Amortización de una deuda por anualidades.

Amortización es el pago que se hace en pagos iguales, de una deuda pactada a un % de interés compuesto anual durante el tiempo en años que dure la deuda. 

 Anualidad es una cantidad fija que se paga al final de cada año para amortizar un capital prestado y sus intereses en cierto número de años.

La fórmula de la anualidad es:

Capital prestado a interés compuesto, a un tanto "r" por uno durante "t" años.

    Primera anualidad

Segunda anualidad

Tercera anualidad 

Penúltima anualidad.

en donde:

c = capital prestado

r = tanto por uno, de un % tanto por ciento.

t = tiempo de duración.

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Ejemplo:

Una ciudad toma un empréstito de $500,000 al 4%, interés compuesto para amortizarlo en 15 años. ¿Qué anualidad deberá pagar?

c = 500000  ,  r = 0.04 ,  t = 15 , a = ?

Sustituyendo los valores en la fórmula:

a = 500000(0.04)(1+0,04)¹⁵ / (1+0.04)¹⁵ -1

Hallando el valor de (1+0,04)¹⁵, por logaritmos:

(1+0.04)¹⁵ = 15(log 1.04) = 15(0.017033) = 0.255495

Antilog de 0.255495 = 1.8009

-> a = 500000(0.04)(1.8009) / 1.8009 -1 = 500000(0.04)(1.8009)/ 0.8009

Aplicando logaritmos:

log a = log 500000 + log 0.04 + log 1.8009 + Colog 0.8009

log a = (5.698970 + ⁻2.602060 + 0.255495) + 0.096422

log a = 4.556525 + 0.096422 =  4.652947

Antilog 4.652947 = $47,972.49  Solución.

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Ejercicio 304.

1) ¿Qué anualidad hay que pagar para amortizar una deuda de $40000 al 5% de interés compuesto anual en 10 años?

c = 40000 , r = 0.05 , t = 10 , a = ?

> Sustituyendo los valores en la fórmula:

a = 40000(0.05)(1+0.05)¹⁰ ) / (1+0.05)¹⁰ -1

> Hallando el valor de (1.05)¹⁰ por logaritmos:

log (1.05)¹⁰ = 10(log 1.05) = 10(0.021189) = 0.21189

Antilog 0.21189 = 1.62888

-> a = 40000(0.05)(1.62888) / 1.62888 -1

a = 40000(0.05)(1.62888)/0.62888

> Aplicando logaritmos:

log a = log 40000 + log 0.05 + log 1.62888 + colog 0.62888

log a = (4.602060 + ⁻2.698970 + 0.211889) + 0.201430

log a = 3.512919 + 0.201430

log a =  3.714349

Antilog 3.714349 = $5,180.22  Solución.

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2) Se ha tomado a préstamo una suma de 85000 soles al 3%. ¿Qué anualidad habrá que pagar para amortizar la deuda en 12 años?

c = 85000 , r = 0.03 , t = 12  , a = ?

> Sustituyendo los valores en la fórmula:

a = 85000(0.03)(1+0.03)¹² / (1+0.03)¹²-1

> Hallando el valor de  (1+0.03)¹² por logaritmos:

log  (1.03)¹²  = 12 (log 1.03¹²) = 12(0.012837) = 0.154044 

Antilog  0.154044  = 1.425752

-> a =  85000(0.03)(1.425752) / 1.425752 -1

a = 85000(0.03)(1.425752) / 0.425752

> Aplicando logaritmos:

log a = log 85000 + log 0.03 + log 1.425752 + colog 0.425752

log a = (4.929419 + ⁻2.477121 + 0.154044) + 0.3709

 log a = 3.560584 + 0.3709

log a = 3.931484

Antilog 3.931484 = 8,540.51 soles.   Solución.

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3) Una empresa toma un empréstito de $600000 al 5%. ¿Qué anualidad deberá pagar para amortizar la deuda en 20 años?

c = 600000 , r = 0.05 , t = 20 ,  a = ?

> Sustituyendo los valores en la fórmula:

a = 600000(0.05)(1+0.05)²⁰ / ((1+0.05)²⁰) -1

> Hallando el valor de (1+0.05)²⁰ por logaritmos:

log (1+0.05)²⁰ = 20(log 1+0.05²⁰) = 20(0.021189) = 0.423786

Antilog 0.423786 = 2.653298

-> a = 600000(0.05)(2.653298) / 2.653298 -1. 

a = 600000(0.05)(2.653298) / 1.653298. 

Aplicando logaritmos:

log a = (log 600000 + log 0.05 + log 2.653298) + colog 1.653298

log a = (5.778151 + -2.698970 + 0.423786) + -1.78149

log a = 4.900907 + -1.781649 = 4.682556

Antilog 4.682556 = $48,145.53 = $48,146.  Solución.

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5) Una deuda de 3000 bolívares con el 6% de interés compuesto, se debe pagar en 5 años. ¿Cuál será el importe de la anualidad?

c = 3000 , r = 0.06 , t =5 , a = ?

>Sustituyendo los valores en la fórmula:

a = 3000(0.06)(1+0.06)⁵ / (1+0.06)⁵ -1  

> Hallando el valor de (1+0.06)⁵ por logaritmos:

log (1.06)⁵ = 5(log 1.06⁵ = 5(0.025306) = 0.126529

Antilog 0.126529 = 1.338225

-> a = 3000(0.06)(1.338225) / 1.338225 -1

a =  3000(0.06)(1.338225) / 0.338225

> Aplicando logaritmos:

log a = log 3000 + log 0.06 + log 1.338225 + colog 0.338225

log a = (3.477121 + ⁻2.778151 + 0.126529) + 0.470794

log a = 2.381801 + 0.470794

log a = 2.852595

Antilog 2.852595 = 712.19 bolívares.  Solución.

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Interés Compuesto resuelto con logaritmos.

Interés compuesto es el método que se utiliza cuando los intereses que gana el capital prestado son capitalizados por períodos de tiempo, es decir estos intereses se suman al capital prestado a intervalos iguales de tiempo, constituyéndose un nuevo capital al final de cada unidad de tiempo.

Fórmula fundamental y derivadas.

c = capital prestado a Interés compuesto.

t = tiempo total.

r = tanto por uno anual del tanto por ciento anual.

C = Capital al final de t años.

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Fórmula fundamental:

C = c(1+r)^t             o      log C = log c + t(log 1+r)

Fórmulas derivadas:

c = C / (1+r)^t            o      log c = log C - t(log 1+r)

t = log C - log c /log (1+r)

log r+1 = log C - log c/t  (*)

(*) Hallando el valor de (1+r), se le resta 1 y se tendrá el valor de "r". 

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Ejemplos:

a) ¿En cuánto se convertirán $5800 al 5% anual de interés compuesto en 7 años?

Elementos para el cálculo: c = 5800 , r = 0.05 (es el tanto por uno anual) , t = 7

> Aplicando la fórmula para el cálculo del capital final,:

C =5800(1+0.05)⁷

C =5800(1.05)⁷

> Resolviendo con logaritmos:

log C = log(5800) + 7[log(1+0.05)]

log C = 3.763428 + 7[(log(1.05)]

log C = 3.763428 + 7(0.021189)

log C = 3.763428 + 0.148323

log C = 3.911751

> Hallando el antilogaritmo de 3.911751, o sea el valor que corresponde al logaritmo encontrado:

es $8,161.15 Solución.

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b) ¿En cuánto se convertirán $918.54 al 4% de interés compuesto en 1 año capitalizando los intereses por trimestres?

Los intereses capitalizados por trimestres en un año, serían 4 capitalizaciones que se suman al capital cada trimestre.

Si $100 ganan $4 al año, $1. gana $0.04 al año. Y si el interés es capitalizable trimestralmente el interés sería $0.04 /4 o sea $0.01.

Los elementos para el problema serían:

c = 918.54 , t = 4 . r = 0.01

> Aplicando la formula para el capital final o monto:

C = 918.54(1+0.01)⁴

C = 918.54(1.01)⁴

Aplicando logaritmos:

log C = log 918.54 + 4(log 1.01)

log C = 2.963098 + 4(0.004321)

log C = 2.983098 + 0.017284

log C = 2.980382

Aplicando antilogaritmo para encontrar el valor de "C":

= $955.83  Solución.

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c)  Una suma prestada al 3 ¹/²  % de interés compuesto durante 9 años se ha convertido en 3,254.60 Sucres.  ¿Cuál fue la suma prestada?

Elementos:  C = 3,254.60  ,  r = 3.5% ≡ 0.035  ,  t = 9  ,  c = ?

Aplicando la fórmula para el capital inicial:

c = 3254.60/(1.035)⁹

> Aplicando logaritmos:

log c = log 3254.60 - 9(log 1.035)

log c = log 3254.60 + 9(colog 1.035)

log c = 3.512498 + 9(⁻1.985060)

log c = 3.512498 + ⁻1.865540

log c = 3.378038

> Aplicando el antilogaritmo para encontrar el valor de "c":

= 2,388.02  Sucres.  Solución.

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d) ¿En cuántos años una suma de 834 Soles prestada al 8% anual de interés compuesto se convertirá en 1,323.46 Soles?

t = log C -log c / log(1+r)

Elementos:   c = 834  ,  r = 8% = 0.08 ,  C = 1323.46  ,  t = ?

t = log 1323.46 - log 834 / log(1.08)

t = 3.121711 - 2.921166 / 0.033424

t = 0.200645/0.033424

t = 6 años  Solución.

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e) Una suma de 700 bolívares prestada a interés compuesto durante 5 años se ha convertido en bs. 851.65. ¿A qué % anual se prestó?

Elementos: c = 700  ,  t = 5  ,  C = 851.65  ,  % = ?

log (1+r) = log C - log c / t

log (1+r) = log 851.65 - log 700 / 5

log (1+r) = 2.930261 - 2.845098 / 5

log (1+r) = 0.085163 / 5

log (1+r) = 0.0170326

> Aplicando el antilogarimo para calcular el valor de "r":

= 1.04

--> Si 1+r es = 1.04; <--> 

r = 0.04 y por lo tanto % = 4   Solución.

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Ejercicio 303.

Realiza los siguientes problemas, usando la fórmula correspondiente y y terminándolos con por medio de la aplicación de logaritmos.

1) Una suma de $500 se impone al 6% de interés compuesto durante 3 años. ¿En cuánto se convertirá?

Elementos:  c = 500  ,  r = 0.06  ,  t = 3  ,  C = ?

log C = log 500 + 3(log 1.06)

log C = 2.698970 + 3(0.025306) 

log C = 2.698970 + 0.075918

log C = 2.774888

Antilog 2.774888 = 595.51

Solución $595.51

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2) Se prestan 3500 Soles al 7% de interés compuesto durante 5 años. ¿En cuánto se convertirá esa suma?

Elementos: c = 3500  ,  r = 0.07  ,  t = 5  ,  C = ?

log  C = log 3500 + 5(log 1.07)

log C = 3.544068 +5(0.029384)

log C = 3.544068 + 0.14692

log C = 3.690988

Antilog de  3.690988 = 4908.94

Solución  4,908.94 Soles.

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8) ¿En cuánto se convertirán $800 al 3% anual, en 2 años, capitalizando los intereses por semestres?

Elementos: c = 800  , t = 2(2 Semestres) = 4  ,  r = 3 /2 semestres = 1.5 %  = 0.015  ,   C = ?

log C = log 800 + 4(log 1.015)

log C = 2.90309 +4(0.006466)  

log C = 2.90309 + 0.025864

log C = 2.928954

antilog 2.928954 = 849.09

Solución  $849.09

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10) Una suma prestada al 5% anual de interés compuesto se ha convertido en $972.60 en 4 años. ¿Cuál fue la suma prestada?

Elementos:  r = 0.05  ,  C = 972.60  ,  t = 4  ,  c = ?

log c = log 972.60 + 4(colog 1.04)

log c = 2.987934 +4(⁻1.978811)

log c = 2.987934 + ⁻1.915244

log c = 2.903178

antilog 2.903178 = 800.16

Solución  $800.16.

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11)  Se presta cierta suma al 4 1/2% anual y en 6 años se convierte en $1893.50. ¿Cuál fue la suma prestada?

Elementos:  r = 4.5% = 0.045  ,  t = 6  ,  C = 1893.50  ,  c = ?

log c = log 1893.50 + 6(colog 1.045)

log c = 3.277265 + 6(⁻1.980884)

log c = 3.277265 + ⁻1.885304

log c = 3.162569

antilog 3.162569 = 1454.02

Solución $1,454.02

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13) Una suma de $600 prestada al 3% anual se ha convertido en $695.56. ¿Cuántos años estuvo prestada?

Elementos:  c = 600  ,  r = 3% = 0.03  ,  C = 695.56  ,  t = ?

t = log 695.56 - log 600 / log 1.03

t = 2.842335 - 2.778152 / 0.012838

t = 0.064183/0.012838

t = 4.9994547

Solución 5 años.

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15) Una suma de 800 Balboas prestada durante 4 años a interés compuesto se ha convertido en 1048.63 Balboas. ¿A qué % anual se impuso?

Elementos: c = 800  ,  t = 4  ,  C = 1048.63  ,  % ?

log (1+r) = log 1048.63 - log 800 / 4

log (1+r ) = 3.020623 - 2.900309 /4

log (1+r) = 0.120314/4

log (1+r) = 0.030079

antilog 0.030079 = 1.07

--> 1.07 - 1.00 = 0.07, 

por lo tanto % es 7.  Solución.

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17) Hallar los intereses que han producido 900 Lempiras colocados al 5% de interés compuesto durante 2 años y 4 meses sabiendo que los intereses se han capitalizado por años.

Elementos: c = 900  ,  r = 0.05  , t =2 4/12 = 2.333333  ,  C = ?

log C = log 900 + 2.333333(log 1.05)

log C = 2.954242 + 2.333333(0.021189)

log C = 2.954242 + 0.049441

log C = 3.003683

antilog 3.003683 = 1008.52

--> C -c = 1008.52 - 900 = 108.52

Solución 108.52 Lempiras de intereses.

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Problemas de progresiones geométricas.

Fórmulas:

Primer término: a = u/rⁿ⁻¹

Último término o término enésimo: u = arⁿ⁻¹

Número de términos: n = (log u ± log a) / (log r) +1

Razón:  r = ⁿ⁻¹√u/a

Suma de términos: S = ur-a / r-1

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Ejercicio 297.

1) El lunes gané 2 Lempiras y cada día, después gané el doble de lo que gané el anterior.  ¿Cuánto gané el sábado y cuánto de lunes a sábado?

Elementos para operar: 

a = 2  ,  r = 2   ,  n = 6  ;  u = ?  ;  S = ?

Encontrando el último término (u)

u = 2(2⁶⁻¹) = 2(2⁵) = 2(32) = 64 Lempiras el sábado.

Encontrando la suma de lunes a sábado:

S = 64(2)-2 / 2-1 = 128-2 /1 = 126 Lempiras de lunes a sábado.

Solución:  64 y 126 Lempiras 

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2) Un dentista arregla 20 piezas a una persona cobrándole un centavo por la primera, 2 centavos por la segunda, 4 centavos por la tercera, 8 centavos por la cuarta, y así sucesivamente, ¿Cuáles serán los honorarios del dentista? 

Elementos:  a = 1  ;  n = 20  ;  r = 2  ;  u = ?  ;  S = ?

> Encontrando el último término (20º):

u = 1(2²⁰⁻¹) = 1(2¹⁹) = 524288

> hallando la suma de los honorarios (S):

S = 524288(2)-1 / 2-1 = 1048575 ctvs = $10,485.75 Solución.

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3) Un hombre jugó durante 8 días y cada día ganó 1/3 de lo que ganó el día anterior. Si el 8º día ganó un Balboa, ¿cuánto ganó el 1er. día.?

Elementos:  u = 1  ;  n = 8  ; r = 1/3  ;  a = ?  

> Hallando el 1er. día (a):

a = 1 / (1/3)⁸⁻¹ = 1 / (1/3)⁷  = 1 / 1/2187 = 2187/1 = 2,187 

Solución: 2,187 Balboas.

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7) Un hombre que ahorra cada año los 2/3 de lo que ahorró el año anterior, ahorró el 5º año $160. ¿Cuánto ha ahorrado en los 5 años?

Elementos:  u = 160  ;  r = 2/3  ;  n = 5  ;  a = ?  ;  S = ?

> Hallando el primer término (a):

a = 160/ (2/3)⁵⁻¹ = 160/ (2/3)⁴ = 160/ 16/81 = 12960/16 = 810 

> Hallando el el ahorro de 5 años (S):

S = 160(2/3)-810 / (2/3 -1) = (320/3 -810) / -1/3 = (-2110 / -1/3)  /-3

= -6330/-3 = $2,110  Solución.

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8) La población de la una ciudad ha aumentado en progresión geométrica de 59,049 almas que era en 1953 a 100,000 en 1958. ¿Cuál es la razón de crecimiento por año?

Elementos:  a = 59,049  ;  u = 100,000  ;  n = 6  ;   r = ?

Hallando la razón de crecimiento (r):

r = ⁶⁻¹√(100,000/59049) = ⁵√(100,000/59049) = 10/9  Solución.

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9) Una persona ha ganado en cada año 1/3 de lo que ganó el año anterior.  Si el 1er. año ganó 24300 Bolívares, ¿cuánto ha ganado en 6 años?

Elementos:  a = 24300  ;  n = 6  ;  r = 1/3  ;  u = ?  ;  S = ?

< Hallando el último término (u):

u = 24300(1/3)⁶⁻¹ = 24300(1/3)⁵ = 24300(1/243) =

24300/243 = $100 último año.

> Hallando la suma de los 6 años:

S = (100(1/3)-24300) / (1/3 -1) = (100/3 -24300) / -2/3 =

= -72800/3 / -2/3 =-218400/-6 = 36,400 Bolívares.  Solución.

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Transformación de expresiones de la forma √(a±√b) en suma de radicales simples.

  

 Es convertir expresiones con radicales dobles
en una suma o diferencia de radicales simples 

Si en la expresión con radicales dobles, el signo que separa sus términos es positivo; la transformación será una suma de radicales simples.

Si en la expresión con radicales dobles, el signo que separa sus términos es negativo; la transformación será una diferencia de radicales simples. 

La fórmula para encontrar la suma o diferencia de una expresión con radicales dobles es:

Cuando:

  

Donde :

a: es el primer término de la expresión original.

b: es la cantidad subradical del segundo término de la expresión original.

y   
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Ejemplos:

a) Transformar  en una suma de radicales simples:

Siendo a = 6,  b= 20  y  

m =√ (6² -20) = √(36 -20) = √16 --> m = 4

> Aplicando la fórmula para la transformación:

Solución.

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b) Transformar en suma algebraica de radicales simples 

> Introduciendo el factor 2 dentro de √10

--> a = 7,  b = 10 y 

m = √(7²-40) = √(49-40) = √9 --> m = 3

> Aplicando la transformación de

Solución.

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Ejercicio 285.

Transformar en suma algebraica de radicales simples:

a = 5,  b = 24,  y 

m = √(5²-24) = √(25-24) = √1 --> m = 1

Solución.

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a = 8,  b = 60,   y 

m = √(8²-60) = √(64-60) = √4 --> m = 2

²

Solución.

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--> a = 11,  b = 120,  y  

m = √(11²-120) = √(121-120) = √1 --> m = 1

  Solución.

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--> a = 84,   b = 972

y m = √(84²-972) = √(7056-972) = √6084 --> m = 78

Solución.

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--> a = 5/6,   b = 2/3  y

m = √[(5/6)² - (2/3)] = √(25/36 - 2/3) = √1/36 --> m = 1/6

Solución.

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--> a = 3/4,   b = 1/2 

y m = √[(3/4)²-1/2] = √(9/16 -1/2) = √1/16 --> m = 1/4

 Solución.

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Ecuaciones con radicales que se reducen a 2º grado. Soluciones extrañas.

Las ecuaciones con radicales se resuelven eliminando los radicales al elevar los dos miembros a la potencia que contiene el índice del radical.

Cuando el resultado de efectuar la operación anterior da una ecuación de 2º grado, esta se despeja para obtener dos raíces.  

Para comprobar que las raíces son verdaderas se debe verificar ambas en la ecuación original, tomando en cuenta las raíces en su valor positivo.  En este caso las soluciones pueden no satisfacer la ecuación. Cuando esto se da se dice que las soluciones son extrañas o inadmisibles.

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Ejemplo.

Resolver la ecuación

> Elevando al cuadrado ambos miembros:

    

> Resolviendo el 1er. miembro como Cuadrado de la diferencia de un binomio; y el 2º eliminando el índice y el exponente.

> Dividiendo entre -2 ambos miembros:

> Eliminando la raíz cuadrada de un miembro y elevando al cuadrado el otro:

> Factorizando: multiplicando el trinomio por 3:

> Dividiendo entre 3 el primer factor y entre 1 el 2º:

> Igualando a cero los factores:

> Verificando las raíces encontradas:

Siendo 

y   x = 3 

Solución verdadera.

y   x = 2/3

No tiene resultado real, es una solución extraña.

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Ejercicio 273.

Resolver las ecuaciones y efectuar la verificación de las raíces.

1)  

> Verificando las raíces:

Si x =12

    Solución extraña o inadmisible.

Si x = 2

 Solución verdadera.

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2)   

SI x-10 = 0  --> x = 10

SI x - 5 = 0  --> x = 5

> Verificando las raíces:

Solución extraña.

Solución verdadera.

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7)

> Verificando las raíces:

Cuando x = 1/3

Solución extraña o inadmisible.

Cuando x = 2

Solución verdadera.

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8)  

SI   

SI   

Verificando las raíces:

Cuando x = 0

Solución verdadera.

Cuando x = 5

Solución verdadera.

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10)  

SI 

SI 

Verificando las raíces.

Cuando x=6

Solución verdadera.

Cuando x=1:

Solución verdadera.

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