Problemas de progresiones geométricas.

Fórmulas:

Primer término: a = u/rⁿ⁻¹

Último término o término enésimo: u = arⁿ⁻¹

Número de términos: n = (log u ± log a) / (log r) +1

Razón:  r = ⁿ⁻¹√u/a

Suma de términos: S = ur-a / r-1

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Ejercicio 297.

1) El lunes gané 2 Lempiras y cada día, después gané el doble de lo que gané el anterior.  ¿Cuánto gané el sábado y cuánto de lunes a sábado?

Elementos para operar: 

a = 2  ,  r = 2   ,  n = 6  ;  u = ?  ;  S = ?

Encontrando el último término (u)

u = 2(2⁶⁻¹) = 2(2⁵) = 2(32) = 64 Lempiras el sábado.

Encontrando la suma de lunes a sábado:

S = 64(2)-2 / 2-1 = 128-2 /1 = 126 Lempiras de lunes a sábado.

Solución:  64 y 126 Lempiras 

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2) Un dentista arregla 20 piezas a una persona cobrándole un centavo por la primera, 2 centavos por la segunda, 4 centavos por la tercera, 8 centavos por la cuarta, y así sucesivamente, ¿Cuáles serán los honorarios del dentista? 

Elementos:  a = 1  ;  n = 20  ;  r = 2  ;  u = ?  ;  S = ?

> Encontrando el último término (20º):

u = 1(2²⁰⁻¹) = 1(2¹⁹) = 524288

> hallando la suma de los honorarios (S):

S = 524288(2)-1 / 2-1 = 1048575 ctvs = $10,485.75 Solución.

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3) Un hombre jugó durante 8 días y cada día ganó 1/3 de lo que ganó el día anterior. Si el 8º día ganó un Balboa, ¿cuánto ganó el 1er. día.?

Elementos:  u = 1  ;  n = 8  ; r = 1/3  ;  a = ?  

> Hallando el 1er. día (a):

a = 1 / (1/3)⁸⁻¹ = 1 / (1/3)⁷  = 1 / 1/2187 = 2187/1 = 2,187 

Solución: 2,187 Balboas.

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7) Un hombre que ahorra cada año los 2/3 de lo que ahorró el año anterior, ahorró el 5º año $160. ¿Cuánto ha ahorrado en los 5 años?

Elementos:  u = 160  ;  r = 2/3  ;  n = 5  ;  a = ?  ;  S = ?

> Hallando el primer término (a):

a = 160/ (2/3)⁵⁻¹ = 160/ (2/3)⁴ = 160/ 16/81 = 12960/16 = 810 

> Hallando el el ahorro de 5 años (S):

S = 160(2/3)-810 / (2/3 -1) = (320/3 -810) / -1/3 = (-2110 / -1/3)  /-3

= -6330/-3 = $2,110  Solución.

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8) La población de la una ciudad ha aumentado en progresión geométrica de 59,049 almas que era en 1953 a 100,000 en 1958. ¿Cuál es la razón de crecimiento por año?

Elementos:  a = 59,049  ;  u = 100,000  ;  n = 6  ;   r = ?

Hallando la razón de crecimiento (r):

r = ⁶⁻¹√(100,000/59049) = ⁵√(100,000/59049) = 10/9  Solución.

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9) Una persona ha ganado en cada año 1/3 de lo que ganó el año anterior.  Si el 1er. año ganó 24300 Bolívares, ¿cuánto ha ganado en 6 años?

Elementos:  a = 24300  ;  n = 6  ;  r = 1/3  ;  u = ?  ;  S = ?

< Hallando el último término (u):

u = 24300(1/3)⁶⁻¹ = 24300(1/3)⁵ = 24300(1/243) =

24300/243 = $100 último año.

> Hallando la suma de los 6 años:

S = (100(1/3)-24300) / (1/3 -1) = (100/3 -24300) / -2/3 =

= -72800/3 / -2/3 =-218400/-6 = 36,400 Bolívares.  Solución.

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