Trinomio de la forma x² ± bx ± c. Casos Especiales.

.              

Se procede de la misma manera que se explicó en el Ejercicio 98.

En estos problemas del Ejercicio 99, se presentarán algunas diferencias que serán explicadas.

Ejemplos:

a) Factorar  x⁴ -2x²-50 

Se encuentra la raíz cuadrada del primer término del trinomio:

√x⁴ = x²

Se forman dos factores binomios, cuyo primer término será x²:

(x²      )(x²   );

el signo que sigue al 1º término del 1º binomio es el mismo del 2º término del trinomio. y el signo que sigue al 1º término del 2º binomio es el producto de los signos del 2º y 3º términos del trinomio:

(x²-  )(x²+  )

Luego se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del 2º término del trinomio y cuyo producto sea igual al coeficiente del 3º término.

En este caso son -10  y  5;  porque -10+5= -5  y  (-10)(5)=-50

(x²-10)(x²+5)     Solución.

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b) Factorar  x⁶ +7x³ -44

√x⁶ = x³

Formando los dos factores binomios:

(x³+   )(x³-   )

Buscando dos números que sumen (7) y que su producto sea (-44)

Estos son 11 y -4,  porque 11-4=7  y  (11)(-4)=-44

(x³+11)(x³-4)  Solución.

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c)  Factorar:  a²b² -ab -42

√a²b² = ab

Formando los dos factores binomios:

(ab-   )(ab+   )

Buscando dos números que sumen (-1)  y que su producto sea (-42):

Son -7  y  6: porque -7+6=-1   y    (-7)(6)=-42:

(ab-7)(ab+6)  Solución.

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d) Factorar  (5x)² -9(5x) +8

√(5x)² = 5x

Formando factores binomios:

(5x-   )(5x-   )

Buscando dos números que sumen (-9) y su producto sea (8):

Son -8  y -1; porque -8-1=-9  y  (-8)(-1)=8

(5x-8)(5x-1)  Solución.
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e)  Factorar   x²-5ax-36a²

√x² = x

Formando factores binomios:

(x-   )(x+   )

Buscando dos números que sumen (-5a) y su producto sea (-36a²):

Son -9a  y 4a;  porque -9a+4a=-5a  y  (-9a)(4a)= -36a²

(x-9a)(x+4a)  Solución.

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f) Factorar   (a+b)²-12(a+b)+20

√(a+b)² = (a+b)

Formando factores binomios:

[(a+b)-   ][(a+b)-   ]

Buscando dos números que sumen (-12) y que su producto sea (20):

Son -10  y -2;  porque -10-2=-12   y   (-10)(-2)=20

[(a+b)-10][(a+b)-2]

(a+b-10)(a+b-2)  Solución.

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g) Factorar  28+3x-x²

-x²+3x+28  (ordenado)

x²-3x-28   (Se cambió signo a todos los términos del trinomio para volver  positivo el término cuadrático)

√x² = x

formando factores binomios:

(x-   )(x+   )

Buscando dos números que sumen (-3) y que su producto sea (-28):

Son -7  y  4 ; porque  -7+4=-3   y  (-7)(4)=-28

-(x-7)(x+4)   (Como el trinomio original ordenado empezaba con signo negativo, esta descomposición también debe empezar con signo negativo.

Para eliminar el signo negativo que precede a la descomposición, debe cambiársele signo a los términos de uno de los factores; lo haremos con (x-7).

(-x+7)(x+4)   Lo ordenamos y quedaría así:

(7-x)(x+4)   Solución.

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h) Factorar  30+y²-y⁴

-y⁴+y²+30  (ordenado)

y²-y²-30   (volviendo positivo el término cuadrático)

√y⁴ = y²

Formando factores binomios:

(y²-   )(y²+   )

Buscando dos números que sumen (-1) y que su producto sea (-30):

Son -6  y 5 ; porque  -6+5=-1   y   (-6)(5)=-30

(y²-6)(y²+5)

-(y²-6)(y²+5)

(6-y²)(y²+5)   Solución.

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Ejercicio 99 del Libro.

Factorar las siguientes expresisones:

1)  x⁴+5x²+4

Si  √x⁴ = x²

->  (x²+4)(x²+1)   Solución.
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2)  x⁶-6x³-7

Si √x⁶ = x³

-> (x³-7)(x³+1)   Solución.
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3) x⁸-2x⁴-80

Si  √x⁸ = x⁴

-> (x⁴-10)(x⁴+8)   Solución.
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4)  x²y²+xy-12

Si  √x²y² = xy

->  (xy+4)(xy-3)   Solución.
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5)  (4x)²-2(4x)-15

Si  √(4x)² = 4x

-> (4x-5)(4x+3)   Solución.
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6)  (5x)²+13(5x)+42

Si  √(5x)² = 5x

-> (5x+7)(5x+6)   Solución.
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7)  x²+2ax-15a²

Si  √x² = x

-> (x+5a)(x-3a)   Solución.
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8)  a²-4ab-21b²

En este caso la incógnita es la variable porque forma parte del término cuadrático.
Si √a² = a

-> (a-7b)(a+3b)   Solución.
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9)  (x-y)²+2(x-y)-24

Si  (x-y)² = (x-y)

-> [(x-y)+6][(x-y)-4]

(x-y+6)(x-y-4)   Solución.
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10)  5+4x-x²

-x²+4x+5   (ordenado)

x²-4x-5  (con signos cambiados)

Si  √x² = x

->  (x-5)(x+1)

-(x-5)(x+1)   (Agregando signo negativo a la descomposición de factores)

-> Quitando el signo negativo, pero cambiando los signos a los términos de uno de los factores, en este caso a (x-5)

(5-x)(x+1)  o  (x+1)(5-x)   Solución.
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30)  x⁴ +5abx -36a²b²

Si  √x⁴ = x²

->  (x²+9ab)(x²-4ab)   Solución.
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