Divisibilidad de un polinomio entero en “x” entre un binomio de la forma “x±a” o “bx±a”.

Teoremas:

1) Para comprobar si un polinomio dividido entre "x-a" es exacto, se divide el término independiente del polinomio entre el término independiente del binomio, sin tomar en cuenta los signos; y si el resultado es cero (0), es exacta.

2) Para comprobar si un polinomio entero en "x" es divisible entre un binomio de la forma "x-a"; se sustituye el valor de "x" del polinomio, con el valor opuesto del segundo término del binomio, y si el resultado es igual a cero, o sea que se anula, el polinomio si es divisible entre x-a.

3) Para comprobar si un polinomio entero en “x” es divisible entre un binomio de la forma “bx-a”; se sustituye el valor de “x” en el polinomio, con el valor de la fracción que resulta de dividir el segundo término del binomio con el signo cambiado entre el coeficiente del primer término del binomio “a/b”.

NOTA: Aún cuando el resultado de dividir los términos independientes sean exacto (Paso 1), no es condición suficiente para afirmar que el polinomio es divisible entre el binomio (Paso 2). 

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Ejemplos:

Paso 1)
Hallar, sin efectuar la división, si es exacta la división de x^3 -4x^2 +7x -6  entre x-2.

--> 6 / 2 = 3   --> la división es exacta.

 Paso 2) 
Hallar, sin efectuar la división, si x^3 -4x^2+7x -6 es divisible entre x-2.

- Opuesto del 2º término del binomio (-2) = 2

- Sustituyendo:

x^3 -4x^2 +7x -6
= (2)^3 -4(2)^2 +7(2) -6
= 8 -16 +14 -6
= 22-22 = 0

por lo tanto el polinomio es divisible entre "x-2".

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Ejercicio 76 del Libro.

Hallar, sin efectuar la división, si son exactas las divisiones siguientes:

1) x^2 -x -6 entre x-3

--> 6 /3 = 2  <--> es exacta.

Sustituyendo la "x" con el opuesto de (-3) = +3 en el polinomio:

x^2 -x -6
= (3)^2 -(3) -6
= 9 -3 -6
= 9 -9 = 0   --> exacta y si es divisible.

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2) x^3 +4x^2 -x -10 entre x+2

--> 10 / 2 = 5  <--> es exacta.

Sustituyendo la "x" con el opuesto de (+2) = -2 en el polinomio:

x^3+4x^2-x-10
= (-2)^3+4(-2)^2-(-2)-10
= -8+16+2-10 

= -18+18 = 0 --> exacta y si es divisible.

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3) 2x^4 -5x^3 +7x^2 -9x +3 entre x-1

--> 3 / 1 = 3 <--> es exacta.

Sustituyendo la "x" con el opuesto de (-1) = 1 en el polinomio:

2x^4 -5x^3 +7x^2 -9x +3
= 2(1)^4 -5(1)^3 +7(1)^2 -9(1) +3 

= 2 -5 +7 -9 +3
= 12 -14 = -2 --> inexacta porque no es divisible.

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4) x^5 +x^4 -5x^3 -7x +8 entre x+3

--> 8 / 3 = 2. 2/3  --> no es exacta.

Sustituyendo la "x" con el opuesto de (+3) = -3 en el polinomio:

x^5 +x^4 -5x^3 -7x +8
= (-3)^5 +(-3)^4 -5(-3)^3 -7(-3) +8 

= -243 +81 +135 +21 +8
= -243 +245 = 2 --> inexacta y por lo tanto no divisible.

En este caso cuando en la primera comprobación es inexacta, no es necesario realizar la segunda comprobación.

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5) 4x^3 -8x^2 +11x -4 entre 2x-1

--> 4 / 1 = 4  --> es exacta.

Sustituyendo "x " con el opuesto de (-1/2) = +1/2 en el polinomio:

4x^3 -8x^2 +11x -4
= 4(1/2)^3 -8(1/2)^2 +11(1/2) -4 

= 1/2 -2 +11/2 -4
= 6 -6 = 0  --> exacta y si es divisible.

Nota: -1/2 resulta de dividir el segundo término del binomio “-1”

entre el coeficiente del primer término del binomio “2”.

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6) 6x^5 +2x^4 -3x^3 -x^2 +3x +3 entre 3x+1

--> 3/1 = 3 --> es exacta.

Sustituyendo "x" con el opuesto de (1/3) = -1/3 en el polinomio:

6x^5 +2x^4 -3x^3 -x^2 +3x +3 =

= 6(-1/3)^5 +2(-1/3)^4 -3(-1/3)^3 -(-1/3)^2 +3(-1/3) +3 =

= -2/81 +2/81 +1/9 -1/9 -1 +3
= -92/81 +254/81
= 162/81 = 2 -->  inexacta porque no es divisible.

Nota: 1/3 resulta de dividir el segundo término del binomio “1”

entre el coeficiente del primer término del binomio “3”.

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