. 5
+2√3
/ 4 -√3
= 2 +√3
Caso II.
Racionalización del denominador binomio de una
fracción.
Regla.
Se multiplican ambos términos de la
fracción por la conjugada del denominador y se simplifica el
resultado.
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Expresiones
Conjugadas. Son aquellas expresiones que difieren
de otra expresión solamente en el signo que une sus términos.
Ejemplo: 3√2 + √5
su conjugada es 3√2 - √5.
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Ejemplo
de racionalización del denominador binomio de una fracción:
a)
Racionalizar el denominador de 4 -√2 / 2 +5√2
→ 4 -√2 / 2 +5√2
= (4 -√2)(2
-5√2)/(2 +5√2)(2 -5√2)
(Multiplicando por el conjugado
del denominador)
= 8 -20√2 -2√2 +5(√2)² / 4
-(5√2)² ( Operando y simplificando)
= 8 -22√2 +5(2) / 4 -25(2)
= 8 – 22√2 +10 / 4-50
= 18 -22√2 / -46
= 9 -11√2 / -23
= -9 +11√2 /23 ( Como -23
es negativo le cambiamos signo (23)
y por tanto al numerador también.)
= 11√2 -9 /23 (Cambiamos
el orden de los términos en el numerador para dejar primero el
positivo)
→ 11√2 -9 /23
es la Solución.
b)
Racionalizar el denominador de √5 +2√7 / 4√5 -3√7
→ √5 +2√7 / 4√5 -3√7
=
(√5 +2√7)(4√5
+3√7)
/ (4√5 -3√7)(4√5
+3√7)
=
4(√5)²
+11√35 +6(√7)²
/ 16(√5)²
-9(√7)²
=
4(5) +11√35
+6(7)
/ 16(5)
-9(7)
=
20
+11√35
+42
/ 80 -63
=
62+11√35
/ 17 Solución.
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Ejercicio
248.
Racionalizar el denominador de:
1)
3 -√2 / 1 +√2
→ 3
-√2 / 1 +√2
=
(3-√2)(1
-√2)
/ (1 +√2)(1
-√2)
=
3 -3√2 -√2
+(-√2)²
/ 1 -√2
+√2
-(√2)²
=
3 -4√2 +2
/ 1
-2
=
5 -4√2
/ -1
=
-5
+4√2
/ 1
=
4√2 -5
Solución.
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3)
√2 - √5 / √2 + √5
→ √2
- √5 / √2 + √5
=
(√2 - √5)(√2
- √5)
/ (√2 + √5)(√2
- √5)
=
(√2)²
-√10 -√10 +(√5)²
/ (√2)²
-√10
+√10
-(√5)²
= 2 -2√10 +5 / 2-5
=
7
-2√10 / -3
=
-7+2√10
/3
=
2√10
-7 /3 Solución.
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5)
√2 -3√5 / 2√2 + √5
→ √2
-3√5 / 2√2 + √5
=
(√2 -3√5)(2√2
- √5)
/ (2√2 + √5)(2√2
- √5)
=
2(√2)² -√10 -6√10 +3(√5)²
/ (2√2)²
-2√10 + 2√10
-(√5)²
=
2(2) -7√10
+3(5)
/ 4(2) -5
=
4 -7√10
+15
/ 8 -5
=
19 -7√10 / 3
Solución.
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7)
3√2 / 7√2 -6√3
→ 3√2
/ 7√2 -6√3
=
(3√2)(7√2
+ 6√3)
/ (7√2 -6√3)(7√2
+ 6√3)
=
21(√2)² + 18√6 / (7√2)² +42√6
– 42√6
-(6√3)²
= 21(2) +
18√6 / 49(2)
-36(3)= 42 + 18√6 / 98 -108
= 42 + 18√6 / -10
= 21 + 9√6 / -5
= -21 -9√6 / 5
= -9√6 -21 /5
= ₋ 9√6 +21 / 5 Solución.
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