Este caso consiste en descomponer en factores un polinomio aplicando el método de evaluación, consistente en la divisibilidad por x-a y luego se simplifica el resultado aplicando la factorización que corresponda.
Primero se encontrará los factores del término independiente del polinomio; para tomar éstos y probar si al aplicarlos por el método de evaluación se anula el término independiente y con ello formar un nuevo polinomio de grado menor al polinomio dado. Para luego factorizar la expresión y mostrar el resultado.
Ejemplos:
a) Descomponer por evaluación x³+2x²-x-2
Factores de 2: ±(1, 2)
Formando la regla práctica para la "División Sintética", tomando en cuenta los coeficientes del polinomio.
> Probando con el divisor (x+1)
1 2 -1 -2 | x=-1 de (x+1)
. 1(-1) -1 1(-1) -1 -2(-1) 2
1 1 -2 0 (Si es divisible entre (x+1), porque se anuló el término independiente.
Entonces descomponemos el polinomio, con el divisor (x+1) y el cociente, que será de 2º grado (uno menos que el polinomio original)
(x+1)(x²+x-2)
Factorizándolo
= (x+1)(x+2 )(x-1 ) Solución.
> Probando con el divisor (x-1)
1 2 -1 -2 | x=1 de (x-1)
. 1(1) 1 3(1) 3 2(1) 2
1 3 2 0 (Si es divisible entre (x-1)
Descomponiendo el polinomio:
(x-1)(x²+3x+2)
Factorizándolo:
= (x-1)(x+2)(x+1) Solución.
Se debe probar también con los otros factores (2 y -2); aquí no los voy a desarrollar porque ya los probé y el polinomio no es divisible entre ellos.
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b) Descomponer por evaluación x³-3x²-4x+12
Factores de 12: ±(1, 2, 3, 4, 6, 12)
Prueba con (x-1)
1 -3 -4 12 | x=1 si (x-1)
. 1(1) 1 -2(1) -2 -6(1) -6
1 -2 -6 6 (No es divisible entre (x-1)
Prueba con (x+1)
1 -3 -4 12 | x=-1 si (x+1)
. 1(-1) -1 -4(-1) 4 0(-1) 0
1 -4 0 12 (No es divisible entre (x+1)
Prueba con (x-2)
1 -3 -4 12 | x=2 si (x-2)
. 1(2) 2 -1(2) -2 -6(2) -12
1 -1 -6 0 (Si es divisible entre (x-2)
Descomponiendo el polinomio y factorizando:
(x-2)(x²-x-6) = .(x-2)(x-3)(x+2) Solución.
Prueba con (x+2)
1 -3 -4 12 | x=-2 si (x+2)
. 1(.2) -2 -5(-2) 10 6(-2) -12
1 -5 6 0 (Si es divisible entre (x+2)
Descomponiendo el polinomio y factorizándolo:
(x+2)(x²-5x+6) = (x+2)(x-3)(x-2) Solución.
Nota: En este ejercicio desarrollé 4 pruebas; pero en los incisos del Ejercicio 110, haré las pruebas pero solo mostraré una donde el binomio (x-a) sea divisible entre el polinomio dado.
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c) Descomponer por evaluación x⁴-11x²-18x-8
En este caso debemos escribir el término que falta, que es 0x³ para poder procesar el método.
Como observarás, en el desarrollo, el primer cociente que resulta tendrá un primer término de tercer orden, x³; por lo que al resultado ya descompuesto, se debe aplicar nuevamente el método para tener un nuevo cociente con un primer término de 2º grado, x².
= x⁴+0x³-11x²-18x-8
Factores de 8: ±(1, 2, 4, 8)
Probar con x+1
1 0 -11 -18 -8 | x=-1 si (x+1)
. 1(-1) -1(-1) 1 -10(-1) 10 -8(-1) 8
1 -1 -10 -8 0 (Si es divisible entre (x+1)
Descomponiendo el polinomio original:
(x+1)(x³-x²-10x-8) (1) Primera descomposición.
Prueba con x+1 en el factor x³-x²-10x-8
1 -1 -10 -8 | x=-1 si (x+1)
. 1(-1) -1 -2(-1) 2 -8(-1) 8
1 -2 -8 0 (Si es divisible entre (x+1)
Descomponiendo el nuevo polinomio
(x+1)(x²-2x-8)
Factorizado = (x+1)(x-4)(x+2)
Agregando el factor (x+1) de la primera descomposición
= (x+1)(x+1)(x-4)(x+2)
= (x+1)²(x-4)(x+2) Solución.
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Ejercicio 110.
Descomponer por evaluación:
1) x³+x²-x-1
Factores de 1: ±(1, -1)
Prueba con (x-1)
1 1 -1 -1 | x=1 si (x-1)
. 1(1) 1 2(1) 2 1(1) 1
1 2 1 0 (si es divisible entre (x-1)
-> (x-1)(x²+2x+1) = (x-1)(x+1)(x+1) = (x-1)(x+1)² Solución.
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2) x³-4x²+x+6
Factores de 6: ±(1, 2, 3, 6)
Prueba con (x+1)
1 -4 1 6 | x=-1 si (x+1)
. 1(-1) -1 -5(-1) 5 6(-1) -6
1 -5 6 0 (si es divisible entre (x+1)
--> (x+1)(x²-5x+6) = (x+1)(x-3)(x-2) Solución.
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3) a³-3a²-4a+12
Factores de 12: ±(1, 2, 3, 6)
Prueba con (a-2)
1 -3 -4 12 | a=2 si (a-2)
. 1(2) 2 -1(2) -2 -6(2) -12
1 -1 -6 0 (si es divisible entre (a-2)
--> (a-2)(a²-x-6) = (a-2)(a-3)(a+2) Solución.
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4) m³-12m+16
= m³ +0m²-12m+16
Factores de 16: ±(1, 2. 4. 8. 16)
Prueba con (m-2)
1 0 -12 16 | m=2 si (m-2)
. 1(2) 2 2(2) 4 -8(2) -16
1 2 -8 0 (si es divisible entre (m-2)
--> (m-2)(m²+2m-8) = (m-2)(m+4)(m-2) Solución.
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6) a³+a²-13a-28
Factores de 28 ±(1, 2, 4, 7, 14, 28)
Prueba con (a-4)
1 1 -13 -28 | a=4 si (a-4)
. 1(4) 4 5(4) 20 7(4) 28
1 5 7 0 (si es divisible entre (a-4)
--> (a-4)(a²+5a+7) = Solución.
NOTA: ( a²+5a+7) no tiene descomposición en factores, porque el término independiente es número primo)
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8) n³-7n+6
= n³+0n²-7n+6
Factores del 6: ±(1, 2, 3, 6)
Prueba con (n-1)
1 0 -7 6 | n=1 si (n-1)
. 1(1) 1 1(1) 1 -6(1) -6
1 1 -6 0 (Si es divisible entre (n-1)
--> (n-1)(n²+n-6) = (n-1)(n+3)(n-2) Solución.
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11) x⁴-4x³+3x²+4x-4
Factores de 4: ±(1, 2, 4)
Prueba con (x-1)
1 -4 3 4 -4 | x=1 si (x-1)
. 1(1) 1 -3(1) -3 0(1) 0 4(1) 4
1 -3 0 4 0 (si es divisible entre (x-1)
--> (x-1)(x³-3x²+0x+4) (1) Primera descomposición.
Como el factor x³-3x²+0x+4 es de grado 3, es necesario aplicar el método de evaluación, para dejarlo en grado 2 y poder realizar la factorización final.
Factores de 4: ±(1, 2, 4)
Prueba con (x+1) y con coeficientes (1, -3, 0, 4)
1 -3 0 4 | x=-1 si (x+1)
. 1(-1) -1 -4(-1) 4 4(-1) -4
1 -4 4 0 (Si es divisible entre (x+1)
-> (x+1)(x²-4x+4)
= (x+1)(x-2)(x-2) = (x+1)(x-2)² Solución parcial
A esta solución debe agregársele el factor (x-1) de la primera descomposición (1):
= (x-1)(x+1)(x-2)² Solución final.
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13) a⁴-15a²-10a+24
= a⁴+0a³-15a²-10a+24
Factores de 24: ±(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)
Prueba con (a-1)
1 0 -15 -10 24 | a=1 si (a-1)
. 1(1) 1 1(1) 1 -14(1) -14 -24(1) -24
1 1 -14 -24 0 ( Si es divisible entre (a-1)
-> (a-1)(a³+a²-14a-24) Primera descomposición (1)
Aplicado descomposición de factores a: a³+a²-14a-24
Factores de 24: ±(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)
Prueba con (a+2)
1 1 -14 -24 | a=-2 si (a+2)
. 1(-2) - 2 -1(-2) 2 -12(-2) 24
1 -1 -12 0 (Si es divisible entre (a+2)
-> (a+2)(a²-a-12) = (a+2)(a+3)(a-4) Solución parcial
Agregando el primer factor de la primera descomposición (1):
= (a-1)(a+2)(a+3)(a-4) Solución final.
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19) x⁵-21x³+16x²+108x-144
= x⁵+0x⁴-21x³+16x²+108x-144
Factores de 144: ±(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144)
Prueba con (x+3)
1 0 -21 16 108 -144 | x=-3 si (x+3)
. 1(-3) -3 -3(-3) 9 -12(-3) 36 52(-3) -156 -48(-3) 144
1 -3 -12 52 - 48 0 (Si es divisible)
--> (x+3)(x⁴-3x³-12x²+52x-48) (Primera descomposición (1)
Descomponiendo x⁴-3x³-12x²+52x-48
Factores de 48: ± (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48)
Prueba con (x-3)
1 -3 -12 52 -48 | x=3 si (x-3)
. 1(3) 3 0(3) 0 -12(3) -36 16(3) 48
1 0 -12 16 0 (Si es divisible entre (x-3)
--> (x-3)(x³+0x²-12x+16) (Segunda descomposición (2)
Descomponiendo x³+0x²-12x+16
Factores de 16: ±(1, 2, 4, 8, 16)
Prueba con (x-2)
1 0 -12 16 | x=2 si (x-2)
. 1(2) 2 2(2) 4 -8(2) -16
1 2 -8 0 (Si es divisible entre (x-2)
--> (x-2)(x²+2x-8) = (x-2)(x+4)(x-2)= (x-2)²(x+4)
A esta última solución debe agregársele los primeros factores de las descomposiciones anteriores (1): (x+3) y (2): (x-3)
= (x-2)²(x+4)(x+3)(x-3)
ó = (x-2)²(x-3)(x+3)(x+4) Solución final.
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27) x⁶+6x⁵+4x⁴-42x³-113x²-108x-36
Factores de 36 ±(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36)
Prueba con (x+1)
1 6 4 -42 -113 -108 -36 | x=-1
. 1(-1) -1 5(-1) -5 -1(-1) 1 -41(-1) 41 -72(-1) 72 -36(-1) 36
1 5 -1 -41 -72 -36 0
--> (x+1)(x⁵+5x⁴-x³-41x²-72x-36) (1ª descomposición) (1ª)
Factores de 36 ±(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36)
Prueba con (x+1)
1 5 -1 -41 -72 -36 | x=-1
. 1(-1) -1 4(-1) -4 -5(-1) 5 -36(-1) 36 -36(-1) 36
1 4 -5 -36 -36 0
--> (x+1)(x⁴+4x³-5x²-36x-36) (2ª descomposición) (2ª)
Factores de 36 ±(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36)
Prueba con (x+2)
1 4 -5 -36 -36 | x=-2
. 1(-2) -2 2(-2) -4 -9(-2) 18 -18(-2) 36
1 2 -9 -18 0
--> (x+2)(x³+2x²-9x-18) 3ª descomposición) (3ª)
Factores de 18 ±(1, 2, 3, 6, 9, 18)
Prueba con (x+2)
1 2 -9 -18 | x=-2
. 1(-2) -2 0(-2) 0 -9(-2) 18
1 0 -9 0
--> (x+2)(x²-9) = (x+2)(x+3)(x-3) Solución parcial.
Agregándole a la solución parcial los primeros factores de las descomposiciones anteriores: (1):(x+1); (2): (x+1); (3): (x+2)
= (x+1)(x+1)(x+2)(x+2)(x+3)(x-3)
= (x+1)²(x+2)²(x+3)(x-3) Solución final.
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