ax⁻¹)-2](-2) = (4ax⁻¹-2)(-2) = -8ax⁻¹+4

.                          12 -12a⁻¹x +9a⁻²x²  | 2(2ax⁻¹ -2) = 4ax⁻¹ +4 ⇒ 12÷4ax⁻¹ = 3a⁻¹x

.                         -12 +12a⁻¹x -9a⁻²x²  | (4ax⁻¹-4+3a⁻¹x)(3a⁻¹x) = 12-12a⁻¹x+9a⁻²x²

.                                     0                   |

_________________________________________

Ejercicio 230.

Extraer la raíz cuadrada de los polinomios siguientes pasando los factores literales de los denominadores a los numeradores.

1) a²/x² -2x/3a + 1/9 -2a/3x +x²/a²

= a²x⁻² -2/3 a⁻¹x +19/9 -2/3 ax⁻¹ +a⁻²x²

= a²x⁻²- 2/3 ax⁻¹ +19/9 -2/3 a⁻¹x +a⁻²x²  (ordenado)

.                                                            .

√ a²x⁻²- 2/3 ax⁻¹ +1/9 -2/3 a⁻¹x +a⁻²x²  | ax⁻¹ -1/3 +a⁻¹x   Solución.

. -a²x⁻²                                                   | √a²x⁻² = ax⁻¹  ⇒ (ax⁻¹)(ax⁻¹) = a²x⁻²

.          - 2/3 ax⁻¹ +19/9                          | -2/3 ax⁻¹ ÷ 2(ax⁻¹)= -2/3 ax⁻¹ ÷2ax⁻¹ = -1/3

.            2/3 ax⁻¹  -  1/9                          | (2ax⁻¹ -1/3)(-1/3) = -2/3ax⁻¹ +1/9

.                               2  -2/3 a⁻¹x +a⁻²x² | 2(ax⁻¹ -1/3) = 2ax⁻¹ -2/3 ⇒ 2 ÷ 2ax⁻¹ = a⁻¹x

.                              -2 +2/3 a⁻¹x -a⁻²x²  | (2ax⁻¹ -2/3 +a⁻¹x)(a⁻¹x) = 2 -2/3a⁻¹x +a⁻²x²

.                                              0             |

_________________________________________

2)  x² -4 +2/x +4/x²- 4/x³ +1/x⁴

= x² -4 +2x⁻¹ +4x⁻² -4x⁻³ +x⁻⁴

.                                             .

√ x² -4 +2x⁻¹ +4x⁻² -4x⁻³ +x⁻⁴  | x -2x⁻¹ +x⁻²   Solución.

. -x²                                          | √x² = x  ⇒ (x)(x) = x²

.      -4 +2x⁻¹  +4x⁻²                  | -4 ÷ 2(x) = -4 ÷ 2x = 2x⁻¹

.       4            - 4x⁻²                  | (2x +2x⁻¹)(2x⁻¹) = 4 +4x⁻²      

.            2x⁻¹            -4x⁻³ +x⁻⁴  | 2(x -2x⁻¹) = 2x -4x⁻¹ ⇒ 2x⁻¹ ÷ 2x = x⁻²

.          - 2x⁻¹           +4x⁻³ - x⁻⁴  | (2x -4x⁻¹ +x⁻²)(x⁻²) = 2x⁻¹ -4x⁻³ +x⁻⁴

.                          0                  |

__________________________________________

3) a⁴ -10a +4 +25/a² -20/a³ +4/a⁴

= a⁴ -10a +4 +25⁻² -20a⁻³ +4a⁻⁴

.                                                   .

√ a⁴ -10a +4 +25⁻² -20a⁻³ +4a⁻⁴   |  a² -5a⁻¹ +2a⁻²  Solución.

. -a⁴                                              | √a⁴ = a²  ⇒ (a²)(a²) = a⁴

.      -10a +4 +25⁻²                       | -10a ÷ 2(a²) = -10a ÷ 2a² = -5a⁻¹

.        10a     -25a⁻²                       | (2a²-5a⁻¹)(-5a⁻¹) = -10a +25a⁻²

.                4            -20a⁻³ +4a⁻⁴  | 2(a² -5a⁻¹)= 2a² -10a⁻¹ ⇒ 4 ÷ 2a² = 2a⁻²

.               -4             20a⁻³ - 4a⁻⁴  | (2a² -10a⁻¹ +2a⁻²)(2a⁻²) = 4 -20a⁻³ +4a⁻⁴

.                                0                 |

___________________________________________

4) m⁴/4 -5m² +28 -30/m² +9/m⁴

= 1/4 m⁴ -5m² +28 -30m⁻² +9m⁻⁴

.                                                   .

√ 1/4 m⁴ -5m² +28 -30m⁻² +9m⁻⁴  |  1/2m² -5 +3m⁻²  Solución.

. -1/4 m⁴                                         | √1/4m⁴ = 1/2m²  ⇒ (1/2m²)(1/2m²) = 1/4m⁴

.             -5m² +28                          | -5m² ÷ 2(1/2m²) = -5m² ÷ m² = -5

.              5m²  - 25                         | (m²-5)(-5) = -5m² +25

.                           3 -30m⁻² +9m⁻⁴  | 2(1/2m²-5) =  m²-10 ⇒ 3 ÷ m² = 3m⁻²

.                         - 3 +30m⁻² -9m⁻⁴  | (m²-10+3m⁻²)(3m⁻²) = 3-30m⁻² +9m⁻⁴

.                                       0             |

___________________________________________

5) 4x²/25y² +1 7/12 -5y/3x -2x/5y +25y²/9x²

= 4/25x²y⁻² -2/5xy⁻¹ +19/12 -5/3x⁻¹y +25/9x⁻²y² 

.                                                                             .

√ 4/25x²y⁻²-2/5xy⁻¹+19/12 -5/3x⁻¹y+25/9x⁻²y² | 2/5xy⁻¹ -1/2 +5/3x⁻¹y  Solución.

. -4/25x²y⁻²                                                        | √4/25x²y⁻²=2/5xy⁻¹ ⇒(2/5xy⁻¹)(2/5xy⁻¹)=4/25x²y⁻²

.                 -2/5xy⁻¹+19/12                                | -2/5xy⁻¹ ÷2(2/5xy⁻¹)=-2/5xy⁻¹ ÷(4/5xy⁻¹)= -1/2

.                  2/5xy⁻¹ -  1/4                                  | (4/5xy⁻¹ -1/2)(-1/2) = -2/5xy⁻¹ +1/4

.                                   4/3 -5/3x⁻¹y+25/9x⁻²y²  | 2(2/5xy⁻¹-1/2)=4/5xy⁻¹-1 ⇒-4/3 ÷4/5xy⁻¹=5/3x⁻¹y

.                                  -4/3+5/3x⁻¹y-25/9x⁻²y²   | (4/5xy⁻¹-1+5/3x⁻¹y)(5/3x⁻¹y)=4/3-5/3x⁻¹y+25/9x⁻²y²

.                                                       0                |

___________________________________________

6)  a⁴/9+2a³/3x+a²/x²-2ax/3-2+x²/a²

= 1/9 a⁴ +2/3 a³x⁻¹ +a²x⁻² -2/3 ax -2 +x²a⁻²

.                                                                             .

√ 1/9 a⁴ +2/3 a³x⁻¹ +a²x⁻² -2/3 ax -2 +x²a⁻² | 1/3a² +ax⁻¹ -a⁻¹x  Solución.

. -1/9 a⁴                                                        | √1/9 a⁴=1/3a² ⇒(1/3a²)(1/3a²)= 1/9 a⁴

.              2/3 a³x⁻¹ +a²x⁻²                             |  2/3 a³x⁻¹ ÷ 2(1/3a²) = 2/3 a³x⁻¹ ÷ 2/3a² = ax⁻¹ 

.             -2/3 a³x⁻¹ - a²x⁻²                             | (2/3a²+ax⁻¹)(ax⁻¹) = 2/3a³x⁻¹  +a²x⁻²

.                                       -2/3 ax - 2 +x²a⁻²  | 2(1/3a² +ax⁻¹)=2/3a² +2ax⁻¹ ⇒  -2/3ax÷2/3a² = -a⁻¹x

.                                        2/3 ax +2 - x²a⁻²  | (2/3a² +2ax⁻¹-a⁻¹x)(-a⁻¹x) = -2/3ax -2 +a²x⁻² 

.                                                        0          |

___________________________________________

7) 9m⁴ + 30m² +55 +50/m² +25/m⁴

= 9m⁴ + 30m² +55 +50m⁻² +25m⁻⁴

.                                                        .

√  9m⁴ + 30m² +55 +50m⁻² +25m⁻⁴ | 3m²+5+5m⁻²  Solución.

.  -9m⁴                                               | √9m⁴ = 3m² ⇒(3m²)(3m²)= 9m⁴

.             30m² +55                            | 30m² ÷ 2(3m²) = 30m² ÷ 6m² = 5

.            -30m² -25                             | (6m² +5)(5) = 30 m² +25

.                        30 +50m⁻² +25m⁻⁴   | 2(3m²+5) = 6m²+10 ⇒ 30 ÷ 6m² = 5m⁻²

.                       -30 - 50m⁻² - 25m⁻⁴   | (6m²+10 +5m⁻²)(5m⁻²) = 30 +50m⁻² +25m⁻⁴

.                                        0               |

___________________________________________

8) 4a²b²/49x²y² -2ab/7xy +21/20 -7xy/5ab +49x²y²/25a²b²

= 4/49a²b²x⁻²y⁻²  -2/7abx⁻¹y⁻¹ +21/2 -7/5a⁻¹b⁻¹xy +49/25a⁻²b⁻²x²y²

.                                                                             .                                                                 Solución.

√ 4/49a²b²x⁻²y⁻²  -2/7abx⁻¹y⁻¹ +21/2 -7/5a⁻¹b⁻¹xy +49/25a⁻²b⁻²x²y² | 2/7abx⁻¹y⁻¹-1/2+7/5a⁻¹b⁻¹xy 

. -4/49a²b²x⁻²y⁻²                                                                                 | √4/49a²b²x⁻²y⁻² = 2/7abx⁻¹y⁻¹ ⇒

.                           -2/7abx⁻¹y⁻¹ +21/2                                                 | (2/7abx⁻¹y⁻¹)(2/7abx⁻¹y⁻¹) = 

.                            2/7abx⁻¹y⁻¹ -   1/4                                                 | 4/49a²b²x⁻²y⁻² 

.                                                   4/5 -7/5a⁻¹b⁻¹xy +49/25a⁻²b⁻²x²y²  | -2/7abx⁻¹y⁻¹ ÷ 2(2/7abx⁻¹y⁻¹) =

.                                                  -4/5 +7/5a⁻¹b⁻¹xy -49/25a⁻²b⁻²x²y²  | -2/7abx⁻¹y⁻¹ ÷ 4/7abx⁻¹y⁻¹)= -1/2

.                                                                             0                            | (4/7abx⁻¹y⁻¹) -1/2)(-1/2) =

.                                                                                                           | -2/7abx⁻¹y⁻¹ +1/4 

.                                                                                                           |2(2/7abx⁻¹y⁻¹-1/2)=4/7abx⁻¹y⁻¹-1

.                                                                                                           | ⇒ 4/5÷4/7abx⁻¹y⁻¹-1=7/5a⁻¹b⁻¹xy

.                                                                                          |(4/7abx⁻¹y⁻¹ -1 +7/5a⁻¹b⁻¹xy)|(7/5a⁻¹b⁻¹xy) =

.                                                                                          | 4/5 -7/5a⁻¹b⁻¹xy +49/25a⁻²b⁻²x²y²                .

_____________________________________________

9) a/ b²/³ - 4a¹/² /b¹/³ +6 -4b¹/³ /a¹/² +b²/³ /a

= ab⁻²/³ -4a¹/²b⁻¹/³ +6 -4a⁻¹/²b¹/³ +a⁻¹b²/³

.                                                                 .                                                                 

√ ab⁻²/³ -4a¹/²b⁻¹/³ +6 -4a⁻¹/²b¹/³ +a⁻¹b²/³   | a¹/²b⁻¹/³ -2 +a⁻¹/²b¹/³ Solución.

. -ab⁻²/³                                                      | √ab⁻²/³= a¹/²b⁻¹/³ ⇒ (a¹/²b⁻¹/³)(a¹/²b⁻¹/³) = ab⁻²/³

.            -4a¹/²b⁻¹/³ +6                                | -4a¹/²b⁻¹/³ ÷ 2(a¹/²b⁻¹/³) = -4a¹/²b⁻¹/³ ÷ 2a¹/²b⁻¹/³ = -2

.              4a¹/²b⁻¹/³ -4                                | (2a¹/²b⁻¹/³ -2)(-2) = -4a¹/²b⁻¹/³ +4

.                               2-4a⁻¹/²b¹/³ +a⁻¹b²/³   | 2(a¹/²b⁻¹/³ -2) = 2a¹/²b⁻¹/³ -4  ⇒ 2 ÷ 2a¹/²b⁻¹/³ = a⁻¹/²b¹/³

.                             -2- 4a⁻¹/²b¹/³ -a⁻¹b²/³   | (2a¹/²b⁻¹/³+4 +a⁻¹/²b¹/³)(a⁻¹/²b¹/³) = 2+4a⁻¹/²b¹/³+a⁻¹b²/³

.                                               0                |

_____________________________________________

10) a⁴/b⁻⁴ +6a²/b⁻² +7 -6b⁻²/a² +1/a⁴b⁴

= a⁴b⁴ +6a²b² +7 -6b⁻²a⁻² +a⁻⁴b⁻⁴

.                                                     .                                                                 

√ a⁴b⁴ +6a²b² +7 -6b⁻²a⁻² +a⁻⁴b⁻⁴   |  a²b² +3 -a⁻²b⁻² Solución.

. -a⁴b⁴                                             | √a⁴b⁴= a²b² ⇒ (a²b²)(a²b²) = a⁴b⁴

.            6a²b² +7                            | 6a²b² +7 ÷ 2(a²b²) = 6a²b² +7 ÷ 2a²b² = 3

.           -6a²b² -9                             | (2a²b² +3)(3) = 6a²b² +9 

.                      -2 -6b⁻²a⁻² +a⁻⁴b⁻⁴   | 2(a²b² +3) = 2a²b² +6 ⇒ -2 ÷ 2a²b² = -a⁻²b⁻²

.                       2 +6b⁻²a⁻² -a⁻⁴b⁻⁴   |  (2a²b² +6 -a⁻²b⁻²)(-a⁻²b⁻²) = -2 -6-a⁻²b⁻² +a⁻⁴b⁻⁴

.                                       0             |

_____________________________________________

11) x/ y⁻²/³ -8y¹/³ /x⁻¹/² +18 -8x⁻¹/² /y¹/³ +1/ xy²/³

= xy²/³ -8x¹/²y¹/³ +18 -8x⁻¹/²y⁻¹/³ +x⁻¹y⁻²/³

.                                                     .                                                                 

√ xy²/³ -8x¹/²y¹/³ +18 -8x⁻¹/²y⁻¹/³ +x⁻¹y⁻²/³   | x¹/²y¹/³ -4 +x⁻¹/²y⁻¹/³  Solución.

. -xy²/³                                                          | √xy²/³= x¹/²y¹/³ ⇒ (x¹/²y¹/³)(x¹/²y¹/³) = xy²/³

.          -8x¹/²y¹/³  +18                                   | -8x¹/²y¹/³ ÷ 2(x¹/²y¹/³) = 6a²b² +7 ÷ 2x¹/²y¹/³ = -4

.           8x¹/²y¹/³  - 16                                   |  (2x¹/²y¹/³ -4)(-4) = -8x¹/²y¹/³ +16                                            

.                              2 -8x⁻¹/²y⁻¹/³ +x⁻¹y⁻²/³   | 2(x¹/²y¹/³ -4) =2x¹/²y¹/³ -8 ⇒2 ÷ 2x¹/²y¹/³ =x⁻¹/²y⁻¹/³

.                            -2 +8x⁻¹/²y⁻¹/³ - x⁻¹y⁻²/³   | (2x¹/²y¹/³ -8 +x⁻¹/²y⁻¹/³)(x⁻¹/²y⁻¹/³) =                       .

.                                               0                   | = 2 -8 +x⁻¹/²y⁻¹/³ +x⁻¹y⁻²/³                                         .

_____________________________________________

Raíces de polinomios con exponentes negativos o fraccionarios.

El procedimiento para resolver este tipo de raíces es el mismo que se usa para resolver la raíz cuadrada de polinomios enteros. (Ver Ejercicio 214),

Ejemplo.

Hallar la raíz cuadrada de x⁻⁴ +13x⁻² +6x⁻³ +4 +12x⁻¹
=  x⁻⁴ +6x⁻³ +13x⁻² +12x⁻¹ +4   (ordenado)
.                                                      .

√ a -2a ³/⁴ +a ¹/² +4a ¹/⁴ -4 +4a ⁻¹/²  | a ¹/² -a ¹/⁴ +2a ⁻¹/⁴ .  Solución.

. -a                                                   | √a = a¹/² ⇒ (a¹/²(a¹/²) = a

.     -2a ³/⁴ +a ¹/²                               | (-2a ³/⁴) ÷ 2(a¹/²) = (-2a ³/⁴) ÷ (2a¹/²) = -a¹/⁴

.     -2a ³/⁴ +a ¹/²                               | (2a¹/²-a¹/⁴)(-a¹/⁴) = -2a³/⁴ +a¹/²

.              0           4a ¹/⁴ -4 +4a ⁻¹/²   | 2(a ¹/² -a ¹/⁴ ) = 2a ¹/² -2a ¹/⁴ ⇒(4a ¹/⁴) ÷ (2a ¹/² ) = 2a ⁻¹/⁴

.                          -4a ¹/⁴ +4 -4a ⁻¹/²   | (2a ¹/² -2a ¹/⁴ +2a ⁻¹/⁴)(2a ⁻¹/⁴) = 4a ¹/⁴-4+4a ⁻¹/²

.                                     0                 |

_____________________________________

Ejercicio 229.

Hallar la raíz cuadrada de:

1)  x⁻⁴ +13x⁻² +6x⁻³ +4 +12x⁻¹

=  x⁻⁴ +6x⁻³ +13x⁻² +12x⁻¹ +4   (ordenado)
.                                              .

√ x⁻⁴ +6x⁻³ +13x⁻² +12x⁻¹ +4 | x⁻² +3x⁻¹ +2   Solución.

. -x⁻⁴                                        | √x⁻⁴ = x⁻²   ⇒ (x⁻²)(x⁻²) = x⁻⁴

.          6x⁻³ +13x⁻²                   | (6x⁻³) ÷ 2(x⁻²) = (6x⁻³) ÷ (2x⁻²) = 3x⁻¹

.         -6x⁻³ -   9x⁻²                  | (2x⁻² +3x⁻¹)(3x⁻¹) = 6x⁻³ +9x⁻²

.                      4x⁻² +12x⁻¹ +4  | 2(x⁻² +3x⁻¹) = 2x⁻² +6x⁻¹ ⇒ (4x⁻²) ÷ (2x⁻²) = 2

.                     -4x⁻² - 12x⁻¹ - 4  | (2x⁻² +6x⁻¹ +2)(2) = 4x⁻² +12x⁻¹ +4

.                                 0             |

________________________________________

2)  m + 11 +6m⁻¹/² +6m¹/²+m⁻¹

=  m +6m¹/² + 11 +6m⁻¹/² +m⁻¹  (ordenado)

.                                                 

√ m +6m¹/² + 11 +6m⁻¹/² +m⁻¹ |  m¹/² +3 +m⁻¹/².  Solución.

. -m                   .                       |  √m = m¹/² ⇒ (m¹/²)(m¹/²) = m

.         6m¹/² + 11                       | 6m¹/² ÷ 2(m¹/²) = 6m¹/² ÷ 2m¹/² = 3

.       - 6m¹/²  -  9                        | (2m¹/² +3)(3) = 6m¹/² +9                

.                       2 +6m⁻¹/² +m⁻¹  |  2(m¹/² +3) = 2m¹/² +6 ⇒ 2 ÷ 2m¹/² = m⁻¹/²

.                      -2 - 6m⁻¹/² -m⁻¹   |  (2m¹/² +6 +m⁻¹/²)(m⁻¹/²) = 2 +6m⁻¹/² +m⁻¹

.                                   0             |

__________________________________________

3) 9a ⁴/³ +25a ²/³ -6a -8a¹/³ +16

= 9a ⁴/³ -6a +25a ²/³  -8a¹/³ +16 (ordenado).

.                                                 

√ 9a ⁴/³ -6a +25a ²/³  -8a¹/³ +16 | 3a²/³ -a¹/³ +4 .  Solución.

. -9a ⁴/³                   .                  | √9a ⁴/³ = 3a ²/³ ⇒ (3a ²/³)(3a ²/³) = 9a ⁴/³

.           -6a +25a ²/³                   | -6a ÷ 2(3a²/³) = -6a ÷ 6a²/³ = -a¹/³

.            6a  -    a ²/³                   | (6a²/³ -a¹/³)(-a¹/³) = -6a +a²/³

.                   24a ²/³-  8a¹/³ +16 | 2(3a²/³ -a¹/³) = 6a²/³ -2a¹/³ ⇒ 24a ²/³ ÷ 6a²/³ = 4

.                 - 24a ²/³ +8a¹/³ - 16 | (6a²/³ -2a¹/³ +4)(4) = 24a²/³ -8a¹/³ +16 

.                                       0       |

___________________________________________

4) a² +4a ⁷/⁴ -2a ³/² -12a ⁵/⁴ + 9a

.                                                  

√ a² +4a ⁷/⁴ -2a ³/² -12a ⁵/⁴ + 9a  | a +2a ³/⁴ -3a¹/².  Solución.

. -a²                                             | √a² = a ⇒  (a)(a) =  a² 

.         4a ⁷/⁴ -2a ³/²                       | 4a ⁷/⁴ ÷ 2(a) = 4a ⁷/⁴ ÷ 2a = 2a ³/⁴

.       - 4a ⁷/⁴ -4a ³/²                       | (2a +2a ³/⁴)(2a ³/⁴) = 4a ⁷/⁴ +4a ³/²

.                  - 6a ³/² -12a ⁵/⁴ + 9a  | 2(a +2a ³/⁴) = 2a +4a ³/⁴ ⇒ - 6a ³/² ÷ 2a = -3a ¹/²

.                    6a ³/² +12a ⁵/⁴ - 9a  | (2a +4a ³/⁴ -3a ¹/²)(-3a ¹/²) = -6a ³/² -12a ⁵/⁴ +9a

.                                   0              |

___________________________________________

5) mn⁻²/³ -4m¹/²n⁻¹/³ +6 -4m⁻¹/²n¹/³ +m⁻¹n²/³

.                                                                     

√ mn⁻²/³ -4m¹/²n⁻¹/³ +6 - 4m⁻¹/²n¹/³ +m⁻¹n²/³  | m¹/²n⁻¹/³ -2 +m⁻¹/²n¹/³.  Solución.

. -mn⁻²/³                                                          | √mn⁻²/³ = m¹/²n⁻¹/³ ⇒ 

.             -4m¹/²n⁻¹/³ +6                                   |  (m¹/²n⁻¹/³)(m¹/²n⁻¹/³) = mn⁻²/³

.              4m¹/²n⁻¹/³ - 4                                    | -4m¹/²n⁻¹/³ ÷ 2(m¹/²n⁻¹/³) = -2

.                                 2 - 4m⁻¹/²n¹/³ +m⁻¹n²/³  | (2m¹/²n⁻¹/³ -2)(-2) = -4m¹/²n⁻¹/³ +4

.                                -2 +4m⁻¹/²n¹/³ -m⁻¹n²/³   | 2(m¹/²n⁻¹/³ -2) = 2m¹/²n⁻¹/³ -4 ⇒ 

.                                                    0                | 2 ÷ 2m¹/²n⁻¹/³  = m⁻¹/²n¹/³

.                                                                      | [2(m¹/²n⁻¹/³ -2)+m⁻¹/²n¹/³](m⁻¹/²n¹/³)=

.                                                                      | (2m¹/²n⁻¹/³ -4+m⁻¹/²n¹/³)(m⁻¹/²n¹/³)=

.                                                                      | 2 -4m⁻¹/²n¹/³ +m⁻¹n²/³

___________________________________________

6) a⁴/⁵ -8a³/⁵ +10a²/⁵ +24a¹/⁵ +9

.                                                  

√ a⁴/⁵ -8a³/⁵ +10a²/⁵ +24a¹/⁵ +9  | a²/⁵ -4a¹/⁵ -3  Solución.

. -a⁴/⁵                                          | √a⁴/⁵ = a²/⁵ ⇒ (a²/⁵)(a²/⁵) = a⁴/⁵

.        -8a³/⁵ +10a²/⁵                     | -8a³/⁵ ÷ 2(a²/⁵) = -8a³/⁵ ÷ 2a²/⁵ = -4a¹/⁵

.         8a³/⁵  -16a²/⁵                     | (2a²/⁵ --4a¹/⁵)(-4a¹/⁵)= -8a³/⁵ +16a²/⁵  

.                   -  6a²/⁵ +24a¹/⁵ +9   | -6a²/⁵ ÷ 2(a²/⁵ -4a¹/⁵) = -6a²/⁵ ÷ 2a²/⁵  ⇒ -3

.                      6a²/⁵ -24a¹/⁵  - 9   | [2(a²/⁵ -4a¹/⁵)-3](-3) = (2a²/⁵ -8a¹/⁵-3)(-3) =

.                                  0              |  -6a²/⁵ +24a¹/⁵+9

___________________________________________

Hallar la raíz cúbica de:

7) a⁻³ -6a⁻⁵/² +21a⁻² -44a⁻³/²+63a⁻¹ -54a⁻¹/²+27

.                                                                            

∛ a⁻³ -6a⁻⁵/² +21a⁻² -44a⁻³/² +63a⁻¹ -54a⁻¹/² +27 | a⁻¹ -2a⁻¹/² +3   Solución.

. -a⁻³                                                                     | ∛a⁻³ ⇒ a⁻¹ ⇒ (a⁻¹)³ = a⁻³

.       -6a⁻⁵/² +21a⁻² -44a⁻³/²                                  | 3(a⁻¹)² = 3a⁻² ⇒ -6a⁻⁵/²  ÷ 3a⁻² = -2a⁻¹/²

.         6a⁻⁵/² -12a⁻² + 8a⁻³/²                                  | (3a⁻²)(-2a⁻¹/²)  = -6a⁻⁵/² 

.                      9a⁻² -36a⁻³/² +63a⁻¹ - 54a⁻¹/² +27 | 3(a⁻¹)(-2a⁻¹/²)² = (3a⁻¹)(4a⁻¹) = 12a⁻²

.                     -9a⁻² +36a⁻³/² -63a⁻¹ +54a⁻¹/² - 27 |          (-2a⁻¹/²)³ = -8a⁻³/²                    . 

.                                               0                           | 3(a⁻¹ -2a⁻¹/²)² = 3(a⁻²-4a⁻³/²+4a⁻¹) =

.                                                                            | 3a⁻²-12a⁻³/²+12a⁻¹ ⇒ 9a⁻²  ÷ 3a⁻² = 3

.                                                                            | 3(a⁻¹ -2a⁻¹/²)²(3) = 9a⁻²-36a⁻³/²+36a⁻¹

.                                                                            | 3(a⁻¹ -2a⁻¹/²)(3)² =  27a⁻¹ -54a⁻¹/²  

.                                                                            |                     (3)³ = 27                          .

.                                                                             

____________________________________________

8)  x² -6x⁴/³+15x²/³-20+15x⁻²/³-6x⁻⁴/³+x⁻²

.                                                                    

∛ x² -6x⁴/³+15x²/³-20+15x⁻²/³-6x⁻⁴/³+x⁻²     | x²/³ -2 +x⁻²/³   Solución.

. -a⁻³                                                             | ∛x² ⇒ x²/³ ⇒ (x²/³)³ = x²

.       -6x⁴/³+15x²/³-20                                   | 3(x²/³)² = 3x⁴/³ ⇒ -6x⁴/³ ÷ 3x⁴/³ = -2

.        6x⁴/³ -12x²/³+ 8                                   | 3(x²/³)²(-2) = -6x⁴/³

.                    3x²/³ -12 +15x⁻²/³ -6x⁻⁴/³+x⁻²  | 3(x²/³)(-2)² = 12x²/³

.                  - 3x²/³+12 - 15x⁻²/³+6x⁻⁴/³- x⁻²  |           (-2)³ = -8                               .

.                                             0                     | 3(x²/³ -2)² = 3x⁴/³ -12x²/³+12 ⇒ 3x²/³ ÷ 3x⁴/³ = x⁻²/³

.                                                                    | 3(x²/³-2)²(x⁻²/³) = 3x²/³ -12+12x⁻²/³

.                                                                    | 3(x²/³-2)(x⁻²/³)² = 3x⁻²/³-6x⁻⁴/³ 

,                                                                    |               (x⁻²/³)³ = x⁻²                                               .

____________________________________________

9) a³/² +3a⁵/⁴ -5a³/⁴ +3a¹/⁴ -1

.                                                   

∛ a³/² +3a⁵/⁴ +0 -5a³/⁴ +3a¹/⁴ -1  | a¹/² +a¹/⁴ -1   Solución.

. -a⁻³                                           | ∛x² ⇒ x²/³ ⇒ (x²/³)³ = x²

.          3a⁵/⁴ +0  -5a³/⁴                 | 3(a¹/²)² = 3a ⇒ 3a⁵/⁴ ÷ 3a = a¹/⁴

.         -3a⁵/⁴ -3a -  a³/⁴                 | 3(a¹/²)²(a¹/⁴) = 3a⁵/⁴

.                  -3a - 6a³/⁴ +3a¹/⁴ - 1 | 3(a¹/²)(a¹/⁴)² = 3a

.                   3a +6a³/⁴ - 3a¹/⁴ +1 |            (a¹/⁴)³ = a³/⁴                   .

.                                  0               |3(a¹/² +a¹/⁴)² = 3(a+2a³/⁴+a¹/²) = (3a+6a³/⁴+3a¹/²) ⇒

.                                                   | -3a ÷ 3a = -1                                                            .

.                                                   | 3(a¹/² +a¹/⁴)²(-1) = -3a -6a³/⁴ -3a¹/²

.                                                   | 3(a¹/² +a¹/⁴)(-1)² =  3a¹/² +3a¹/⁴

.                                                   |                    (-1)³ = -1                    .

_______________________________________________