Suma o diferencia de potencias impares iguales. Caso X.

.                                        

Regla para  la suma  de dos potencias impares iguales (m⁵+n⁵) es  igual a dos factores:

el primer factor es la suma de las raíces de los términos (m+n)

el segundo factor es el primer término elevado a la 5-1=4,  menos el 1º término  elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1,  más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado,  menos el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo,  más el 2º término elevado a la cuarta. (m⁴ - m³n + m²n² - mn³ + n⁴)

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Regla para  La diferencia  de dos potencias impares iguales (m⁵ - n⁵) es  igual a dos factores:

el primero es la diferencia de las raíces de los términos (m-n)

el segundo es el primer término elevado a la 5-1=4,  más el 1º término  elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1,  más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado,  más el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo,  más el 2º término elevado a la cuarta.

(m⁴ + m³n + m²n² + mn³ + n⁴)

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Ejemplo:

Factorar    x⁵ +32

1º  Encontramos la raíz quinta de los términos:

raíz quinta de x⁵ = x          ; raíz quinta de 32 = 2  

2º  formamos el primer factor con las raíces:   (x +2)

3º  Formamos el segundo factor:

[x⁵⁻¹ - x⁵⁻²(2) +x⁵⁻³(2^²) - x⁵⁻⁴(2³) + (2)⁴)]

[x⁴ - x³(2) +x²(4) - x(8) + 16] = (x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16)

--> x⁵ +32  =  (x +2)(x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16)  Solución
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Factorar    x⁷ - 1

1º  Encontramos la raíz séptima de los términos:

raíz séptima de x⁷ = x          ; raíz séptima de 1 = 1  

2º  formamos el primer factor con las raíces:   (x - 1)

3º  Formamos el segundo factor:

[x⁷⁻¹ + x⁷⁻²(1) + x⁷⁻³(1²) + x⁷⁻⁴(1³) + x⁷⁻⁵(1⁴) +x⁷⁻⁶(1⁵) + (1⁶)]

[(x⁶ + x⁵(1) + x⁴(1) + x³(1) + x²(1)^4 +x(1) + 1] =

 = (x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x +1) -->

--> x⁷ -1  =  (x - 1)(x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x +1)  Solución

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NOTA:

Cuando el primer factor es suma (x+1), los signos del segundo factor son alternativamente "+" y  "-"

Cuando el primer factor es diferencia (x-1),  los signos del segundo factor son todos positivos " + "

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Ejercicio 105 del Libro.

3) Factorar    1 - x⁵

Raíz quinta de 1 = 1     ;    raíz quinta de x⁵ = x

--> 1er.  factor:   (1 -x)

.     2º.  factor: [1⁴ + 1³(x) + 1²(x²) + 1(x³) + x⁴] =

=  (1 + x + x² + x³ + x⁴) 

--> 1 - x⁵   =   (1 -x)(1 + x + x² + x³ + x⁴)   Solución

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4)  Factorar    a⁷  + b⁷

Raíz séptima de a⁷ = a         ;    raíz séptima de b⁷ = b

--> 1er.  Factor:  (a +b)

.    2º.  Factor:  [a⁶  -a⁵(b) +a⁴(b²) -a³(b³)  +a²(b⁴) -a(b⁵) +b⁶] =

(a⁶ - a⁵b + a⁴b² - a³b³ + a²b⁴ - ab⁵ + b⁶)

Solución:

a⁷ + b⁷  =  (a+b)(a⁶ -a⁵b +a⁴b² -a³b³ +a²b⁴ -ab⁵ +b⁶)

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6)  Factorar  a⁵+243

Raíz quinta de  a⁵ = a   ;    raíz quinta de 243 = 3

--> 1er.  Factor:  (a+3)   

.     2º. Factor:  [a⁴ - a³(3) + a²(3)² - a(3)³ + (3)⁴] =

= (a⁴ -3a³ +9a² - 27a +81)

--> a⁵ +243 = (a+3)(a⁴ -3a³ +9a² - 27a +81)   Solución.

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7)    Factorar   32 -m⁵

Raíz quinta de 32 = 2       ;      Raíz quinta de m^5 = m

--> 1er. Factor:   (2 -m)

.     2º. Factor: [(2)⁴ + (2)³(m) + (2)²(m)² + (2)(m)³ + m⁴] =

=   (16 + 8m + 4m² + 2m³ +m⁴)

--> 32 -m⁵  =  (2 -m)(16 + 8m + 4m² + 2m³ +m⁴)  Solución.

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8)   Factorar   1 + 243x⁵

Raíz quinta de 1 = 1      ;     Raíz quinta de 243x⁵ = 3x

--> 1er. factor:  (1 + 3x)

.   2º. Factor:  [(1)⁴ - (1)³(3x) + (1)²(3x)² - (1)(3x)³ + (3x)⁴] =

=   (1 - 3x + 9x² - 27x³ + 81x⁴)

-->  1+243x⁵ = (1 +3x) (1 - 3x + 9x² - 27x³ + 81x⁴)  Solución.

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10)  Factorar   243 -32b⁵

Raíz quinta de  243 =  3     ;      Raíz quinta de 32b⁵ = 2b

-->  1er. Factor:   (3 -2b)

.   2º. Factor:   [(3)⁴ + (3)³(2b) + (3)²(2b)² + (3)(2b)³  + (2b)⁴] =

=    (81 + 54b + 36b² + 24b³ +16b⁴)

-->  la Solución es = 

 .    243 -32b⁵  =  (3 -2b)(81 + 54b + 36b² + 24b³ +16b⁴)

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11)   Factorar   a⁵ +b⁵c⁵

Raíz quinta de a⁵ = a     ;      Raíz quinta de b⁵c⁵ = bc

-->  1er. Factor:   (a + bc)

.   2º. Factor:  [(a)⁴ - (a)³(bc) + (a)²(bc)² - (a)(bc)³ + (bc)⁴]  =

= (a⁴ - a³bc + a²b²c² - ab³c³ + b⁴c⁴)

-->   la Solución es =

.   a⁵ +b⁵c⁵  =  (a⁴ - a³bc + a²b²c² - ab³c³ + b⁴c⁴)

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