En este caso son binomios cuyos términos tienen raíz cuadrada perfecta. Para factorizarlos se procede a sumarle y restarle la misma cantidad, que resulta de multiplicar el duplo de la raíz cuadrada del primer término por la raìz cuadrada del segundo; para coventirla en un cuatrinomio; en donde los tres primeros términos formarán un trinomio cuadrado perfecto, al que se le restará el cuarto término del cuatrinomio.
Este trinomio se representará como un binomio al cuadrado para formar una diferencia de cuadrados con el cuarto término del cuatrinomio mencionado.
Se procede a factorizar la diferencia de cuadrados para encontrar los factores solución.
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Ejemplo:
Factorar a⁴+4b⁴
Buscando las raíces cuadradas de a⁴ = a² y 4b⁴ = 2b²
Formando el 2º factor de un trinomio, con las raíces encontradas:
2(a²)(2b²) = 4a²b²
Agregando el término encontrado al binomio original dado:
a⁴ +4b⁴
. +4a²b² -4a²b²
a⁴ +4a²b²+4b⁴ -4a²b²
Formando el trinomio cuadrado perfecto y factorizándolo:
= (a⁴ +4a²b² +4b⁴) - 4a²b²
= (a²+2b²)² - (2ab)²
Resolviendo la diferencia de cuadrados:
= (a²+2b²+2ab)(a²+2b²-2ab)
= (a²+2ab+2b²)(a²-2ab+2b²) Solución.
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Ejercicio 97.
Descomponer en dos factores:
2) 4x⁸+y⁸.
Raíz² de 4x⁸ = 2x⁴ y de y⁸ = y⁴
El 2º término de un trinomio es:
2(2x⁴)(y⁴) = 42x⁴y⁴
->
4x⁸ +y⁸
. +4x⁴y⁴ -4x⁴y⁴
4x⁸ +4x⁴y⁴ +y⁸ -4x⁴y⁴
= (4x⁸ +4x⁴y⁴ +y⁸) - 4x⁴y⁴
= (2x⁴ +y⁴)² - (2x²y²)²
= (2x⁴ +y⁴ +2x²y²)(2x⁴ +y⁴ -2x²y²)
= (2x⁴ +2x²y² +y⁴)(2x⁴ -2x²y² +y⁴) Solucón.
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3) a⁴+324b⁴
Raíz² de a⁴ = a² y de 324b⁴ = 18b²
El segundo término de un trinomio es
2(a²)(18b²) = 36a²b²
->
a⁴ +324b⁴
. +36a²b² -36a²b²
a⁴ +36a²b² +324b⁴ -36a²b²
= (a⁴ +36a²b² +324b⁴) - 36a²b²
= (a²+18b²)² - (6ab)²
= (a²+18b²+6ab)(a²+18b²-6ab)
= (a²+6ab+18b²)(a²-6ab+18b²) Solución.
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4) 4m⁴ +81n⁴
Raíz² de 4m⁴ = 2m² y de 81n⁴ = 9n²
El segundo término de un trinomio es:
2(2m²)(9n²) = 36m²n²
->
4m⁴ +81n⁴
. +36m²n² -36m²n²
4m⁴ +36m²n² +81n⁴ -36m²n²
= (4m⁴ +36m²n² +81n⁴) -36m²n²
= (2m²+9n²)² - (6mn)²
= (2m²+9n²+6mn)(2m²+9n²-6mn)
= (2m²+6mn+9n²)(2m²-6mn+9n²) Solución.
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5) 4+625x⁸
Raíz² de 4 = 2 y de 625x⁸ es 25x⁴
El segundo término del trinomio es:
2(2)(25x⁴) = 100x⁴
->
4 +625x⁸
. +100x⁴ -100x⁴
4 +100x⁴ +625x⁸ -100x⁴
= (4 +100x⁴ +625x⁸) -100x⁴
= (2 +25x⁴)² - (10x²)²
= (2 +25x⁴+10x²)(2 +25x⁴-10x²)
= (2+10x²+25x⁴)(2-10x²+25x⁴) Solución.
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6) 64 +a¹²
Raíz² de 64 = 8 y de a¹² = a⁶
El 2º término del trinomio es:
2(8)(a⁶) = 16a⁶
->
64 +a¹²
. +16a⁶ -16a⁶
64 +16a⁶ +a¹² -16a⁶
= (64 +16a⁶ +a¹²) - 16a⁶
= (8+a⁶)² - (4a³)²
= (8+a⁶+4a³)(8+a⁶-4a³)
= (8+4a³+a⁶)(8-4a³+a⁶) Solución.
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