Simplificación de fracciones cuyos términos no pueden factorarse fácilmente.

Regla:  Hallar el m.c.d. del numerador y denominador por divisiones sucesivas y dividir el numerador y el denominador por el m.c.d. de la fracción.

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Ejemplo: Simplificar

   

Hallando el m.c.d. del numerador entre el denominador:

.                               x                                  .

x⁵-2x⁴+6x³-2x²+5x |  x⁶- 2x⁵+5x⁴-  x³+2x²-5x

.                               -x⁶+2x⁵- 6x⁴+2x³-5x²

.                                           -   x⁴+  x³-3x²-5x  → ÷ -1 = x⁴-x³+3x²+5x

.                       x-1                         .

x⁴-x³+3x²+5x | x⁵-2x⁴+6x³-2x²+ 5x

.                      -x⁵+ x⁴- 3x³-5x²

.                           - x⁴+3x³-7x²+ 5x

.                              x⁴-  x³+3x²+ 5x

.                                  2x³- 4x²+10x   → ÷ 2 = x³-2x²+5x  

.                 x+1                   .

x³-2x²+5x | x⁴ -  x³+3x²+5x

.                  -x⁴+2x³-5x²

.                          x³- 2x²+5x

.                        -x³-+2x²-5x

.                                 0

El m.c.d. de la fracción es  x³-2x²+5x.

Simplificando.  Dividiendo el numerador y el denominador entre el m.c.d. de la fracción:

.                   x³-1                                .

x³- 2x²+5x  | x⁶- 2x⁵+5x⁴-  x³+2x²-5x

.                  -x⁶+2x⁵-5x⁴

.                           0         -  x³+2x²- 5x   

.                                         x³- 2x²+5x

.                                                0

.                  x²+1                       .

x³- 2x²+5x | x⁵ - 2x⁴+6x³-2x²+5x

.                 - x⁵+ 2x⁴-5x³

.                                  x³-2x²+5x

.                                -x³+2x²- 5x

.                                        0

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Ejercicio 121.

Simplificar hallando el m.c.d. de los dos términos:

.                             1                           .

a⁴-a³x-2a²x²+2ax³ | a⁴- a³x+ a²x²-  ax³

.                             -a⁴+a³x+2a²x²-2ax³

.                                           3a²x²-3ax³  → ÷ 3ax² = a - x

.                                     

.       a³-2ax²                  .

a -x | a⁴- a³x-2a²x²+2ax³

.       -a⁴+a³x

.                  -2a²x²+2ax³

.                    2a²x²-2ax³

.                           0

→ El m.c.d. de la fracción es a-x

 Simplificando la fracción, dividiendo sus miembros entre el m.c.d:

.        a³+ax²                  .

a -x | a⁴- a³x+a²x²-ax³

.      -a⁴+a³x

.           0     +a²x²-ax³ 

.                  -a²x²+ax³

.                         0 

.       a³-2ax²                 .

a -x | a⁴- a³x-2a²x²+2ax³

.       -a⁴+a³x

.            0    -2a²x²+2ax³

.                   2a²x²- 2ax³

.                          0

 

 

            

________________________________________

.                              1                         .

x⁴+3x³+6x²+3x+5 | x⁴+3x³+4x²-3x- 5

.                             -x⁴ -3x³ -6x²-3x- 5

.                                          -2x²-6x-10  → ÷ -2 = x²+3x+5

.               x²+1                      .

x²+3x+5 | x⁴+3x³+6x²+3x+5

.              -x⁴ -3x³ -5x²

.                              x²+3x+5

.                             -x² -3x-5

.                                    0

El m.c.d. de la fracción es x²+3x+5

Simplificando la fracción, dividiendo sus miembros entre el m.c.d.:

.               x²-1                     .

x²+3x+5 | x⁴+3x³+4x²-3x-5

.              -x⁴- 3x³ -5x²

.                            - x² -3x-5

.                              x²+3x+5

.                                    0

.               x²+1                     .

x²+3x+5 | x⁴+3x³+6x²+3x+5

.              -x⁴ -3x³ -5x²

.                               x²+3x+5

.                              -x² -3x-5 

.                                      0

______________________________________

 

6x³-13x²+18x-8 por 5    = 30x³-65x²+90x-40

10x³-9x²+11x+12 por 3 = 30x³-27x²+33x+36 

.                               1                            .

30x³-27x²+33x+36 | 30x³-65x²+90x-40

.                              -30x³+27x² -33x-36

.                                       -38x²+57x-76   → ÷ -19 = 2x²-3x+4

.                15x+9                     .

2x²-3x+4 | 30x³ -27x²+33x+36

.               -30x³+45x² -60x

.                          18x² -27x+36

.                         -18x²+27x -36

.                                    0

→ El m.c.d. de la fracción es 2x²-3x+4

Simplificando la fracción, dividiendo sus miembros entre el m.c.d.:

.                3x-2                   .

2x²-3x+4 | 6x³-13x²+18x -8

.               -6x³+ 9x² -12x

.                       -4x² + 6x  -8

.                        4x² -  6x +8

.                                0

.                5x+3                     .

2x²-3x+4 | 10x³ - 9x²+11x+12

.               -10x³+15x²-20x

.                            6x² - 9x+12

.                           -6x²+ 9x -12 

.                                     0

 

______________________________________

Multiplicando el numerador por 2 = 2x⁴-4x³y+4x²y²-2xy³

.                                1                               .

2x⁴-5x³y+4x²y²-xy³ | 2x⁴- 4x³y+4x²y²-2xy³

.                               -2x⁴+5x³y -4x²y²+ xy³

.                                          x³y             -xy³   → ÷ -xy = x²-y²

.         2x²-5xy+6y²           .

x²-y² | 2x⁴-5x³y+4x²y²  -xy³ 

.        -2x⁴         +2x²y²

.               -5x³y+6x²y² - xy³

.                5x³y           -5xy³ 

.                         6x²y² -6xy³

.                       -6x²y²          -6y⁴

.                                  -6xy³-6y⁴    → ÷ -6y³ = x -y 

.         x+y           .

x - y | x²        -y² 

.        -x²+xy 

.               xy -y²

.              -xy+y² 

.                    0

→  El m.c.d.de la fracción es x-y.

Simplificando la fracción:

.        x³-x²y+xy²             .

x -y | x⁴-2x³y+2x²y²-xy³

.       -x⁴-  x³y

.             -x³y+2x²y²

.              x³y -  x²y²

.                        x²y² -xy³

.                       -x²y²+xy³

.                              0

         2x³-3x²y+xy²          .

x -y | 2x⁴-5x³y+4x²y² -xy³

.      -2x⁴+2x³y

.             -3x³y+4x²y²

.              3x³y -3x²y² 

.                          x²y² -xy³

.                        - x²y²+xy³

.                               0

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M.C.D. de tres o más polinomios por divisiones sucesivas.

Para este caso hallamos el m.c.d. de dos polinomios como en el Ejercicio 113. y luego buscamos el m.c.d. del tercer polinomio y del m.c.d encontrado; y así sucesivamente, según la cantidad de polinomios del problema planteado. El m.c.d. solución será el último m.c.d encontrado.
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Ejemplo.  

Hallar por divisiones sucesivas, el m.c.d de  2x³-11x²+10x+8 , 2x³+x²-8x-4  y  6ax²+11ax+4a.

m.c.d. de 2x³-11x²+10x+8 y 2x³+x²-8x-4

.                    1                          .

2x³+x²-8x-4 | 2x³-11x²+10x+  8

.                    -2x³-    x²+  8x+  4 

.                          -12x²+18x+12  → ÷ -6 = 2x²-3x -2

.                x+2                 .

2x²-3x -2 | 2x³+  x²- 8x- 4

.               -2x³+3x²+2x 

.                        4x²- 6x- 4

.                       -4x²+6x+4

.                               0 

→ el m.c.d. de 2x³-11x²+10x+8 y 2x³+x²-8x-4  es 2x²-3x -2

Buscando el m.c.d. de 2x²-3x -2  y 6ax²+11ax+4a. 

Antes le sacamos el factor común al tercer polinomio:

6ax²+11ax+4a.= a(6x²+11x+4) 

.                3                 .

2x²-3x -2 | 6x²+11x+ 4

.               -6x²+  9x+ 6

.                       20x+10   → ÷ 10 = 2x+1

.          x-2          :

2x+1 | 2x²-3x -2

.         -2x²-  x

.                -4x -2

.                 4x+2

.                     0

→ el m.c.d. de 2x³-11x²+10x+8 , 2x³+x²-8x-4  y  6ax²+11ax+4a  es 2x+1

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Ejercicio 114.

Hallar, por divisiones sucesivas, el m.c.d. de:

1) x³-2x²-5x+6 , 2x³-5x²-6x+9  y  2x²-5x-3

.                    2                         .

x³-2x²-5x+6 | 2x³- 5x² -  6x+ 9

.                    -2x³+4x²+10x-12

.                            - x² + 4x-  3  → ÷ -1 = x² -4x +3

.                x+2                  .

x² -4x +3 | x³- 2x²-5x+6

.               -x³+4x²-3x

.                      2x²-8x+6

.                    -2x²+8x- 6

.                             0

→ el m.c.d de los 2 primeros polinomios es x² -4x +3

.                2             .

x² -4x +3 | 2x²- 5x-3

.               -2x²+8x-6

.                        3x-9    → ÷ 3 = x-3

.      x-1           .

x-3 | x²-4x +3

.     -x²+3x

.            - x+3

.              x- 3

.                 0

→  el m.c.d de los tres polinomios es x-3.

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2) 2x³-x²y-2xy²+y³  ,  8x³+6x²y-3xy²-y³  y  6x²-xy-y²

.                           4                              .

2x³-x²y-2xy²+y³ | 8x³+ 6x²y- 3xy²-  y³

.                          -8x³+ 4x²y+8xy²-4y³

.                                  10x²y+5xy²-5y³  → ÷ 5y = 2x²+xy-y²

.                 x                         .

2x²+xy-y² | 2x³- x²y-2xy²+y³

.                 -2x³- x²y-  xy²

.                       -2x²y-  xy²+y³  → ÷ -y = 2x² +xy -y² 

                     1               .

2x² +xy -y²  | 2x²+xy-y²

.                   -2x²- xy+y²

.                           0

→ El m.c.d. de los primeros dos polinomios es 2x² +xy -y²

.                   3               .

2x² +xy -y² | 6x²- xy-   y²

.                  -6x²-3xy+3y²

.                        -4xy+2y²  → ÷ -2y = 2x-y

.         x+y            .

2x-y | 2x²+xy-y²

.        -2x²+xy

.               2xy- y²

.              -2xy+y²

.                    0

→ El m.c.d. de los tres polinomios es 2x-y.

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3) x⁴+x³-x²-x  ,  2x³+2x²-2x-2  y  5x³-5x²+2x-2

Sacando el factor común de x⁴+x³-x²-x = x(x³+x²-x-1)

.                 2                    .

x³+x²-x-1 | 2x³+2x²- 2x- 2

.                -2x³- 2x²+2x+2

.                           0

→ El m.c.d. de los primeros dos polinomios es x³+x²-x-1

.                5                     .

x³+x²-x-1 | 5x³- 5x²+2x -2

.                -5x³- 5x²+5x+5

.                      -10x²+7x+3  → ÷ -1 = 10x²-7x-3

y,  (x³+x²-x-1) (10) = 10x³+10x²-10x-10 

.                 x                            .

10x²-7x-3 | 10x³+10x²-10x-10

.                -10x³+  7x²+ 3x

.                           17x²-  7x-10

→ (17x²-7x-10)(10) = 170x²-70x-100

y,  (10x²-7x-3)(17)   = 170x²-119x-51

.                         1                      .

170x²-70x-100 | 170x²-119x-  51

.                        -170x²+ 70x+100

.                                   -  49x+ 49  → ÷ -49 = x-1 

.        170x+100            

x -1 | 170x² -  70x- 100

.       -170x²+170x

.                    100x- 100

.                   -100x+100

.                            0

→ El m.c.d. de los tres polinomios es x -1

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4) 3a⁴-9a³x+4a²x²-3ax³+2x⁴ , a⁴+3a³x+a²x²-3ax³-2x⁴  y  4a³+8a²x-ax²-2x³

.                                     3                                      .

a⁴+3a³x+a²x²-3ax³-2x⁴ | 3a⁴-9a³x+4a²x²- 3ax³+2x⁴

.                                    -3a⁴-9a³x- 3a²x²+9ax³+6x⁴

.                                                       a²x²+6ax³+8x⁴  → ÷ x²=a²+6ax+8x²

.                    a²-3ax+11x²                        .

a²+6ax+8x² | a⁴+3a³x+   a²x² -  3ax³-  2x⁴

.                   -a⁴- 6a³x-  8a²x²

.                        -3a³x - 7a²x² -  3ax³

.                         3a³x+18a²x²+24ax³

.                                   11a²x²+21ax³-  2x⁴

.                                  -11a²x²- 66ax³-88x⁴

.                                              -45ax³-90x⁴  =  -45x³(a+2x)

.           a+4x           .

a +2x | a²+6ax+8x²

.          -a²- 2ax 

.                4ax+8x² 

.               -4ax- 8x²

.                       0                              

→ El m.c.d. de los dos primeros polinomios es a+2x.

.          4a²-x²                   .

a+2x | 4a³+8a²x-ax²-2x³

.         -4a³- 8a²x

.                         -ax²-2x³

.                          ax²+2x³

.                                0

→ El m.c.d. de los tres polinomios es a+2x.

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