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Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto:
Un trinomio
ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el
primero y tercer términos tienen raíz cuadrada exacta y positiva, y
el segundo término es el doble del producto de sus raíces cuadradas.
Ejemplo:
a²-4ab+4b² es cuadrado perfecto porque:
Raíz cuadrada de a² = a
Raíz cuadrada de 4b² = 2b
y
el doble producto de estas raíces es 2(a)(2b) = 4ab
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Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto:
Se extrae la raíz
cuadrada del primero y tercer términos del trinomio y se separan
estas raíces por el signo del segundo término del trinomio.
El binomio que se
forma, que son las raíces cuadradas del trinomio, se multiplica por
sí mismo o sea se eleva al cuadrado.
Ejemplo:
a²-4ab+4b² = (a-2b)(a-2b) = (a-2b)²
Raíz cuadrada de
a² = a ; raíz cuadrada de 4b²=
2b
--> se forma
el binomio (a -2b) y este se multiplica por sí
mismo (a-2b)(a-2b) o sea se eleva al cuadrado, que
sería (a -2b)² , que es la Solución.
Recuerda que el
signo del binomio es el signo que tiene el segundo término del
trinomio.
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Ejercicio 92 del Libro.
1) a² -2ab
+b²
-- Raíz cuadrada
de a² = a ; raíz cuadrada
de b² = b
--> el binomio
es: (a -b)
Por lo tanto
(a-b)(a-b) = (a -b)² <-- Solución
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2) a² +2ab
+b²
Raíz cuadrada de
a² = a ; raíz
cuadrada de b² = b
--> el binomio
es: (a +b)
Por lo tanto
(a+b)(a+b) = (a +b)² <-- Solución
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3) x²-2x+1
Raíz cuadrada de
x² = x ; raíz cuadrada de 1 = 1
--> el binomio
es: (x -1)
Por lo tanto
(x-1)(x-1) = (x -1)²<-- Solución.
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4) y⁴ +1
+2y²
= y⁴ +2y² +1
Raíz cuadrada de
y⁴ = y² ; raíz cuadrada
de 1 = 1
--> el binomio
es: (y² +1)
Por lo tanto (y² +1)(y²+1) = (y² +1)²<-- Solución.
En este caso el
trinomio original se ordenó en relación al exponente de su letra
(y), en orden del mayor al menor exponente. (descendente).
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5) a^2 -10a
+25
Raíz cuadrada de
a² = a ; raíz cuadrada de 25 = 5
--> el binomio
es (a -5)
por lo tanto (a
-5)(a -5) = (a -5)²<-- Solución.
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6) 9-6x+x²
Raíz cuadrada de
9 = 3 ; raíz cuadrada de x²= x
--> el binomio
es (3 -x)
Por lo tanto (3
-x)(3 -x) = (3 -x)² <-- Solución
En este caso ya
viene ordenado el trinomio en relación al exponente de su letra de
menor a mayor. (ascendente)
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7) 16
+40x² +25x⁴
Raíz cuadrada de
16 = 4 ; raíz cuadrada de 25x⁴ = 5x²
--> el binomio
es (4 +5x^2)
Por lo tanto (4
+5x^2)(4 +5x^2) = (4 +5x²)² <-- Solución.
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8) 1 +49a² -14a
= 1 -14a +49a²
Raíz cuadrada de
1 = 1 ; raíz cuadrada de 49a² = 7a
--> el binomio
es (1 -7a)
Por lo tanto (1
-7a)(1 -7a) = (1 -7a)² <-- Solución.
En este caso se
ordenó el trinomio original en forma ascendente en relación al
exponente de su letra.
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11) a⁸ +18a⁴ +81
Raíz cuadrada de
a⁸ = a⁴ ; raíz cuadrada de 81 =
9
--> el binomio
es (a⁴ +9)
Por lo tanto (a⁴ +9)(a⁴ +9) = (a⁴ +9)² <-- Solución.
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17)
49m⁶ -70am³n² +25a²n⁴
Raíz cuadrada de
49m⁶ = 7m³ ; raíz cuadrada de 25a²n⁴ =
5an²
--> el binomio
es (7m³ -5an²)
por lo tanto
(7m³ -5an²)(7m³ -5an²)
= (7m³ -5an²)² Solución.
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